1、 1 2016-2017 学年（下）高二理科数学期中考试题 班级： 学号： 姓名： 一、选择题：本大题共 12题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设全集 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|x2 x 2 0，则 A （ ?UB） =（ ） A（ 0， 2 B（ 1， 2 C 1， 2 D 2， + ） 2复数 ii ? )21( 的虚部是（ ） A 1 B.-1 C.i D.-i 3已知 | |=1， | |=2，向量 与 的夹角为 60 ，则 | + |=（ ） A B C 1 D 2 4等差数列 an中，若 a1+a4+a7=39， a3+a6+a
2、9=27，则前 9项的和 S9等于（ ） A 66 B 99 C 144 D 297 5在 ABC 中， a2=b2+c2+ bc，则 A 等于（ ） A 60 B 45 C 120 D 150 6 在复平面内，复数 i iz 21? 对应的点位于 （ ） A第 四 象限 B 第 三 象限 C第 二 象限 D第 一 象限 7已知抛物线 x2=2y的焦点与椭圆 + =1的一个焦点重合，则 m=（ ） A B C D 8.要得到函数 y=cos(2x+1)的图象 ,只要将函数 y=cos 2x的图象 ( ) (A)向左平移 1个单位 (B)向右平移 1个单位 (C)向左平移 个单位 (D)向右平移
3、 个单位 9.已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,则双曲线的渐近线方程为 ( ) (A)y= x (B)y= x (C)y= x (D)y= x 10： .已知函数 f（ x）的导函数为 f （ x），且满足 f（ x） =2xf （ 1） +lnx，则 f （ 1） =（ ） 2 A 1 B e C 1 D e 11.设 ()fx是函数 )(xf 的导函数， )(xfy ? 的图象如图所示，则 ()y f x? 的图象最有可能的是（ ） 12 函数 )6c o s ()2(23 xxS iny ? ?的最大值为（ ） 。 A、 413 B、 413 C、 213 D、 13 二
4、、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13 已知变量 x ， y 满足约束条件2 0,2,0,xyyxy? ? ?则 2z x y?的最大值为 14设 tan=3 ，则 = 15: .函数 f（ x）的图象在 x=2处的切线方程为 2x+y 3=0，则 f（ 2） +f（ 2） = 16:已知函数 2( ) 3 2 1f x x x? ? ?，若 11 ( ) 2 ( )f x dx f a? ?成立，则 a _. 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10分 ） 已知函数 )1()( 2 ? xxexf x ， 求函数 (
5、)fx的单调区间 及极值 ； 3 18 本小题满分 12分 )已知 分别是 的角 所对的边，且 ， （ 1）若 的面积等于 ，求 的值 ; （ 2）若 ，求 的值 19（ 12分） 在等比数列 ?na 中， 142, 16aa? （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）令 *122 ,lo glo g1 Nnaabnnn ? ?求数列 ?nb 的前 n 项和 nS 4 20（本题满分 12分） 如 图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1AB AC AA?， 2BC AB? ，点 D是 BC 的中点。（ I）求证： AD? 平面 11BCCB ；（ II）求证： 1 /AB
6、平面 1ADC ；（ III）求二面角1A AB D?的 余弦值 。 21 (本 小题满分 12分 ) 已知函数 2( ) ln ,f x x a x x a? ? ? ? R （ 1）若 0a? ，求曲线 ()y f x? 在点（ 1， (1)f ）处的切线方程； （ 2）若函数 ()fx在 1， 2上是减函数，求实数 a的取值范围； 22设椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，一个顶点坐标为 ? ?2,0 ，离心率为 32 . （ 1）求这个椭圆的方程； （ 2）若这个椭圆左焦点为 1F ，右焦点为 2F ，过 1F 且斜率为 1的直线 交椭圆于 AB、 两点，求 2ABF?的面积 . C
7、 1B 1A 1DCBA5 2016-2017学年（下）高二理科数学期中考试题 答案 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B D B A C D A C C 二：填空题 13： 6 14： 2 15： -3 16： 1? 或 13三：解答题17（ ）函数 ()fx的定义域为 R . 当 1a? 时， ( ) e ( 2 )( 1)xf x x x? ? ? 2分 当 x 变化时， ()fx， ()fx的变化情况如下表： x ( , 2)? 2? ( 2, 1)? 1? ( 1+ )?， ()fx ? 0 ? 0 ? ()fx 极大值 极小值
8、函数 ()fx的单调递增区间为 ( , 2)? ， ( 1 )? ?， ， 函数 ()fx的单调递减区间为 ( 2, 1)? . 18（本题满分为 10分） 解： 由 得 若 ，则 ； 若 ，则 6 ，上式化为 综上 或 19 解：（ 1）设等比数列 ?na 的公比为 q 依题意得 13412 16aa a q? ?解得 2q? 所以：数列 ?na 的通项公式 12 2 2nnna ? ? ? （ 2）由（ 1）得 ? ?2 2 1 1 1 1l o g , l o g 1 , 11n n na n a n b n n n n? ? ? ? ? ?12 1 1 1 1 1 1112 2 3 1
9、 1 1nn nS b b b n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19:（ 本题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1AB AC AA?， 2BC AB? ，点 D是 BC 的中点。（ I）求证： AD? 平面 11BCCB ； （ II）求证： 1 /AB 平面 1ADC ； （ III） 求二面角1A AB D?的余弦值。 解：（ I） 因 ,AB AC D? 为 BC 中点，故 AD BC? （ 1分）。又因 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC?
10、中 ， 1CC?平面 ABC ，故 1AD CC? （ 2分）。又 1BC CC C? （ 3分），故 AD?平面 11BCCB （ 4分）。 用向量方法证明本题请对应给分。本题可分别以 1,AB AC AA 为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系，也可分别以 1,DC DA AD （ 1D 为棱 11BC 中点）为,xyz 轴建立空间直角坐标系。 （ II） 如图，连接 11AC AC E? ，连接 DE 。因 D 、 E 分别是 BC 、 1AC的中点，故 DE 是 1ABC 的中位线（ 5 分），故 1 /AB DE （ 6 分）。因1AB? 平面 1ADC （ 7分），故 1 /AB 平面
11、 1ADC （ 8 分）。 用向量方法证明本题请如下给分：求出平面 1ADC 的法向量（ 2 分）， 因1AB? 平面 1ADC （ 7分），故 1 /AB 平面 1ADC （ 8 分）。 （ III）解法一：连接 11B A BA O? ，分别取 OB 、 AB 中点 H 、 1O ，EC 1B 1A 1DCBAHO 1OEC 1B 1A 1DCBA7 连接 DH 、 1DO 。因为四边形 11ABBA 是正方形且 1,OH分别是 ,BABO 中点，故 1HO AB? 。又因 1,OH分别是 ,BABC 中点且 AB AC? ，故 1OD AB? ，故 1OHD? 就是 二面角 1A AB
12、D?的平面角（ 10 分）。 设 2AB? ，则在 Rt 1HOD 中， 1 90HOD? ? ? 且111 1 21,2 2 2O D A C O H O A? ? ? ?，故62HD? ，故 11 3co s 3OHO H D DH? ? ?（ 12分）。 解法二：设 2AB AC?，则 22BC? ，故 2 2 2AB AC BC?，故AB AC? (9 分 )，又因三棱柱 1 1 1ABC ABC? 为直三棱柱，故1,AB AC AA 两两垂直，故可建系如图。则平面 1AAB 的法向量为1=(0,1,0)n （ 10 分）。又 11( 2 , 0 , 2 ), (1,1, 2 )A B
13、 A D? ? ? ?，设平面 1ABD的法向量 2=( , , )n xyz ，则 020xzx y z? ? ? ?。令 1z? 可得 2=(1,1,1)n （ 11 分） 。设所求二面角为 ? ，由图可知 ? 为锐角，故 1212| | 3cos 3| | | |nnnn? ? （ 12分）。 21题： (1)当 0a? 时， 2( ) lnf x x x? 所以 1( ) 2f x x x? ?， (1) 1f? ? 又 (1) 1f ? ， 所以曲线 ()y f x? 在点（ 1， (1)f ）处的切线方程为 0xy? （ 2）因为函数在 1,2上是减函数， 所以 21 2 1( )
14、 2 0x a xf x x a xx? ? ? ? ? ?在 1,2上恒成立 令 2( ) 2 1h x x ax? ? ?,有 (1) 0(2) 0hh ? ?，得 172aa? ? 故 72a? zyxC 1B 1A 1DCBA8 22.试题分析：（ 1）根据椭圆的 几何意义可知 32, 2ca a?，求出 b ，可得椭圆标准方程； （ 2）先算出直线 l 的方程，联立方程组求得 12yy? ， 12yy? ，可以的到 12yy? 的值，再根据1 2 1 212S F F y y?求得面积 . 【解析】：（ 1）设椭圆的方程为 ? ?22 10xy abab? ? ? ?，由 题意， 3
15、2 , , 3 , 12ca c ba? ? ? ?， 椭圆的方程为 2 2 14x y?. （ 2）左焦点 ? ?1 3,0F ?，右焦点 ? ?2 3,0F，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 则直线 AB 的方程为 3yx? .由 22314yxx y? ? ?， 消 x 得 21 2 1 22 3 15 2 3 1 0 , ,55y y y y y y? ? ? ? ? ? ?， 21 2 1 2 1 2 424 5y y y y y y? ? ? ? ? .2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 21122A B F A F F B F FS S S F F y F F y? ? ? ? ? ? 1 2 1 21 1 4 2 4 6232 2 5 5F F y y? ? ? ? ? ?
