1、 - 1 - 陕西省西安市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题（文科实验班） 参考公式及数据：)()()( )(22dbcadcba bcadnk ? ?线性回归方程 y bx a?中， 1221niiiniix y nxybx nx?， a y bx? ，其中 x ， y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a?. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知b?，0?c，则下列不等式一定成立的是（ ） A22 ba?Bbcac?Ccbca ?Dcbca?2.用反证法证明命题 “ 设 , 为
2、实数 ,则方程 至少有一个实根 ” 时 ,要做的假设是（ ） A方程 没有实根 B方程 至多有一个实根 C方程 至多有两个实根 D方程 恰好有两个实根 3. 已知关于某设备的使用年限 x与所支出的维修费用 y(万元），有如下统计资料： 若 y对 x呈线性相关关系，则回归直线方程 y bx a?表示的直线一定过定点（ ） A (5， 4） B (4， 5) C (4， 5.5) D (5.5， 4) P( 2 k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5
3、7.0 - 2 - 4.已知正数 a, b满足 4a b=30，使得 ba 11? 取最小值的实数对 (a, b)是（ ） A (5， 10） B (6， 6) C (10， 5) D (7， 2) 5.下列四个 图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，则这个数列的一个通项公式为（ ） A an=3n-1 B an=3n C an=3n 2n D an=3n-1+2n 3 6.对两个变量的相关系数 r ，下列说法中正确的是（ ） A |r 越大，相关程度越大 B |r 越小，相关程度越大 C |r 趋近于 0时，没有非线性相关关系 D |r 越接近于 1时，线性相关程度越强 7.某
4、地区气象台统计，该地区下雨的概率是 154 ，刮三级以上风的概率为 152 ，既刮风又下雨的概率为 101 ，则在下雨天里，刮风的概率为（） A 2258 B 21 C 83 D 43 8. 在 ABC中， ACB 0， BC=3， AC=4， P是 AB 上的点，则点 P到 AC， BC 的距离的乘积的最大值是（） A 2 B. 3 C 332 D 32 9.如图 1所示，在 ABC中， AB AC， AD BC，则 AB2 BD BC类似有命题：在三棱锥 ABCD中，如图 2所示， AD面 ABC若 A在 BCD内的射影为 O， E在 BC上，且 E， O， D在同一条直线上，则 2ABC
5、S S BCO S BCD，此命题是 ( ) 图 1 图 2 A假命题 B增加 AB AC 的条件才是真命题 - 3 - C真命题 D增加三棱锥 A BCD是正棱锥的条件才是真命题 10.对于实数 x， y，若 |x 1|1 ， |y 2|1 ，则 |x 2y 1|的最大值为 ( ) A 5 B 4C 8 D 7 11. 若正数 a， b满足 2ab? ，则 14+1 +1ab? 的最小值是 ( ) A 1 B 94 C 9 D 16 12.若 x ,yR? 且 x y a x y? ? ?恒成立，则 a 的最小值是（） A 22 B 2 C 2 D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分
6、，共 20 分，请把答案填写在答题纸上） 13. 若关于实数 x 的不等式 52x x a? ? ? ?无解，则实数 a 的取值范围是 14.已知两个 变量 yx, 的关系可以近似地用函数 by ax? 来表示，通过两边取自然对数变换后得到一个线性函数 .利用最小二乘法得到的线性回归方程为 2 0.5uv? ，则 yx, 的近似函数关系式为 15. 甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为 15 ，甲乙下成和棋的概率为 25 ，则 乙不输棋的概率为 16. 二维空间中圆的一维测度（周长） 2lr? ，二维测度（面积） 2Sr? ，观察发现 Sl? ；三维空间中球的二维测度（表面积） 24Sr? ，三维
7、测度（体积） 343Vr? ，观察发现 VS? .已知四维空间中 “ 超球 ” 的三维测度 38Vr? ，猜想其四维测度 W? _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 10分 ) 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A， B，C 三种商品有购买意向已知该网民购买 A种商品的概率为 34 ，购买 B种商品的概率为 23 ，购买 C种商品的概率为 12 假设该网民是否购买这三种商品相互独立 （ 1）求该网民三种商品都买的概率； （ 2）求该网民至少购买 2种商品的概率 - 4 - 18. (本小题满分
8、12分 )从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 ix （单位：千元）与月储蓄 iy （单位：千元）的数据资料，算得 101 80ii x? ?， 101 20ii y? ?， 101 184iii xy? ?，10 21 720ii x? ?. （ 1）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y bx a?，并判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； （ 2） 若该居民区某家庭月收入为 7千元，预测该家庭的月储蓄 . 19. (本小题满分 12分 )已知 0a? ，求证： 22 22aaaa? ? ? ?11 20. (本小题满分 12分 )已知函数 (
9、 ) 2f x x?， ( ) 3g x x m? ? ? ? （ 1） 若关于 x 的不等式 ( ) 0gx? 的解集为 ? ?5, 1? ，求实数 m 的值； （ 2） 若 ()fx的图象恒在 ()gx图象的上方，求实数 m 的取值范围 21. (本小题满分 12分 )2017 年 9月 20 日是第 29个全国爱牙日。某地卫生部门成立了调查小组，调查 “ 常吃零食与患龋齿的关系 ” ，对该区某校高一年级 800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得 汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有 60名，常吃零食但不患龋齿的学生有 100名，不常吃零食但患龋齿的学生有 140名 . （ 1）
10、 在答题卡上完成下面表格，并判断能否在犯错概率不超过 0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？ - 5 - （ 2） 4 名卫生部门的工作人员随机分成两组，每组 2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理 .求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率 . 不常吃零食 常吃零食 总计 不患龋齿 患龋齿 总计 22 (本小题满分 12 分 )设 函数 ( ) 2 | 1 | 1f x x x? ? ? ?， 2( ) 16 8 1g x x x? ? ?，记 ( ) 1fx? 的解集为 M， ( ) 4gx? 的解集为 N. （ 1）求 M； （ 2）当
11、x M N? 时，证明： 221( ) ( ) 4x f x x f x?. 答案 一、选择题 CABAA DCBCA BB 二、填空题 13. 3a? - 6 - 14. 12 2y ex? 15. 45 16. 42r? 三、解答题 17. （ 1） 14（ 2）记 “ 该网民购买 i种商品 ” 为事件 , 2,3iAi? ，则：3 3 2 1 1() 4 3 2 4PA ? ? ? ?, 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1( ) (1 ) (1 ) (1 )4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 4PA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以该网民至少购买
12、 2种商品的概率为 32 1 1 1 1 7( ) ( ) 4 2 4 2 4P A P A? ? ? ?. 答：该网民至少购买 2种商品的概率为 1724. 18. （ 1）由题意知 n=10,111 8 0 18,10nniiiix x y y? ? ? ? ?20210? 222117 2 0 1 0 8 8 01 8 4 1 0 8 2 2 4nx x ii nx y i iil x n xl x y n x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由此得 b= 24 0.3,80xyllxx ? a=y -bx =.3?8=-0.4, 故所求回归方程为 y=0.3x-0.4
13、由于变量 y的值随 x的值增加而增加（ b=0.30），故 x与 y之间是正相关 （ 2）将 x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 0.3 7 0.4 1.7y ? ? ? ?(千元 ) 19. 解 :本题主要考察应用分析证明不等式，只需要注意分析法证明 问题的步骤即可 . 因为 0a? ，所以为 了证明221122aaaa? ? ? ?，只需证明221122aaaa? ? ? ?，即只需证明 222211( 2 ) 2()aaaa? ? ? ? ，即 2 222 2 21 1 1 14 4 2 2 ( ) 4 ,a a a aa a a a? ? ? ? ? ? ? ? - 7 - 即
14、只需证明 22112 2( )aaaa?，只需证明 2222114( ) 2( 2 )aaaa? ? ?，即2 21 2a a? . 因为 22221122aaaa? ? ?，当且仅当 1a? 时，等号成立 .所以 22112 2.aaaa? ? ? ?20. 解（ 1） 2m? （ 2） 5m? 21. 解：（ 1）由题意可得列联表： 不常吃零食 常吃零食 总计 不患龋齿 60 100 160 患龋齿 140 500 640 总计 200 600 800 因为 828.10667.16600200640160 )14010050060(800 22 ? ?k 。 所以能在犯错率不超过 0.0
15、01的前提下 ,为该 区学生常吃零食与患龋齿有关系。 （ 2）设其他工作人员为丙和丁， 4人分组的所有情况如下表 小组 1 2 3 4 5 6 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分组的情况总有 6 中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种， 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是 3162?P 。 22解（ 1） 3 3 , 1, )()1 , ( ,1)xxfx xx? ? ? ? ? ? ?当 1x? 时，由 ( ) 3 3 1f x x? ? ?得 43x? ，故 41 3x? ； 当 1x? 时，由
16、 ( ) 1 1f x x? ? ? 得 0x? ，故 01x?； 所以 ( ) 1fx? 的解集为 4 | 0 3M x x? ? ?. (2)由 2( ) 16 8 1 4g x x x? ? ? ?得 2116( ) 4,4x?解得 1344x? ? ? ，因此13 | 44N x x? ? ? ?，故 3 | 0 4M N x x? ? ?. 当 x M N? 时， ( ) 1f x x? ，于是 - 8 - 22( ) ( ) ( ) ( ) x f x x f x x f x x f x? ? ? ? 21 1 1( ) (1 ) ( )4 2 4x f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?.
