1、两类曲线积分习题课两类曲线积分习题课曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式格林公式曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1.1.定义定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）iiniiLsfdsyxf ),(lim),(10 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数),(zyxf.),(lim),(10iniiiisf
2、dszyxf 一、基本内容一、基本内容第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL则则上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设;.1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(.2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf推广推广)().(),(),(:ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dyc
3、yxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 几何与几何与物理意义物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz ,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx.,22 LyLxdsxIdsyI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐
4、标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx 存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中.LdsF第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 性质性质
5、.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关.第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时
6、到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(且且.,)()()(:)3(终点终点起点起点推广推广ttztytx
7、dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(格林公式格林公式2.2.它是它是Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广公式在二重积分情形下的推广.1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。的联系。定理定理 设设D D 是是单连通域单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D D 内内具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(1)(1)沿沿D D 中任
8、意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线L L,有有.0dd LyQxP(2)(2)对对D D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L L,曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4)4)在在D D 内每一点都有内每一点都有.xQyP LyQxPdd与路径无关与路径无关,只与起止点有关只与起止点有关.函数函数则以下则以下四个条件等价四个条件等价:在在 D D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 曲 线 积 分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iii
9、niiiiyQxP 联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)(dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1(CDCQdyPdx闭曲线闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等价命题,d22 Lyxse计算计算,:222ayxL 由圆周由圆周轴轴及及直线直线xx
10、y 在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.AB Lyxsed22 BOABOA提示提示解解:OA,0 y OAyxsed22xsd01d2 :AB,sin,cos ayax 40 seAByxd22 d40aea xeaxd01 aeaae4,0ax xyO例例1二、例题二、例题AB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyO例例2 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数
11、被积函数x是是L上上0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因因积分曲线积分曲线L关于关于3y222Ryx 对称性对称性,计算计算得得0 是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数xyO dds 例例3 3 计算计算,)(222dszyxI 其中其中 为球面为球面解解,1141)21(21:22 zxyx:20 2)sin2(2)cos2(2)sin2(18d229 20 I d2 cos221 z.1的的交交线线与与平平面面 zx29222 zyx化为参数方程化为参数方程 21cos2 x sin2 y例例4 计算计算
12、其中其中L为为 ,)()(22 LyxdyyxdxyxI解解圆周圆周:，方向沿逆时针，方向沿逆时针.222ayx LadyyxdxyxI2)()(),20:(sincos:ttaytaxLdttt)cos(sin2202 dt 20 2 dtatatatatatata 202)cos)(sincos()sin)(sincos(LadyyxdxyxI2)()(另法：另法：21()()Lxy dxxy dya应用格林公式应用格林公式2222122xyadxdya 224101LxdyydxxyLR(R)例5：计算，：以（，）为圆心，为半径的圆周，逆时针方向。解解xQyxxyyPyx 22222)4
13、(4)0,0(),(时，时，当当04,1)1(22 yxydxxdyR时时当当取逆时针方向。取逆时针方向。内，内，在在且足够小，使得且足够小，使得其中其中：作曲线作曲线时时当当CLCrryrxCR,0,sin2cos,1)2(222244L CCxdyydxxdyydxxyxy原式 drrrrr 2024)sin(sin2cos2cos0 2021d 例例6 问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数求其一个原函数.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.xQeyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式.222yxexy 因而一个原函数是：因而一个原函
14、数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d)(),(),()0,0(yyxeyyd)2(0 xxexd)(00 xyO法一法一)0,(x(x,y)这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出:222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)()dd(yxexeyy )(dyxe)d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二因为函数因为函数u满足满足Pxexuy 故故yy2)(从而从而所以所以,Cyxxeyxuy 222),(问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数
15、求其一个原函数.如是如是,xxeuyd)(22xxey)(y 由此得由此得yxey2 y的待定函数的待定函数法三法三()ye xy uy 2()2 dyy yyC 110 00 0222L(t,)(,t)(,)(,)Q(x,y)xOyxydxQ(x,y)dy,t,xydxQ(x,y)dyxydxQ(x,y)dyQ(x,y)例7.设函数在平面上有连续的一阶偏导数，且曲线积分与积分路径无关，且对任意 恒有试求。xyPxQxyyxP22),(件得件得，由积分与路径无关条，由积分与路径无关条解法一：设解法一：设)(),(2yCxyxQ )1,()0,0(),(2tdyyxQxydx 102102)()
16、(dyyCtdyyCt ),1()0,0(),(2tdyyxQxydx ttdyyCtdyyC002)()(1 tdyyCtdyyCt0102)()(由题设得：由题设得：)(12tCtt 求导得：求导得：两边对两边对.12),(12)(2 yxyxQttC),(,2),(),(2yxQyuxyyxPxuyxu 使使存在函数存在函数由积分与路径无关，由积分与路径无关，解法解法)(2),(2yfyxxydxyxu )(),(2yfxyxQ 由已知积分等式得：由已知积分等式得：)()1(),1()1,(2tftfttutu 12)()(12 ttftftt求导得：求导得：两边对两边对.12),(2
17、yxyxQ2222221.FyzizxjxykxyzOabcF例8 已知力场，问将质点从原点 沿直线移动到曲面的第一卦限部分上的哪 一点时，使所做的功最大？并求此最大功。),(wvuA一点为一点为设曲面上设曲面上 OAxydzzxdyyzdxW)(000000:twzvyuxOA 解：解：OAxydzzxdyyzdxW)(000000:twzvyuxOA 10:,:twtzvtyutxOA 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtutdwtvt 1023dttuvwuvw)1(222222 cwbvauuvwF),3,3,3(cba.33abcW )1(222222 cwbva
18、uuvwF 1020202222222222cwbvaucwuvFbvuwFauvwFwvu 222222cwbvau 31 22222:0CxyzRIzyds,C:.xyz1 计算其中 CCdsyzdsI21：解解轮换对称性轮换对称性数数由由积积分分曲曲线线化化简简被被积积函函.322332RRR 练习题练习题 CCdszyxdszyx)(31)31222（CdsR2310化化为为参参数数方方程程。将将解解C2 .0:2222zyxRzyxC,243)2(222Rzzyx 得得消去消去 tRzCcos62:tRtRycos6sin2 tRtRxcos6sin2 .20 t再求解。再求解。2.
19、计算计算,dsxIL 其中L为双纽线)0()()(222222 ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性,得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a,2cos:22 arL yox思路:LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合 DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线或用公式解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(42
20、2由由解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos(xQyP 即即(如下图)xyo)0,(aAMdxdyyPxQDAMOA )(Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO,0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI2251 00 11 001Lxydxx dy.ILABCDxyA,B,C,D(,),(,),(,),(,).计算，其中 为闭合回路，分别为.1 yxL的的方方程程为为解解：LdyxxydxI22.2,22yxPxQxQxyP 则则设设.0 I由由格格林林公公式式，2612110 002 0yyL.I(xye)dx
21、(cos yxe)dy,LA(,)yxO(,),yB(,)求其中由点沿曲线到点再沿直线至点的路径。LyyLdyxedxeydyxydxIcos12)(cos112)0,0()1,1(0120013yexdydydxdxx .12xPQyx CADBCxdxdyIDACB12,所所围围闭闭区区域域为为补补上上折折线线 21012yxdxdy.1sin1)(1sin1)0,0()1,1(exey dyyey)cos2(10 12)12(dxex.11sin e选择题选择题：).(),()()()(),()()()(:.1 LdxyxfABBAttytxL则则，终点为，终点为中始点为中始点为的有向光
22、滑曲线段，其的有向光滑曲线段，其是一连接两点是一连接两点已知已知 dttttfDtdtttfCdtttfBdtttfA)()(),(.)()(),(.)(),(.)(),(.D.),(),(.3）径无关的充要条件是（径无关的充要条件是（域内与路域内与路在在分分连续偏导数，则曲线积连续偏导数，则曲线积上具有一阶上具有一阶在单连通区域在单连通区域设函数设函数DQdyPdxDyxQyxPL yPxQDxPyQCxPyQByPxQA .D).(,).222的圆周，则积分是的圆周，则积分是半径为半径为是圆心在原点、是圆心在原点、其中其中（曲线积分曲线积分aCdsyxC 33324.2.2.aDaCaBaA C).(),1,0(,)0,1(:1)cossin()sincos2(.5222 IBAyxBAdyxyxdxxyyxIBA则则弧弧为位于第一象限中的圆为位于第一象限中的圆其中弧其中弧，曲线积分曲线积分2.2.1.0.DCBA C).(2,1,),(,),(.4212222，则，则，的同向光滑闭曲线，记的同向光滑闭曲线，记是两条包围原点是两条包围原点 iQdyPdxICCyxyxyxQyxyxyxPiCi.,.0.0.2121212121而定而定的大小关系视的大小关系视与与CCIIDIICIIBIIA B
