1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 07 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数 31ii? 等于 A. i21? B.12i? C.2i? D.2i? 2已知曲线 C的方程是 )0(08622 ? aayaxyx ，那么下列各点中不在曲线 C上的是 A. (0,0) B. )4,2( aa C. )3,3( aa D. ),3( aa? 3“直线 l 与抛物线 C有唯一公共点”是“直线 l 与抛物线 C相切”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分与不必要条件 4.有
2、一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 ,则平行于平面内所有直线；已知 直线 b? 平面 ? ，直线 ?a 平面 ? ，直线 b 平面 ? ，则直线 b 直线 a ”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 5.设双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的虚轴长为 2，焦距为 32 ，则双曲线的渐近线方程为 A. xy 2? B . xy 2? C . xy 22? D. xy 21? 6.下列命题中的假命题是 A. 0lg, ? xRx B. 1tan, ? xRx C. 0, 2 ? xRx D. 03, ? xRx 7下列双曲
3、线方程中，符合与双曲线 1169 22 ? yx 有共同渐近线，且实轴长为 18 的是 A. 181)427(222 ? yx B. 181144 22 ? yx C. 1916 22 ? yx D. 181144 22 ? yx 页脚 - 2 - 8下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若 ab=0，则 a=0”的否命题；“正三角形的三个角均为 60”的逆否命题其中真命题的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 9.若双曲线 )0(122 ? mnnymx 的一个焦点与抛物线 xy 42? 的焦点重合，且离心率为 2，则 mn的值为 A.163 B.83 C.316 D.38
4、 10某河上有抛物线形拱桥 ,当水面距拱顶 6米时 ,水面宽 10米 ,抛物线的方程可能是 A 2 256xy? B 2 2512xy? C 2 365xy? D 2 2524xy? 11. 直线 )1(2 ? xy 与曲线 142 ? xxy 的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 12.在 ABCRt? 中， AB=AC=1，若一个椭圆通过 A、 B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点 F在 AB 上，则这个椭圆的离心率为 A. 36? B. 12? C. 2 36? D. 263? 二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置 )
5、13.命题“ 023, 2 ? xxRx ”的否定是 . 14.已知抛物线 xy 162 ? 上的一点 P到 x轴的距 离为 12，则 P到焦点 F的距离等于 15.从 ?22222 597531,47531,3531,231,11 ? 中，可得到一般规律为 .(用数学表达式表示 ) 16. 21,AA 分别是椭圆 149 22 ? yx 的长轴的左、右端点， 1P 、 2P 是垂直于 21AA 的弦的端点，则直线 与11PA 22PA 交点的轨迹方程为 . 三、解答题：（本大题共 6小题，共 74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） - 3 - 17.（本小题满分 12分） 已知复数
6、immmz )23()1( 22 ? ，其中 Rm? （ I） 若复数 z=0，求 m的值； （ II）若复数 z为纯虚数，求 m的值； （ III）若复数 z在复平面上所表示的点在第三象限，求 m的取值范围。 18.（本小满分 12分） 根据下列条件求圆锥曲线的标准方程 . （ I）焦点在 x轴上，实轴长是 10，虚轴长是 8的双曲线方程； （ II）经过两点 )2,3(),1,6( 21 ?PP 的椭圆 . 19.（本小题满分 12分） 给定两个命题，命题 p：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立；命题 q：关于 x 的方程 02 ? axx 有实数根；若“ qp? ”为真，“
7、 qp? ”为假，求实数 a 的取值范围 . 20.(本题满分 12 分 ) 在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点 A 处与大海连通，最低点 A 处海拔高度为 1米，该地区过海平面的垂线 AB 的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段 MN，B 为所在双曲线的中心（如图） .由于温室效应，海平面逐年上升，自 2000年起平均每年上升4 厘米 .据此推算，到 2050年底该地区将有 10千米 2水面面积 .请你推算，到 2100 年底该地区将有多大的水面面积？ (提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为 2rs ? ) - 4 - 21 （本题满分 12分） 已知 )()1( 143
8、132 121 1)( *Nnnnnf ? ?（ ） 求 ),4(),3(),2(),1( ffff 归纳并猜想 )(nf （）用数学归纳证明你的猜想。 22.（本题满分 14分） 如图，已知抛物线 C： xy 42? ，过点 P（ 1,25 ）的直线 l 与抛物线 C交点 A、 B两点，且点P为弦 AB的中点 . （ I）求直线 l 的方程； （ II）若过点 P斜率为 -2的直线 m与抛物线 C交点 1A 、 1B 两点，求证 : 11 PBPAPBPA ? ; （ III）过线段 AB上任意一点 1P（不含端点 A、 B）分别做斜率为 1k 、 )( 212 kkk ? 的直线 21,l
9、l ， 若 1l 交抛物线 C 于 1A 、 1B 两点， 2l 交抛物线 C 于 22,BA 两点，且 : 21211111 BPAPBPAP ? 试求 21 kk? 的值 . - 5 - 参考答案 则 ,132161222?baa 无实数解 . -11分 故所求椭圆标准方程为 139 22 ? yx -12 分 (考虑一种情况的得 10分 ) 解 2:设所求椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n0) -8分 - 6 - 19. (本题满分 12分 ) 解 :设 cAAbADaAB ? , ,则 1| ? cba ,且 21? cbcaba .-2分 ( ) 11 ,A C A B B C
10、 C C a b c? ? ? ? ? ? 2 2 111( ) 3 2 ( ) 6 , | | 6222A C a b c A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-6分 ( ) baACbcaDAAABABD ? ,1111 -7分 1 ( ) ( ) 1B D A C a b a c b? ? ? ? ? ? ? ?-8 分 ? ? ?221122( ) 1 1 1 1 1 1 2 , | | 2 ,( ) 1 1 1 3 , | | 3B D a c b B DA C a b A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-10分 11 1
11、 16c o s , 6| | | 6B D A CB D A C B D A C? ? ? ?,-11分 故 BD1与 AC 的夹角的余弦值为 66 .-12分 - 7 - - 8 - 直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值为 30210 .-8分 解法 2: VP-ABC=VA-PBC. -6分 易得 A到平面 PBC的距离等于1572, -7分 PA与平面 PBC 所成角的正弦值为 30210 .-8分 ( ) PBC的重心 )3,3,3(),3,3,3( haaOGhaaG ? , 因为 OG平面 PBC,所以 PBOG? ,-10分 又 ,2,033),0( 22 aPAahhaPB
12、OGhaPB ? 即 k=1,反之 ,当 k=1 时 ,三棱锥 O-PBC 为正三棱锥 ,所以 O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心 .-12分 22. (本题满分 14分 ) 解 :( )法 1:若直线 l平行于 x 轴 ,不合题意 . 设直线 l的方程为 x=t(y 1)+2.5,代入抛物线方程得 : y2=4t(y 1)+10.设 A(x1,y2),B(x2,y2),则 y1+y2=4t=2,t=0.5.且此时 0. 故所求直线方程为 x=0.5(y 1)+2.5,即 y=2x 4.-5分 法 2:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? ?222121 44xy xy ,
13、 (y1+y2)(y1 y2)=4(x1 x2), 又 y1+y2=2. kAB=2. 又点 P在抛物线 C含焦点的区域内 ,过 P所做的直线必与抛物线相交 . 故所求直线方程为 y=2x 4.-5分 ( )设 A(x1,y1),B(x2,y2), PBPA? = )1)(1()25)(25(2121 ? yyxx1)(425)(25 21212121 ? yyyyxxxx . 又由? ? 42 42 yx xy 得 y2 2y 8=0. y1+y2=2,y1y2= 8. 54 2)(4,416 21221222121222121 ? yyyyyyxxyyxx . PBPA? =4 25/2+
14、25/4 8 2+1= 45/4. -8分 - 9 - 同理 ,设 A1(x3,y3),B1(x4,y4), PBPA? = )1)(1()25)(25(4343 ? yyxx1)(425)(25 43434343 ? yyyyxxxx . 又由? ? yx xy 62 42 得 y2+2y 12=0. y3+y4= 2,y3y4= 12. 54 2)(4,416 43243242343242343 ? yyyyyyxxyyxx . PBPA? =9 35/2+25/4 12+2+1= 45/4. 故 11 PBPAPBPA ? .-10分 ( ) P1为线段 AB上的点 ,设 P1(x0,2
15、x0 4), A1(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l1的方程为 y=k1(x x0)+(2x0 4),代入抛物线方程 y2=4x 得 k1y2 4y+(8 4k1)x0 16=0, 121101214(8 4 ) 1 6yy kkxyyk? ? ? ?, 设 A1、 P、 B1在 y轴上的射影分别为 111 BPA 、 . 1 1 1 1 1 0 0 2221 2 0 1 2 0 0 0| | | | ( 2 4 ) ( 2 4 ) ( 2 4 ) ( ) ( 2 4 ) ( 4 2 0 1 6 )P A P B y x x yy y x y y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这是一个与直线 l1的斜率 k1无关的量 , 因此 ,若 A2、 B2在 y轴上的射影分别为 22 BA、 则 21 2 1 2 0 0 1 1 1 1| | | | ( 4 2 0 1 6 ) | | | |P A P B x x P A P B? ? ? ? ? ? ?.- 又 21211111 BPAPBPAP ? , |P1A1|P1B1|=|P1A2|P1B2|.- 设 l1,l2的倾斜角分别为 )( ? ?、 , 由结合平面三角知识可得 : ? 22 sinsin ? ,进一步可推得 ? ? ?. 故 k1+k2=0-14分
