1、 1 20162017 学年第二学期期中试题 高二数学（理） 本试卷满分 150 分 考试时间 120分钟 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 32(1 )(1 )ii?=( ) A.1i?B.i?C.1i?D.1i?2. 函数1()fxx?在点（ 1,1）处的切线方程为：（ ） A. 20xy?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ?3.定积分1 20 1?的值等于（ ） A. 2?B. 4C. 2D. 44.曲线2 2yx?与 直线3 , 0, 2y x x x? ? ?所围成平面图形的面积为（ ） A.1 B. C
2、.2 D. 5. 函数2( ) ( )f x x x c?在2x?处取到极小值，则c（ ） A.2 B.6 C.2或 6 D.不能确定 . 6. 函数( ) ln 3f x x x的单调递减区间是 ( ) A. ( ,0)?B. 1(0, )3C. ( ,?D. ( ,0)?和1( , )3?7.若函数324y x ax? ? ?在（ 0,2）内单调递 减，则实数a的取值范围为（ ） A. 3a?B. 3a?C. ?D. 3?8. 已知函数32()f x x ax bx c? ? ? ?，下列结论中错误的是 （ ） A.0xR?，0( ) 0fx?第 1 页（共 6 页） 2 B.函数()y
3、f x?的图象是中心对称图形 C.若0x是()fx的极小值点，则 在区间0( , )?单调递减 D.若 是 的极值点，则0( ) 0?9. 当1, 2, 3, 4, 5, 6,.n ?时，比较2n与2的大小并猜想得（ ） A. 1?时，2n?B. 3时，2n n?C. 4时，nD. 5时，210. 已知函数()fx=3231ax x?，若()存 在唯一的零点0x，且 0，则a的取值 范围为 A.（ 2， +） B.（ -， -1） C.（ 1， +） D.（ -， -2） 11. 函数 的定义域为 R, (1) 6f ?, 对, ( ) 2,x R f x? ? ?则( ) 2 4f x x?
4、的 解集为（ ） A.(-1， 1) B.( , )? ?C. (1, )?D.(0， 1 ) 12. 曲线12exy?在点（ 4， e2）处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为（ ） A29eB 4e2 C 2e2 D e2 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13. 复数12ii?的共轭复数是 14.设|( ) ,xf x e?则42 ()f xdx?= 15.函数1( ) ( si n c os ) , 0 , 1 2 xf x e x x x? ? ?的值域为 16.已知数列1 1 1 1, , , . .,1 2 2 3 3 4 ( 1 )nn? ? ? ?则前n项和nS=
5、三、解答题： 共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.( 10分 )计算由抛物线2 1yx?，直线, 0xy?所围成的图形的面积S3 18.(12分 )已知2( ) ln , ( ) 3f x x g x x?；证明：(0, ),x? ? ?都有( ) ( )g x f x?19.(12分 ) 设函数2( ) ln( 2 3 )f x x x? ? ?（ ）讨论()fx的单调性； （ ）求()fx在区间3144?，的最大值和最小值 20. (本小题满分 12分 ) 在ABC?中，三个内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C成等差数列， a,b,c 成等比数列
6、，求证 为等边三角形。 21 已知复数immmmz )23()232( 22 ?. 当实数m取什么值时，复数 z是 实数； 虚数； 纯虚数； 4 22（ 12 分） 设函数32()y f x ax bx c x d? ? ? ? ?的图象 与 y轴的交点为 P 点，曲线在点 P处的切线方程为4 0xy? ? ?，若函数在2x?处取得极值 0； （ ）求函数()y f x的解析式； （ ）画出函数 的图像并判断其零点的个数； 20162017 年度高二数学期中考试答案（理科） 一 选择题 DBBAA CBCDD CD 二填空 题 13i?14. 422ee?15. 11 , (si n 1 co
7、s 1)22e ?16. 1nn?三 .解答题 17.(10分 ) 抛物线 y x2 1与 x轴的交点为 ( 1,0)和 (1,0)，如图， 5 2分 所求面积 S (x2 1)dx -1 21( 1)x dx? ? .5 分 (13x3 x)|12 (x 13x3)| 11 83 .10 分 18.令2( ) ( ) ( ) l n , ( 0 , )3F x g x f x x x x? ? ? ? ? ?,则 2 1 2 3() 33xFx xx? ? ? .3 分 令( ) 0,Fx?32x?;3(0, )2?时 , ( ) 0?,函数单调递减 ; 3, )2 ?时 , ( ?;函数单
8、调递增 ; .7分 所以 , 33( ) ( ) 1 ln 022F x F? ? ? ?;即2 ln3xx?. 所以 , (0, ),x? ? ?都有( ) ( )g x f x? .12 分 19.(12分 ) （ ）22 4 6 2 2( 2 1 ) ( 1 )( ) 22 3 2 3 2 3x x x xf x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 6 当3 12 x? ? ?时，( ) 0fx? ?；当11 2?时，( ) 0? ?； 当12x?时， 5 分 从而，()分别在区 间3 1?，12?， 单调增加， 在区间11 2，单调递减 7分 （ ）由（ ）知fx
9、在区间3144?，的最小值为11ln 224f ? ? ? 9分 又3 1 3 9 7 1 3 1 1 49l n l n l n 1 l n4 4 2 16 2 16 7 2 2 6ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? 所以()在区间? ，的最大值为1 1 7ln4 16 2f ? .12分 20.由 A， B， C成等差数列，有 2B=A+C（ 1） 因为 A， B， C为 ABC的内角，所以 A+B+C= 由（ 1）（ 2）得 B=3?（ 3） 由 a， b， c成等比数列，有 b2=ac（ 4） 由余弦定理及（ 3）
10、，可得 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac 再由（ 4），得 a2+c2-ac=ac， 即（ a-c） 2=0 因此 a=c 从而 A=C（ 5） 由（ 2）（ 3）（ 5），得 A=B=C=3?所以 ABC为等边三角形 21. 当0232 ? mm时，即1?或m时，复数 z为实数 . 当?时，即?且2时，复数 为虚数 . 7 当? ? 023 0232 22mm mm时，解得?21221mmmm且或即21?m时，复数 z为纯虚数 . 22.(12分 )(1) 2( ) 6 6 3f x x ax b? ? ?由题意可得：(1) 0, (2) 0;ff?即6 6 3 024 1
11、2 3 0 abab? ? ? ? ?解得, 4? 4分 (2)由 (1)得 : 32( ) 2 9 12 8f x x x x c? ? ? ?2 3 2 2 3 2 2( ) 2 9 12 8 2 9 12 8f x c x x x c c x x x c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; .6分 令32( ) 2 9 12g x x x? ? ?要使0,3,x?都有2()f x c?成立 ,只需 : 0,3,?都有2( ) 8g c c?成立 只需 : 2m in 0 , 3 , ( ) 8x g x c c? ? ?即可 .9分 而( ) 6 18 12 6( 1 ) ( 2)g x x x x x? ? ? ? ? ?; ( 0 , 1 ) , ( ) 0 ; ( 1 , 2) , ( ) 0 ; ( 2 , 3 ) , ( ) 0x g x x g x x g x? ? ? ? ? ?所以 , 0 ( 0) ( 2) (1 ) ( 3 ) 9g g g g? ? ? ? ?;即min( ) 0gx ?由2 80cc?可得 : (0,8)c? 12 分
