1、 1 河北省安平中学 2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理 考试时间 120分钟 试题分数 150分 一、 选择题：（每题只有一个正确选项。共 12个小题，每题 5分，共 60分。） 1.复数? ?634iii?的实部与虚部之差为（ ） A -1 B 1 C7?D2. “ a = l” 是 “ 函数 在区间 上为增函数 ” 的 ( ) (A)充分不必要条件 （ B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.若复数（ 1 i）（ a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是 ( ) （ A）（ ， 1）（ B）（ ， 1）（ C）（ 1， +
2、）（ D）（ 1， +） 4.下列四个命题中，正确的是（ ） A若x?，则? ?,1 , 1y xy? ? ? ?B若sin cosx ?，则? ? 10, , 2x? ? ?C.若 ，则? ?,1 , 1y xy? ? ? ?D若 ，则? ?0, , 1x? ? ?5.若 2 2 221 2 31 1 11, , ,xS x d x S d x S e d xx? ? ? ? ?则 1 2 3SSS 的大小关系为（ ） A 1 2 3S S S? B 213S S S? C 2 3 1S S S? D 3 2 1S S S? 6若函数 2( ) 2 lnf x x x?在其定义域内的一个子区
3、间 (k 1， k 1)内 不是 单调函数，则实数 k的取值范围是 ( ) A 1， ) B 32， 2) C 1,2) D 1， 32) 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ( ) 2 （ A） 3 2 （ B） 2 3 （ C） 2 2 （ D） 2 8. 三棱锥 P ABC的两侧面 PAB、 PBC都是边长为 2a 的正三角形 ， ， 则二面角A PB C的大小为 ( ) (A) 900 (B) 300 (C) 450 (D) 600 9.物体 A以速度 v 3t2 1(m/s)在一直线 l上运动，物 体 B在直线 l上，且在物体 A的正前方 5 m 处，同时以 v
4、 10t(m/s)的速度与 A同向运动，出发后物体 A追上物体 B所用的时间t(s)为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10 若函数 b3bx6x)x(f 3 ? 在 )1,0( 内有极小值，则实数 b 的取值范围是 ( ) A )1,0( B )1,(? C ),0( ? D )21,0( 11.设双曲线 )0,0(1:2222 ? babyaxC 的左、右焦点分别为 cFFFF 2|, 2121 ? ，过 2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ，已知 |),23,( 22 AFQFacQ ?，点 P 是双曲线C 右支上的动点，且 |23| 211 FFPQPF ? 恒
5、成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A )67,1( B ),210( ? C. )210,67( D )210,1( 12.已知函数?fx的导数为?，且? ? ? ? ?10x f x xf x? ? ?对? ?0,x? ?恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） 3 A? ? ? ?1 2 2f ef?B? ? ? ?12ef f?C.?10?D? ? ? ?22ef e f?二 .填空题（共 4个小题，每题 5分，共 20 分。） 13、由曲线 sin , cosy x y x?与直线 0, 2xx?所围成的平面图形 (图中的阴影部分 )的面积是 14.现有一个关于平面图形的命题：如
6、图所示，同一个平面内有两个边长 都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a.类比到空间，有两个棱长均为 a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . 15.已知 f(n)=n1+ 11?n+21?n+? +21n，则下列说法有误的是 . f(n)中共有 n项，当 n=2 时， f(2)=21+31； f(n)中共有 n+1项，当 n=2时， f(2)= 21+31+41 f(n)中共有 n2-n项，当 n=2时， f(2)=21+31； 4 f(n)中共有 n2-n+1 项，当 n=2时， f(2)= 21+3
7、1+4116. 当 时，定义函数 表示 n的最大奇因数 .如， ，记则=_. 三、 解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17（本小题满分 10分）已知函数 2221( ) ( )1a x af x xx? R，其中 a?R （）当 1a? 时，求曲线 ()y f x? 在点 (2 (2)f， 处的切线方程； （）当 0a? 时，求函数 ()fx的单调区间 18. （本小题满分 12 分） 设 axxxxf 22131)( 23 ? . （ 1）若 )(xf 在 ),32( ? 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围； （ 2）当 20 ?a 时， )(xf 在 4,1 上的最小值
8、为 316? ，求 )(xf 在该区间上 的最大值 . 19.（本小题满分 12分） 如图，在四 棱锥 ABCDP? 中，四边形 ABCD 是菱形， BADPAD ? ，平面 ?PAD平面 ,ABCD MPDPAAB ,4 ? 在棱 PD 上运动 . 5 （ 1）当 M 在何处时， /PB 平面 MAC ； （ 2）当 /PB 平面 MAC 时，求直线 PC 与平面 MAC 所成角的正弦值 . 20.（本小题满分 12分） 已知抛物线 C： y2=2px过点 P（ 1， 1） .过点（ 0， 12 ）作直线 l与抛物线 C交于不同的两点 M， N，过点 M作 x轴的垂线分别与直线 OP， ON
9、交于点 A， B，其中 O为原点 . （）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证： A为线段 BM的中点 . 21. （本题满分 12分） 已知函数 f（ x） =excosx?x. （）求曲线 y= f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （）求函数 f（ x）在区间 0， 2上的最大值和最小值 . 22. （本题满分 12分） 已知 21,AA 分别是焦距为 2 的椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的左、右顶点， P 为椭圆 C 上非顶点的点，直 PAPA 21 , 线的斜率分别为 21,kk ，且 4321 ?kk. （ 1）求椭圆 C 的方程；
10、（ 2）直线 l （与 x 轴不重合）过点 )0,1( 且与椭圆 C 交于 NM、 两点，直线 MA1 与 NA2 交6 于点 S ，试求 S 点的轨迹是否是垂直 x 轴的直线，若是，则求出 S 点的轨迹方程，若不是，请说明理由 . 7 答案 BABCB DBDCD AA 13. 2 2 2? 14. 83a 15. 16. 17.（本题满分 10分） （）当 1a? 时，22() 1xfx x? ?， 4(2) 5f ? ， 又 222 2 2 22 ( 1 ) 2 2 2 2() ( 1 ) ( 1 )x x x xfx xx? ? ? ? ?， 6(2) 25f? ? 所以，曲线 ()y
11、 f x? 在点 (2 (2)f， 处的切线方程为 46( 2)5 25yx? ? ? ?， 即 6 25 32 0xy? ? ? （） 222 2 2 22 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( ) ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )a x x a x a x a a xfx xx? ? ? ? ? ? ? ? 由于 0a? ，以下分两种情况讨论： （ 1）当 0a? 时，令 ( ) 0fx? ? ，得到1 1x a?， 2xa? 当 x 变化时， ( ) ( )f x f x? ， 的变化情况如下表： x 1a?， 1a 1 aa?， a ()a?， ()fx? ? 0 ? 0 ?
12、()fx 极小值 极大值 所以 ()fx在区间 1a?， ()a?， 内为减函数，在区间 1 aa?，内为增函数 （ 2）当 0a? 时，令 ( ) 0fx? ? ，得到121x a x a? ?，当 x 变化时， ( ) ( )f x f x? ， 的变化情况如下表： x ? ?a? ， a 1a a?， 1a? 1a?， + 8 ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 极大值 极小值 所以 ()fx在区间 ()a? ， ， 1a?， +内为增函数，在区间 1aa?，内为减函数 18.（本题满分 12 分） 解：（ 1） )(xf 在 ),32( ? 上存在单调递增区间，即存在某个子区间
13、),32(),( ?nm 使得0)( ?xf .由 axaxxxf 241)21(2)( 22 ? ， 由于导函数 )( xf 在区间 ),32 ? 上单调递减，则只需 0)32( ?f 即可。 由 0292)32( ? af 解得 91?a ， 所以 当 91?a 时， )(xf 在 ),32( ? 上存在单调递增区间 . ? 6 分 （ 2）令 0)( ?xf ，得两根 2 8111 ax ? ， 2 8112 ax ? . 所以 )(xf 在 ),( 1x? ， ),( 2?x 上单调递减，在 ),( 21 xx 上单调递增? 8分 当 20 ?a 时，有 41 21 ? xx ，所以
14、)(xf 在 4,1 上的最大值为 )(2xf 又 06227)1()4( ? aff ，即 )1()4( ff ? ? 10 分 所以 )(xf 在 4,1 上的最小值为 3163408)4( ? af ，得 1?a ， 22?x ， 从而 )(xf 在 4,1 上的最大值为 310)2( ?f . ? 12分 19.（本题满分 12 分）解：（ 1）当 M 为 PD 中点时， /PB 平面 ?.MAC 设 NBDAC ? ，在 PBD? 中， MN 为中位线，即 PBMN/ ，又 ?PB 平面 ?MNMAC, 平面 MAC ， 9 /PB? 平面 MAC . （ 2） ?四边形 ABCD
15、是菱形， PDPABADPAD ? ,， BADPAD ? , 均为等边三角形 . 取 AD 的中点 ?,O 平面 ?PAD 平面 ?OPABCD, 平面 ABCD .以 O 为坐标原点，射线OPOBOA , 分别为 zyx , 轴的正方向建立如图所示的空间坐标系，则),0,0,2(),0,0,0( AO ),0,32,4(),0,32,0( ?CB ),0,0,2(?D )3,0,1(),32,0,0( ?MP . )32,32,4(),3,0,3(),0,32,6( ? ? PCAMAC . 设平面 MAC 的法向量为 ),( zyxm? ，则由 ? ? AMmACm ? , ， 得? ?
16、0330326zxAMmyxACm? ，取 3?x ，得 )3,3,3(?m? . 记直线 PC 与平面 MAC 所成角为 ? ，则 3570|993121216 3)32(33234|s i n ? ? ?PCmPCm? 20（本题满分 12 分）解： （）由抛物线 C： 2 2y px? 过点 P（ 1， 1），得 12p?. 所以抛物线 C的方程为 2yx? . 抛物线 C的焦点坐标为（ 14， 0），准线方程为 14x?. （）由题意，设直线 l 的方程为 12y kx?（ 0k? ）， l 与抛物线 C 的交点为 11( , )Mx y ，22( , )Nx y . 由212y kx
17、yx? ? ?，得 224 (4 4) 1 0k x k x? ? ? ?. 则1221 kxxk?，12 214xx k?. 因为点 P的坐标为（ 1， 1），所以直线 OP的方程为 yx? ，点 A的坐标为 11( , )xy . 10 直线 ON 的方程为 22yyxx? ，点 B的坐标为 2112( , )yyx x . 因为 2 1 1 2 2 1 1 2112222y y y y y y x xyxxx? ? ? 1 2 2 1 1 2211( ) ( ) 222kx x kx x x xx? ? ? ? 1 2 2 121(2 2 ) ( )2k x x x xx? ? ? 22211(2 2) 42kk kkx? ? ? 0? ， 所以 21112 2yyyxx?. 故 A为线段 BM的中点 . 21（本题满分 12 分） 解：（）因为 ( ) e cosxf x x x?，所以 ( ) e ( c o s s in ) 1 , ( 0 ) 0xf x x x f? ? ? ?. 又因为 (0) 1f ? ，所以 曲线 ()y f x? 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 1y? . （）设 ( ) e (c o s sin ) 1xh x x x? ? ?，
