1、 1 宁夏青铜峡一中 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理 时间： 120分钟 总分： 150分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 。 1.点 M的直角坐标是 )1,3( ? ，则点 M的极坐标为（ ） A. )6,2( ? B. )65,2( ? C. )67,2( ? D. )611,2( ? 2.凸七边形对角线的条数（ ） A. 21 B. 7 C. 28 D. 14 3.将函数 xy sin? 的图象上所有点向左平移 3? 个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的 2倍， 则所得图象的解析式为 ( ) A.
2、)32sin( ? xy B y sin( 62 ?x ) C )32sin( ? xy D )32sin( ? xy 4.从 3名男生和 2名女生中选出 3人去参加辩论比赛，如果 3人中必须既有男生又有女生， 则所有选法的种数（ ） A. 12 B. 9 C. 10 D. 18 5.已知两定点 A( 2,0)， B(1,0)，如果动点 P满足 |PA| 2|PB|， 则点 P的轨迹所围成的图形的 面积等于 ( ) A ? B ?4 C ?8 D ?9 6.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E是 AD的中点，则异面直线 C1E与 BC所成的角的余弦值是（ ） A 510 B 1010
3、C 31 D 322 7.用数字 4,3,2,1,0 组成的没有重复数字的四位数的个数（ ） A. 96 B. 120 C. 72 D. 90 8.极坐标方程( 1)( ) 0? ? ? ? ?表示的图形是（ ） A两个圆 B两条直线 C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线 2 9.若 nxax )3( ?的展开式中所有二项式系数之和为 64，且展开式的常数项为 135，则 a 的值是（ ） A. 2 B. 1? C. 1? D. 1 10.若曲线 22? 上有 n 个点到曲线 2)4cos( ? ? 的距离等于 2 ，则 n =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 将 6
4、人分成 3组，要求每组至少 1人至多 3人，则不同的分组种数是（ ） A. 60 B. 15 C. 75 D. 45 12.若 2017201722102017)21( xaxaxaax ? ，则 20172017221 222 aaa ?的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 2017 D. -1 二、填空题 :本大题共 4小题，每小题 5分。 13. 在 62 )12(xx ?的展开式中，含 7x 的项的系数是 . 14. 曲线 C 的 方 程 为 x2+ y23 1 ， 其 上 一 点 ）（ yx,P ，则 yx?3 的 最 大 值为 . 15. 下列命题正确的是 （填序号） ? 18?
5、n 能被 7整除； ?若直线的参数方程为? ? ? ,32 ,1 ty tx(t为参数 )，则该直线的倾斜角为 060 ； ? )()1( *2 ? nx n 的展开式中，系数最大的项是第 n 项； 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 , CBA OCOBOAOP ? 236 ,则 P、 A、 B、 C四点共面； 16. 在平行四边形 ABCD中， A 3， 边 AB， AD 的长分别为 2,1. 若 M， N分别是边 BC，CD上的点， 且满足 |BM |BC | |CN |CD |，则 AM AN 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3 17（本小题满分
6、10分） 在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为?tytx225223(t 为参数 )在极坐标系 (与直角坐标系 xOy取相同的长度 单位，且以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C的方程为 ? sin52? (1)求圆 C的直角坐标方程； (2)设圆 C与直线 l 交于点 ,AB若点 P 的坐标为 (3， 5 )，求 PA PB? . 18. （本小题满分 12 分） 七位同学按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的种数 . （ 1） 全体站成一排，甲、乙、丙三位同学必须相邻； （ 2） 全体站成一排，甲、乙、丙三位同学必须不相邻； （ 3） 全体站成一排，甲、乙、丙
7、三位同学自左向右的顺序不变（不一定相邻）； 19.（本小题满分 12分） 如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为矩形， PA? 平面 ABCD ， E 是 PD 的中点 . （ 1） 证明： PB /平面 AEC ； （ 2） 设 1, 3AP AD?，三棱锥 P ABD? 的体积 34V? ， 求 A 到平面 PBC 的距离 . 20 （本小题满分 12 分） 已知曲线 C 的参数方程为? ? ?sin1cosyx，其中 ? 为参数，且2,2 ? ? ，在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求曲线 C 的极坐标方程；
8、 P A B C D E 4 （ 2）设 T 是曲线 C 上的一点，直线 OT 与曲线 C 截得的弦长为 3 ，求 T 点的极坐标 . 21（本小题满分 12 分） 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， 090?ADC ， ABCD/ ， 4?AB ，2?CDAD ， M 为线段 AB 的中点，将 ADC? 沿 AC 折起，使平面 ?ADC 平面 ABC ，得到几何体 ABCD? ，如图 2所示 . （ 1）求证： ?BC 平面 ACD ； （ 2）求二面角 MCDA ? 的余弦值 . 22（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PA? 平面 ABCD ， /AD BC
9、， AD CD? ， 且 22AD CD?， 42BC? ， 2PA? （ 1）求证： AB PC? ； （ 2）在线段 PD 上，是否存在一点 M ，使得二面角 M AC D?的大小为 45 ， 如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题（单项选择，每题 5分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P B C D M A 5 答案 C D C B B C A C B C C D 二、填空题（每题 5分，共 20分） 13 240 14 32 15. 16 5,2 17. (1) 5)5( 22 ?
10、yx 4分 (2) 23 6分 18. (1) 7205533 ?AA 4分 (2) 14403544 ?AA 4分 (3) 8403377 ? AA 4分 19.（ 1）证明 PB 平面 AEC -（ 4分） （ 2）计算： 23?AB -（ 2分） 证明 PBBC ? ，并 439?PBCS-（ 3分） 利用等体积法，求得 13133?h -（ 3分） 说明：法二：利用空间向量n nAPh ?法三：过点 A做 PBAF? ，证明 PBCAF? ，等面积法计 AF。 20.（ ） 根据 曲线 C 的参数方程 1x cosy sin?，其中 ? 为参数，且 ,22? ?， 得 曲线 C的普通方
11、程为： ? ?22 11xy? ? ? ? ?01x? ， 6 所以， 曲线 C 的极坐标方程为： 2sin? ， 0,2? ?. 6分 （ ） 由题得 3OT? ， 所以令 3 2sin? ， 0,2? ?，则解得 3? . 故点 T 的极坐标为 3,3?. 6分 21.（ ） 在图 1中， 可得 22AC BC?， 从而 2 2 2AC BC AB?， 故 AC BC? . 又面 ADC ? 面 ABC ，面 ADC ? 面 ABC AC? ， ABCBC 面? ， BC? 平面 ACD . 6分 （ ） 连结 OM,则 OM BC, OA,OM,OD 两两垂直， 以 O为原点， OA,O
12、M,OD所在直线分别为 x轴 ,y轴 ,z轴 建立空间直角坐标系 O xyz? 如图所示 则 ? ?0, 2,0M ， ? ?2,0,0C ? ， ? ?0,0, 2D ， ? ?2, 2,0CM ? ， ? ?2,0, 2CD ? . 设 ? ?1 ,n x y z? 为 面 CDM 的法向量，则 1100n CMn CD?即 2 2 02 2 0xyxz?， 解得 yxzx?. 令 1x? ， 可得 ? ?1 1,1,1n ? . 又 ? ?2 0,1,0n ? 为面 ACD 的一个法向量， 12121213c o s , 33nnnnnn? ? ?. 二面角 A CD M?的余弦值为 3
13、3 . 6分 （法二）如图， 7 取 AC 的中点 N ， DC 的中点 G ，连结 ,MN NG GM . 易知 /MN BC ，又 BC ACD? 面 ， MN ACD?面 ，又 CD ACD? 面 ， MN CD?. 又 NG 为 ACD? 的中位线，因 AD DC? ， NG DC?， NG MN N?，且 ,NGMN都在面 MNG 内，故 CD MNG?面 ， 故 NGM? 即为二面角 A CD M?的平面角 . 在 Rt ADC? 中，易知 22AC? ； 在 Rt ABC? 中，易知 22BC? ， 2MN?. 在 Rt MNG? 中 1, 2 , 3N G M N M G? ?
14、 ? ?. 故 13c o s33NGN G M MG? ? ? ?. 二面角 A CD M?的余弦值为 33 . 22.由已知 22AD CD?， 42BC? ， 可得 ABC? 是等腰直角三角形，即 AB AC? ， 又 PA? 平面 ABCD ，则 PA AB? ， 所以 AB? 平面 PAC ， 所以 AB PC? 4分 （ II）存在法一：（猜证法） 观察图形特点，点 M 可能是线段 PD 的中点下面证明当 M 是线段 PD 的中点时，二面角 M AC D?的大小为 45 5 分 过点 M 作 MN AD? 于 N ，则 /MN PA ，则 MN? 平面ABCD 过点 M 作 MG
15、AC? 于 G ，连接 NG ，则 MGN? 是二面角M AC D?的平面角 因为 M 是线段 PD 的中点，则 1MN? ， 2AN? ， 在四边形 ABCD 求得 1NG? ，则 45MGN? 8 分 P B C D M N G A z x y A D B C 8 在三棱锥 M ABC? 中，可得 13M A B C A B CV S M N?， 设点 B 到平面 MAC 的距离是 h ， 13B M A C M A CV S h?， 则 A B C M A CS M N S h? ? ?，解得 22h? 10 分 在 Rt BMN? 中，可得 27BM? 设 BM 与平面 MAC 所成的角为 ? ，则 26sin 9hBM? ? 12 分 法二：（作图法） 过点 M 作 MN AD? 于 N ，则 /MN PA ，则 MN? 平面 ABCD 过点 M 作 MG AC? 于 G ，连接 NG ，则 MGN? 是二面角 M AC D?的平面角 若 45MGN?，则 NG MN? ，又 22A N N G M N?，易求得 1MN? 即 M 是线段 PD 的中点 8 分 （以下同解法一） 法三：（向量计
