1、 1 20162017 学年高 二 第 二 学期 期中考试 数学 文科 试题 考试时间： 90分钟 满分： 100分 一、 选择题 （本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分） 1. 已知复数 2z a a ai? ? ? ，若 z 是纯虚数，则实数 a 等于（ ） A 2 B 1 C 10或 D 1? 2已知 点 P 的直角坐标 )32,2( ? ，则它的一个 极坐标 为（ ） A (4， 3? ) B (4， 34? ) C (-4， 6? ) D (4， 6? ) 3 在 同 一 平 面直 角坐 标 系 中 ， 在坐 标 伸缩 变换? ? ? )0( ),0(,: ? ? yy xx
2、作用下 ，曲线2220x x y? ? ? 变为曲线 04369 22 ? yxx ，则 变换 ? 为 （ ） A?yyxx21,31B?yyxx31,21C? ? yy xx 3 ,2D? ? yy xx 2,34用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?有有理根，那么 a b c， ， 中至少有一个是偶数，下列假设 中正确的是 （ ） A 假设 a b c， ， 都是偶数 B 假设 a b c， ， 都不是偶数 C 假设 a b c， ， 至多有一个是偶数 D 假设 a b c， ， 至多有两个是偶数 5.在证明命题“对于任意角 ? ， 44co
3、s sin cos 2? ? ?”的过程： “ 4 4 2 2 2 2 2 2c o s s i n ( c o s s i n ) ( c o s s i n ) c o s s i n c o s 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”中应用了 A 分析法 B 综合法 C 分析法和综合法综合使用 D 间接证法 6.已知函数 ()fx的导 函数的图象如图所示，若 ABC 为锐角三 角形，则下列不等式 一定成立的是（ ） A (sin ) (sin )f A f B? B (sin ) (cos )f A f B? 2 C (cos ) (cos )f A f B? D
4、 (sin ) (cos )f A f B? 7 已知 z?C ， 21z?，则 25zi? 的最大值和最小值分别是（ ） A 41 1? 和 41 1? B 3和 1 C 52和 34 D 39 和 3 8 对于 R 上可导的任意函数 )(xf ，若满足2 0( ) ( )xf x f x?，则必有 （ ） A. )2(2)3()1( fff ? B. )2(2)3()1( fff ? C. )2(2)3()1( fff ? D. )2(2)3()1( fff ? 9已知点 ? ?,Axy 为曲线 1C : 4 s in 3 c o s (3 s in 2 c o sxy ? ? ? 为 参
5、 数 ）上的动点，若不等式 0x y n?恒成立，则实数 n 的取值范围（ ） A.(5 2, )? B. ?5 2,? ? C. ?5 2,? ? D. ( 5 2, )? ? 10. 36 的所有正约数之和 可按如下方法得到：因为 2236 2 3?，所以 36 的所有正约数之和2 2 2 2 2 2 2 2( 1 3 3 ) ( 2 2 3 2 3 ) ( 2 2 3 2 3 ) ( 1 2 2 ) ( 1 3 3 ) 9 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 参照上述方法，可求得 10000的所有正约数之和为 （ ） A 24211 B 24311
6、C 24411 D 24511 11若函数 ?fx对任意的 Rx? 都有 ? ? ? ?f x f x? ? 恒成立，则（ ） A ? ? ? ?3 ln 2 2 ln 3ff? B ? ? ? ?3 ln 2 2 ln 3ff? C ? ? ? ?3 ln 2 2 ln 3ff? D ? ?3 ln2f 与 ? ?2 ln3f 的大小不确定 12设 ()fx? 为函数 ()fx的导函数，已知 2 1( ) ( ) l n , ( )x f x x f x x f e e? ? ? ?，则下列结论正确的是 （ ） A ()fx在 (0, )? 单调递增 B ()fx在 (0, )? 单调递减
7、C ()fx在 (0, )? 上有极大值 D ()fx在 (0, )? 上有极小值 二、 填空题 ： （本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16 分） 13 已知 m为实数， i为虚数单位，若 ? ?2 40m m i? ? ?，则 222mii? = 14 在极坐标系中，已知直线过点 (1,0)，且其向 上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为 3? ，3 则直线的极坐标方程为 _ 15 已知某连锁经营公司所属 5个零售店某月的销售额和利润额资 料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额（ x） /千万元 3 5 6 7 9 利润额（ y） /千万元 2 3 3 4 5 根据如下的参考
8、公式与参考数据，求利润额 y与销售额 x之间的线性回归方程 _ （参考公式： 1221niiiniix y nxybx nx?， a y bx? ） 16. 参数方程222223 1511txttytt? ? ? ? ?（ t 为参数）化为普通方程 三、 解答题 （ 本大题共 5小题，共 48分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本 小题 满分 8分） 已知复数 ? ?11 592 2 4zii? ? ? （ 1）求复数 z 的模； （ 2）若复数 z 是方程 220x mx n? ? ?的一个根，求实数 ,mn的值 18. （本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xoy
9、中，直线 l 的参数方程为232 ()22xttyt? ? ?为 参 数在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为4sin? （ 1）求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 普通方程； （ 2）设圆 C 与直线 l 交于点 A ， B ，若点 P 的坐标为 ? ?3,0 ，求 PA PB? 的值 19（本小题满分 10 分） 某企业通过调查问卷（满分 50 分）的形式对本企业 900 名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中 30 名员工（ 16名女员工， 14名男员工）的得分，如下表： 4 (1)根据以上数据，估计该
10、企业得分大于 45 分的员工人数； (2)现用计算器求得这 30 名员工的平均得分为 5.40 分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格： (3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为该企业员 工“性别”与“工作是否满意”有关？ 参考数据： ? ? ? ? ? ?dbcadcba bcadnK ? ?22 ? ?2 k? ? ? 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20. （本 小题 满分 10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，
11、直线 l 的直角坐标方程为 ： yx? ，曲线 C 的 方程为2 2:12xCy?，现建立 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 （ 1）写出直线 l 极 坐标方程 ， 曲线 C 的参数方程； （ 2）过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A 、 B 两点，若 83MA MB?，求点 M 轨迹的直角坐标方程 21.（本 小题 满分 10分） 已知函数 ? ? 1 lnf x k xx? ， 0k? . （ 1）当 2k? 时，求函数 ?fx切线斜率中的最大值； （ 2）若关于 x 的方程 ? ?f x k? 有解，求实数 k 的取值范围 . 5 2016 2017 学年
12、第二学期高二期中考试 数学试题参考答 案 一选择题：（本大题共 12小题，每小题 3分，满分 36分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C B B D A C A A C D 二 . 填空题：（本大题共 4小题，每小题 4分，满分 16分 ） 13 i 14. 233sin ? ?15. 4.05.0 ? xy 16. ? ?30052 ? xyx 三解答题 17 （本 小 题 满分 8分） （ 1） ? ?11 592 2 4zii? ? ? i21? ? 3分 5?z ? 4分 （ 2）复数 z 是方程 220x mx n? ? ?的一个根 ?
13、? 0826 ? imnm ? 5分 由复数相等的定义，得： 602 8 0mnm? ? ? ? ? ? 6分 解得： 4, 10mn? ? 8分 18. （本小题满分 10 分） 解：（ 1）由 4sin? ，得 2 4 sin? ? ? ， 从而可得 224x y y?，即 2240x y y? ? ?， 即圆 C 的直角坐标方程为 ? ? 42 22 ? yx ? 2分 直线 l 的普通方程为 30xy? ? ? ? 4分 （ 2）将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得 4222)223(22 ? ? tt ，即 09252 ? tt ? 6分 由于 ，故可设 t1， t2是
14、上述方程的两实根， 6 ? 8分 又 直线 l 过点 ? ?0,3P ，故由上式及 t 的几何意义得2521 ? ttPBPA ? 10 分 19 （本小题满分 10 分） 解： ?1 从表中可知， 30 名员工中有 8 名得分大 于 45 分? 1分 ?任选一名员工，它的得分大于 45 分的概率是 8430 15? ? 2分 ?估计此次调查中，该单位共有 4900 24015? 名员工的得分大于 45 分? 4 分 ?2 完成下列 表格： ? 6分 ?3 假设该企业员工“性别”与“工作是否满意”无关? 7分 ? ? 22 3 0 1 2 1 1 3 4 8 . 5 7 1 6 . 6 3 5
15、1 5 1 5 1 6 1 4? ? ? ? ? ? ? ? 9分 ?能在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关 ? 10 分 20. （本小题满分 10 分） 解：（ 1）直线斜率为 1，直线 l 的极坐标方程为 4? ? ?R? ? 2分 可得曲线参数方程为 （ ?为 参 数 ） ? ? ? 4分 （ 2）设点 00( , )Mx y 及过点 M 的直线为 ? ? ? 5分 7 由直线 1l 与曲线 C 相交可 得： 2 220 0 0 03 2 2 2 2 2 02t tx ty x y? ? ? ? ? ? ? 6分? 38? MBMA 3823
16、22 2020 ? yx ，即：220026xy?， ? ? 8分 2226xy?,即 表示一椭圆 ? ? 9 分 取 y x m? 代入 2 2 12x y?得： 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ?. 由 0? 得 33m? ? ? 故点 M 的轨迹是椭圆 2226xy?夹在平行直线 3yx? 之间的两段 椭圆 弧 .? 10分 21. （本小题满分 10 分） 【解答】解：（ 1） 函数 ? ? 1 lnf x k xx? 的定义域为 ? ?0,? . ? ? 21 ( 0 )kf x xxx? ? ? ? 当 2k? 时， ? ? 221 2 1 1 1 1fx x x
17、x? ? ? ? ? ? ? ?， 所以函数 ?fx切线斜率的最大值为 1. ? 4分 （ 2） 因为关于 x 的方程 ? ?f x k? 有解， 令 ? ? ? ? 1 lng x f x k k x kx? ? ? ? ?，则 问题等价于函数 ?gx存 在零点， ? 5分 所以 ? ?2211k kxgx x x x? ? ? ?. 当 0k? 时，令 ? ? 0gx? ? ，得 1x k? . ?gx， ?gx随 x 的变化情况如下表： 8 所以 11ln lng k k k k kkk? ? ? ? ? ?为函数 ?gx的最小值， 当 1 0g k?时，即 01k?时，函数 ?gx没有零点， ? 6分 当 1 0g k?时，即 1k?
