1、 - 1 - 山东省禹城市综合高中 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理 满分 150分 时间 120分钟 一、 选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项，请将正确选项填涂到答题卡的指定位置 .） 1.已知复数 z 满足 (3 4 ) 25iz?，则复数 z 的共轭复数 z =（ ） A 34i? B 34i? C 34i? D 34i? 2.已知 aR? ，设函数 ( ) lnf x ax x?的图象在点 (1, (1)f 处的切线为 1，则 1 在 y 轴上的截距为（ ） A. 1a? B. 1 C. 1
2、a? D. 1? 3. ?22 (sinx cosx)dx 的值是 ( ) A 0 B. 4 C 2 D 4 4.设函数 ( ) 1xf x xe?，则（ ） A. 1x? 为 ()fx的极大值点 B. 1x? 为 ()fx的极小值点 C. 1x? 为 ()fx的极大值点 D. 1x? 为 ()fx的极小值点 5.甲、乙两人参加 “ 社会主义价值观 ” 知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 23和 34 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A.34 B.23 C.57 D.512 6.已知 4 2 3 40 1 2 3 4( 2 1 )
3、( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x a a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 2a? （ ） A.18 B.24 C.36 D.56 7.在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6个程序，其中程序 A只能出现在第一或最后一步，程序 B和 C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A.34种 B.48种 C.96种 D.144种 8.随机变量 X 的分布列如表所示，若 1()3EX? ，则 ba?（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 - 2 - 9.函数 2 ln| |xxy x?的图象大致是（ ） 10.掷两 枚均匀
4、的大小不同的骰子，记 “ 两颗骰子的点数和为 8” 为事件 A， “ 小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数 ” 为事件 B，则 ( | )PAB ， ( | )PBA 分别为（ ） A.215 ， 25 B.314 ， 35 C.13 ， 15 D.45 ， 415 11.已知函数 ()y f x? 在 (0, )? 上非负且可导，满足， 2( ) ( ) 1xf x f x x x? ? ? ? ? ?，若0 ab?，则下列结论正确的是（ ） A. ( ) ( )af b bf a? B. ( ) ( )af b bf a? C. ( ) ( )af a f b? D. ( ) ( )bf
5、b f a? 12. 设函数 ()fx 是 定 义 在 ( ,0)? 上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 ()fx? ， 且 有2( ) 3 ( )xf x x f x? ? ，则不等式 38 ( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 ) ( 2 ) 0f x x f? ? ? ? ?的解集为（ ） A.( , 2016)? B.( 2018, 2016)? C.( 2018,0)? D.( , 2018)? 二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .请将正确答 案填写到答题卡的指定位置 .） 13.由直线 12x? ， yx? ，曲线 1y x? 所围封
6、装图形的面积为 14. 设 f(x) 1 x1 x，又记 f1(x) f(x)， f(k 1)(x) f(fk(x)， k 1,2， ? ，则 f2018(x) _. 15. 若函数 3( ) 12f x x x?在区间 (k 1， k 1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是_ 16.已知函数 )()(,2)(f 2 Raaxxxgx x ? 其中.对于不相等的实数 1x ， 2x ，设2121 )()( xx xfxfm ? ， 1212( ) ( )n g x g xxx? ?.现有如下命题： (1) 对于任意不相等的实数 1x ， 2x ，都有 0m? ； - 3 - (2) 对于
7、任意 a 的及任意不相等的实数 1x ， 2x ，都有 0n? ； (3) 对于任意的 a ，存在不相等的实数 1x ， 2x ，使得 n?m ; (4) 对于任意的 a ，存在不相等的实数 1x ， 2x ，使得 nm ? . 其中的真命题有 _(写出所有真命题的序号） . 三、 解答题：（本大题 6 小题， 17 小题 10 分， 18-22 小题，每题 12 分，共 70 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 将解答写在答题卡的指定位置 .） 17. (本小题满分 10分 )已知复数 (1 2 ) (3 )i( )z m m m? ? ? ? ? R （ 1）若复数 z在复
8、平面上所对应的点在第二象限，求 m的取值范围； （ 2）求当 m为何值时， |z 最小，并求 |z 的最小值 18. （本小题 满分 12分）已知函数 f(x) ax 2x 3ln x，其中 a为常数 (1)当函数 f(x)的图象在点 ? ?23， f? ?23 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在 ? ?32， 3 上的最小值； (2)若函数 f(x)在区间 (0， ) 上既有极大值又有极小值，求 a的取值范 围 19. （本小题 满分 12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式要具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访， 5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择
9、网购， 2 名倾向于选择实体店， 5名女性购物者中有 2名倾向于选择网购， 3名倾向于选择实体店 . （ 1）若从这 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率； （ 2）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 . 20. （本小题 满分 12分）如图，现要在边 长为 100 m的正方形 ABCD内建一个交通 “ 环岛 ” 正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 15x2 m的圆形草地为了
10、保证道路畅通，岛口宽不小于 60 m，绕岛行驶的路宽均不小于 10 m. - 4 - (1)求 x 的取值范围； (运算中 2取 1.4) (2)若中间草地的造价为 a元 /m2，四个花坛的造价为 433ax元 /m2，其余区域的造价为 12a11元 /m2，当 x取何值时， 可使 “ 环岛 ” 的整体造价最低？ 21. （本小题 满分 12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 23，乙获胜的概率为 13，各局比赛结果相互独立 (1)求甲在 4局以内 (含 4局 )赢得比赛的概率； (2)记 X为比
11、赛决出胜负时的总局数，求 X的分布列和均值 (数学期望 ) 22. （本小题 满分 12分）已知函数 xaxxxf ? 2)1ln ()( )( Ra? （ 1）当 41?a 时，求函数 )(xfy? 的单调区间； （ 2）若对任意实数 )2,1(?b ，当 ,1( bx ? 时， 函数 )(xf 的最大值为 )(bf ，求 a 的取值范围 - 5 - 参考答案及评分标准 1 6 BBCDDB 7-12 CADAAA 13. 3ln2 8? 14. 1x 15. ( 3， 1) (1,3) 16. (1)(4) 17.解（ 1） 复数 (1 2 ) (3 )i( )z m m m? ? ? ?
12、 ? R在复平面上所对应的点在 第二象限， 1 2 0,3 0,mm? ?2 分 解得 213 ? m ， ? 4分 m的取值范围是 )21,3( ? . ? 6分 （ 2） 10105)3()21(| 2222 ? mmmmz 5)1(5 2 ? m , ? 8分 当 1?m 时， 5| min?z .? 10 分 18解 :(1)f( x) a 2x2 3x， 由题意可知 f ? ?23 1，解得 a 1. ?2 分 由 f(x) x 2x 3ln x， f( x) x xx2 . 由 f( x) 0，得 x 2. ? 4分 于是可得下表： x ? ?32， 2 2 (2,3) f( x)
13、 0 f(x) 减函数 1 3ln 2 增函数 f(x)min f(2) 1 3ln 2. ? 6分 (2)f( x) a 2x2 3x ax2 3x 2x2 (x0)， ? 8分 由题意可得方程 ax2 3x 2 0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1， x2，并令 h(x)- 6 - ax2 3x 2， ? 10 分 则? 9 8a0，x1 x2 3a0，x1x2 2a0，解得 0a98. ? 12分 19 解：（ 1）设 “ 至少 1 名倾向于选择实体店 ” 为事件 A.则 A 表示事件 “ 随机抽取 2 名，（其中甲、女各一名）都选择网购 ” ， ?2 分 则 ()PA 1132
14、1155 191 ( ) 1 25CCPA CC? ? ? ? ?. ? 4分 （ 2） X 的取值为 0， 1,2,3， ? ? 5分 7( 0) 24PX?， 21( 1) 40PX? ， 7( 2) 40PX?， 1( 3) 120PX? . ? 9分 （写出 337310()kkCCP X kC? 亦可） 所以随机变量 X的分布列为： X 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 ? 10 分 ()EX? 7 2 1 7 1 90 1 2 32 4 4 0 4 0 1 2 0 1 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 20.解 (1)由题意得，? x9 ，100
15、2x60 ，100 2 2x 2 15x2210 ，?2分 - 7 - 解得? x9 ，x20 ， 20 x15 ，即9 x15. ? 4分 (2)记 “ 环岛 ” 的整体造价为 y元，则由题意得 y a ? ?15x2 2 433ax x2 12a11 ? ?104 ? ?15x2 2 x2 a11? ? ? ? 125x4 43x3 12x2 1210 4 ， ? 6分 令 f(x) 125x4 43x3 12x2， 则 f( x) 425x3 4x2 24x 4x? ?125x2 x 6 ， ? 8分 由 f( x) 0，解得 x 10 或 x 15， 列表如下： x (9,10) 10 (10,15) f( x) 0 f(x) 减函数 极小值 增函数 ? 10分 所以当 x 10， y取最小值 即当 x 10m时，可使 “ 环岛 ” 的整体造价最低 . ? 12分 21解 : 用 A表示 “ 甲在 4局以内 (含 4局 )赢得比赛 ” ， Ak表示 “ 第 k局甲获胜 ” ， Bk表示 “ 第k 局乙获胜 ” 则 P(Ak) 23， P(Bk) 13， k 1,2,3,4,5 (1)P(A) P(A1A2) P(B1A2A3) P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2) P(A3)P(A4) ?
