1、 1 重庆市沙坪坝区虎溪镇 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 时间 ： 120分钟 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个备选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 1.复数 ? ?ii2 （ ） .A i21? .B i21? .C i21? .D i21? 2.将 5封信投入 3个邮筒，不同的投法共有（ ） .A 35 种 .B 53 种 .C 3 种 .D 15种 3.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（ ） .A 大前提 :无限不循环小数是无理数；小前提： ? 是无理数；结论： ? 是无限不循环小数 .B 大前提 :无限不
2、循环小数是无理数；小前提： ? 是无限不循环小数；结论： ? 是无理数 .C 大前提 :? 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： ? 是无理数 .D 大前提 : ? 是无限不循环小数；小前提： ? 是无理数； 结论：无限不循环小数是无理数 4.有 5 盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰 2 盆、白玫瑰 2 盆、红玫瑰 1 盆，现把它们摆放成一排，要求 2盆白玫瑰不能相邻，则这 5盆玫瑰花的不同摆放种数是（ ） A 120 B 72 C 12 D 36 5 曲线 1()fxx? 在点 (1, (1)f 处的切线的倾斜角为（ ） A.4? B. 3? C. 32? D. 43? 6
3、.函数 )(xf 在其定义域内可导，其图象如右图所示， 则导函数 )( xfy? 的图象可能为 （ ） 7. 已知点集 ? ?3, , 1 , 0 , 1 , 2 , 3xkU x y kyk? ? ? ? ?，则由 U 中的任意三点可组成（ ）个不同的三角形。 A 7 B 8 C. 9 D.10 8.已知函 数 ? ? xxxf cos41 2 ? ， ?xf? 为 ?xf 的导函数， ?xf? 的图象是 （ ） xyODxOxyO xyOCyOB2 .A .B .C D. 9.若 321()nx x?展开式中只有第 6项系数最大，则展开式的常数项是 （ ） A 210 B 120 C. 4
4、61 D.416 10.从 0,1,2,3,4,5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数 字的四位数的个数为（ ） A 1296 B 1080 C 360 D 300 11.设过曲线 ( ) xf x e x= - - （ e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1l ，总存在过曲线( ) 2 cosg x ax x=+ 上一点处的切线 2l ，使得 21 ll ? ，则实数 a 的取值范围为 （ ） A 1,2- B ( )1,2- C 2,1- D ( )2,1- 12.已知函数 ? ? 2 3 2 0 1 4 2 0 1 51 2 3 2 0 1 4 2 0
5、 1 5x x x xf x x? ? ? ? ? ? ?， ? ? 2 3 2 0 1 4 2 0 1 51 2 3 2 0 1 4 2 0 1 5x x x xg x x? ? ? ? ? ? ?， 设函数 ( ) ( 3 ) ( 4 )F x f x g x? ? ? ?，且函数 ()Fx的零点均 在区间 ),(, Z? bababa 内，则 ?ba的最小值为 ( ) A 8 B 9 C. 10 D.11 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .请把答案填在答题卡上相应位置 . 13.若 ? ? izi ? 11 2 ， i 为虚数单 位，则 z 的虚部 为 . 14.
6、 有 10 个零件，其中 6 个一等品， 4 个二等品，若从 10 个零件中任意取 3 个，那么至少有 1 个一 等品的不同取法有 种 . 15.曲线 32y x x?在 1x? 处的切线方程为 。 16 函数 2( ) 2 lnf x x x? 的单调减区间是 3 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 10 分）已知函数 3( ) ( 0 )f x ax cx d a? ? ? ?是 R 上的 奇函数，当 1x? 时 ()fx取得极值 2? .求 ()fx的单调区间和极大值； 18. (本小题满分 12分 )已知 2()nx
7、 x?展开式中的所有二项式系数和为 512， （ 1）求 展开式中的常数项； （ 2）求展开式中所有项 的系数之和。 (结果 写成幂的形式，不必算出来 ) 19. (本小题满分 12分 )重庆大一中高二年级将于 4月下旬进行年级辩论赛，每个班将派出 6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。现某班已有 3 名男生和 3 名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答） 4 （ 1）三名男生和三名女生各自排在一起； （ 2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩； （ 3）男生甲必须排在第一辩或第六辩， 3位女生中有且只有两位排
8、在一起。 20.(本题满分 12分 )设函数 ? ? cbxxaxxf ? 23 231 ? ?0?a ，曲线 ? ?xfy? 在点 ? ?0,0f 处的切线方程为 1?y 求 ,bc的值； 若函数 ?xf 有且只有两个不同的零点，求实数 a 的值 . 21. (本小题满分 12分 )在数列 na 中， 61?a ，且 111 ? ? nnaaa nnn )2,( * ? nNn， （ 1）求 432 , aaa 的值； （ 2）猜测数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明。 5 22 (本小题满分 12分 )已知 x xxgexxaxxf ln)(,0(,ln)( ? ， 其中 e 是自然
9、常数， .aR? （ ）讨论 1?a 时 , ()fx的单调性、极值； （ ）求证：在（ ）的条件下， 1( ) ( ) 2f x g x?; （ ）是否存在实数 a ，使 ()fx的最小值是 3， 若 存在，求出 a 的值； 若 不存在，说明理由 . 6 数 学 答案（理科） 第 卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B B D C C A A D A C 第 卷（非选择题） 二、填空题 （ 本大题共 4小题
10、，每小题 5分， 共 20分 ） 13. -1 14. 116 15. x+y+2=0 16. (0,1 （ 1可以取也可以不取 ） 三、解答题 17 已知函数 3( ) ( 0 )f x ax cx d a? ? ? ?是 R 上的奇函数，当 1x? 时 ()fx取得极值 2? .求 ()fx的单调区间和极大值； 解 . 由奇函数定义，有 ( ) ( ),f x f x x R? ? ? ?. 即 33 , 0 .a x c x d a x c x d d? ? ? ? ? ? ? ? ?因此， 3( ) ,f x ax cx? 2( ) 3 .f x ax c? 由条件 (1) 2f ?
11、为 ()fx的极值，必有 (1) 0,f ? 故 230acac? ? ?,解得 1, 3.ac? ? 因 此 3( ) 3 ,f x x x? 2( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ,f x x x x? ? ? ? ? ( 1) ( ) 0.ff? ? ? 当 ( , 1)x? ? 时， ( ) 0fx? ，故 ()fx在单调区间 ( , 1)? 上是增函数 . 当 ( 1,1)x? 时， ( ) 0fx? ，故 ()fx在单调区间 ( 1,1)? 上是减函数 . 当 (1, )x? ? 时， ( ) 0fx? ，故 ()fx在单调区间 (1, )? 上是增函数 . 所以， ()f
12、x在 1x? 处取得极大值，极大值为 ( 1) 2.f ? 18.解：（ 1）由 5122 ?n 得 9?n 。 则第 1?r 项为 rrrrrrr xCxxCT 23299991 2)2()( ? ? )9,2,1,0( ?r 7 令 302329 ? rr 得 故常数项为 6722 3934 ? CT (2) 令 1?x ，得系数和为： 93 19. 20. ? ? ? ? ? ? ? ?2 610 0 0 , 111 y b x cy b xf x x a x b f b f b cyy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 2 213
13、 1 , 0 0 ? 0 0 ,2af x x x f x x a x f x x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?有 且 只 有 两 根 ? ? ? ?0 0 0f f a? ? ?成 ? ? ? ? 3 3 3 31 1 10 1 1 = 0 1 6 3 63 2 6f f a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21.解：（ 1） 30,20,12 432 ? aaa （ 2）猜测 )2)(1( ? nnan 。下用数学归纳法证 明： 当 4,3,2,1?n 时，显然成立； 假设当 kn? ),4( Nkk ? 时 成 立 ， 即 有
14、 )2)(1( ? kkak ，则当 1?kn 时 ， 由111 ? ? nnaaa nnn 得 11 1 ? ? nanna nn ， 故 2)2)(1(12111 111 ? ? kkkkkkakka kk)3)(2()2()2( 2 ? kkkk ，故 1?kn 时等式成立； 由 可知， )2)(1( ? nnan 对一切 *Nn? 均 成立。 22. 解 ：（ ） ? xxxf ln)( ? ， xxxxf 111)( ? 1分 当 10 ?x 时， /( ) 0fx? ，此时 ()fx单调递减 当 ex?1 时， /( ) 0fx? ，此时 ()fx单调递增 3分 8 ()fx的极小
15、值为 1)1( ?f 4分 （ ） ? ()fx的极小值 为 1，即 ()fx在 ,0( e 上 的最小值为 1， 0)( ?xf ， min( ) 1fx ? 5分 令 21ln21)()( ? xxxgxh ， x xxh ln1)( ? ， 6分 当 ex?0 时 ， 0)( ?xh ， ()hx 在 ,0( e 上单调递 增 7分 m inm a x |)(|12121211)()( xfeehxh ? 在（ 1）的条件下 ， 1( ) ( ) 2f x g x? 9分 （ ）假设存在实数 a ，使 xaxxf ln)( ? （ ,0( ex? ） 有最小值 3， / 1()f x a
16、 x? xax 1? 9分 当 0?a 时， )(xf 在 ,0( e 上单调递减， 31)()( m in ? aeefxf ， ea 4? （舍去），所以，此时 )(xf 无最小值 . 10分 当 ea?10 时， )(xf 在 )1,0( a 上单调递减，在 ,1( ea 上单调递增 3ln1)1()( m in ? aafxf ， 2ea? ，满足条件 . 11分 当 ea?1 时， )(xf 在 ,0( e 上单调递减， 31)()( m in ? aeefxf ， ea 4? （舍去），所以，此时 )(xf 无最小值 .综上， 存在实数 2ea? ，使得当 ,0( ex? 时 ()fx有最小值 3.
