1、 - 1 - 内蒙古包头市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 120分钟 一、选择题 (本大题共 12小题，共 60.0分 ) 1.命题“若 x2 1，则 -1 x 1”的逆否命题是（ ） A.若 x2 1，则 x 1，或 x -1 B.若 -1 x 1，则 x2 1 C.若 x 1或 x -1，则 x2 1 D.若 x 1或 x -1，则 x2 1 2.若命题 p： ? x 3， x3-27 0，则 p是（ ） A.? x 3， x3-27 0 B.? x 3， x3-27 0 C.? x 3， x3-27 0 D.? x 3， x3-27 0 3.设命题 p：
2、2x 1，命题 q： x2 1，则 p是 q成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.椭圆 2x2+y2=8的焦点坐标是（ ） A.（ 2， 0） B.（ 0， 2） C.（ 2 ， 0） D.（ 0， 2 ） 5.已知点（ 1， -2）在抛物线 y=ax2的准线上，则 a 的值为（ ） A. B.- C.8 D.-8 6.已知双曲线 （ m 0）渐近线方程为 y= x，则 m 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.如果方程 - =1 表示双曲线，那么实数 m的取值范围是（ ） A.m 2 B.m 1或 m 2 C.-1 m
3、2 D.m 1 - 2 - 8.已知 F1， F2为椭圆 C： + =1的左、右焦点，点 E是椭圆 C上的动点， 1? 2的最大值、最小值分别为（ ） A.9， 7 B.8， 7 C.9， 8 D.17， 8 9.已知向量 ， ，则平面 ABC 的一个法向量可以是（ ） A.（ 3， -1， -2） B.（ -4， 2， 2） C.（ 5， 1， -2） D.（ 5， -2， 1） 10.以点 A（ 4， 1， 9）， B（ 10， -1， 6）， C（ 2， 4， 3）为顶点的三角形是（ ） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 11.已知平面，的法向量分别是（
4、 -2， 3， m），（ 4， 0），若，则 +m的值（ ） A.8 B.6 C.-10 D.-6 12.直三棱柱 A1B1C1-ABC， BCA=90，点 D1， F1分别是 A1B1， A1C1的中点， BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共 4 小题，共 20.0分 ) 13.已知抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=-2，则 p= _ 14.已知 ， ，则 = _ 15.已知 p： |x-a| 4， q： -x2+5x-6 0，且 q是 p的充分而不必要条件，则 a 的取值范围为 _ 16.已知椭圆 的左右焦点为
5、 F1， F2，点 P在椭圆上，且 |PF1|=6，则 F1PF2= _ - 3 - 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70分 ) 17.已知点 A、 B、 C的坐标分别为（ 0， 1， 2），（ 1， 2， 3），（ 1， 3， 1） （ 1）若 ，且 ，求 y 的值； （ 2）若 D的坐标为（ x， 5， 3），且 A， B， C， D四点共面，求 x的值 18. 已知 m 0， p：（ x+2）（ x-6） 0， q： 2-m x 2+m （ 1）若 p是 q的必要条件，求实数 m的取值范围 （ 2）若 m=2， p q为假，求实数 x的取值范围 19.已知抛物线的顶点在原点，焦点
6、F在 x轴上，且过点（ 4， 4） （）求抛物线的标准方程和焦点坐标； （）设点 P是抛物线上一动点， M点是 PF的中点，求点 M的轨迹方程 20. 倾斜角 的直线 l 过抛物线 y2=4x焦点，且与抛物线相交于 A、 B两点 （ 1）求直线 l的方程 （ 2）求线段 AB长 21. 如图，已知椭圆=1（ a b 0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左 、右焦点 F1， F2为顶点的三角形的周长为 4（ +1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、 B和 C、 D （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线
7、PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1?k2=1. - 4 - 22.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD， ABC=BAD=90， AD=AP=4， AB=BC=2， M为 PC 的中点，点 N在线段 AD上 （ I）点 N为线段 AD的中点时，求证：直线 PA BMN； （ II）若直线 MN 与平面 PBC所成角的正弦值为 ，求平面PBC与平面 BMN所成角的余弦值 - 5 - 包铁五中 2016 2017学年度第二学期期中考试 答案和解析 【答案】 1.D 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.D 12.B 1
8、3.4 14. 15. 16. 17.解：（ 1） =（ 1， 2， -1）， ， =3+2 y-1=0，解得 y=-1 （ 2） =（ 1， 2， -1）， =（ 1， 1， 1）， =（ x， 4， 1）， A ， B， C， D四点共面， 存在唯一一对实数 m， n，使得， ，解得， x=3 18.解：（ 1）对于 p：（ x+2）（ x-6） 0 ，解得 -2 x6 又 m 0， q： 2-m x2+ m 由 p是 q的必要条件，即 q?p， -22 -m， 2+m6 ， 解得 0 m4 实数 m的取值范围是（ 0， 4 （ 2） m=2时，命题 q： 0 x4 p q为假， p与 q
9、都为假，则 p与 q都为真 ，解得 0 x4 实数 x的取值范围是 19.解：（ ）由抛物线焦点 F在 x轴上，且过点（ 4， 4），设抛物线方程 y2=2px（ p 0） 将点（ 4， 4），代入抛物线方程， 16=24 p，解得： p=2， 抛物线的标准方程 y2=4x，焦点坐标（ 1， 0）； （ ）设 M（ x， y）， P（ x0， y0）， F（ 1， 0）， M点是 PF的中点， 则 x0+1=2x， 0+x0=2y， ， - 6 - P 是抛物线上一动点， y02=4x0，代入（ 2y） 2=4（ 2x-1）， y2=2x-1 20.解：（ 1）根据抛物线 y2=4x方程得：焦
10、 点坐标 F（ 1， 0）， 直线 AB 的斜率为 k=tan45=1 ， 由直线方程的点斜式方程，设 AB： y=x-1， （ 2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（ x-1） 2=4x， 整理得： x2-6x+1=0， 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由一元二次方程根与系数的关系得： x1+x2=6， x1?x2=1，所以弦长|AB|=|x1-x2|=?=8 21.解：（ ）由题意知，椭圆离心率为 =， 得，又 2a+2c=， 所以可解得， c=2，所以 b2=a2-c2=4， 所以椭圆的标准方程为； 所以椭圆 的焦点坐标为（ 2 ， 0）， 因为双曲线为等轴 双曲线，
11、且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 （ ）设点 P（ x0， y0）， 则 k1=， k2=， k1?k2=， 又点 P（ x0， y0）在双曲线上， ，即 y02=x02-4， k1?k2=1 （ ）假设存在常数 ，使得得 |AB|+|CD|=|AB|?|CD| 恒成立， 则由（ II）知 k1?k2=1， 设直线 AB 的方程为 y=k（ x+2），则直线 CD的方程为 y=（ x-2）， 由方程组消 y得：（ 2k2+1） x2+8k2x+8k2-8=0， 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则由韦达定理得， AB= ， 同理可得 CD=， - 7 - |A
12、B|+|CD|=|AB|?|CD| ， = -=， 存在常数 = ，使得|AB|+|CD|=|AB|?|CD| 恒成立 22.证明：（ ）连结点 AC， BN，交于点 E，连结 ME， 点 N为线段 AD 的中点， AD=4， AN=2 ， ABC=BAD=90 ， AB=BC=2， 四边形 ABCN为正方形， E 为 AC的中点， MEPA ， PA ?平面 BMN， 直线 PA 平面 BMN 解：（ ） PA 平面 ABCD，且 AB， AD?平面 ABCD， PAAB ， PAAD ， BAD=90 ， PA ， AB， AD两两互相垂直， 分别以 AB， AD， AP为 x， y， z
13、轴，建立空间直角坐标系， 则由 AD=AP=4， AB=BC=2，得： B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， P（ 0， 0， 4）， M 为 PC的中点， M （ 1， 1， 2）， 设 AN= ，则 N（ 0， ， 0），（ 04 ），则 =（ -1， -1， -2）， =（ 0， 2， 0）， =（ 2， 0，-4）， 设平面 PBC的法向量为 =（ x， y， z）， 则，令 x=2，得 =（ 2， 0， 1）， 直线 MN与平面 PBC所成角的正弦值为， | cos |=， 解得 =1 ，则 N（ 0， 1， 0）， =（ -2， 1， 0）， =（ -1， 1， 2）
14、， 设平面 BMN的法向量 =（ x， y， z）， 则， 令 x=2，得 =（ 2， -4， 3）， cos= 平面 PBC与平面 BMN 所成角 的余弦值为 【解析】 - 8 - 1. 解：命题 “ 若 x21 ，则 -1 x1” 的逆否命题是 “ 若 x -1或 x 1，则 x2 1” 故选： D 根据命题 “ 若 p，则 q” 的逆否命题是 “ q，则 p” ，写出它的逆否命题即可 本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题 2. 解：命题为全称命题，则命题的否定为 ? x 3， x3-270 ， 故选： B 根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可 本题主要考查含有量词的命题的
15、否定，比较基础 3. 解：由 2x 1得 x 0，由 x2 1 得 -1 x 1， 则 p是 q成立的既不充分也不必要条件， 故选： D 根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 本题主要考查充 分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键 4. 解：椭圆 2x2+y2=8 的长半轴 a=2，短半轴的长 b=2， c=2 椭圆 2x2+y2=8 的焦点坐标是（ 0， 2 ） 故选： B 求出椭圆的，然后求解焦点坐标 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题 5. 解：点（ 1， -2）在抛物线 y=ax2的准线上，可得准线方程为： y=-，即 -， 解得 a= 故选： A 利用点在抛物线准线上，代入 方程求解即可 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 6. 解：双曲线（ m 0）的渐近线方程为 y= x， 由渐近线方程为 y= x，可得 =， 可得 m=3， 故选： C 求出双曲线（ m 0）的渐近线方程为 y= x，可得 m的方程，解方程可得 m的值 本题考查双曲线的方程和性 质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题 -
