1、 1 张家口市 2016 2017 学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学 (理科 ) 第 卷（选择题 共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.“ 2x? ”是“ 5x? ”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充 分必 要条件 D 既不充分也不必要条件 2.曲线 22y x x?在点（ 1,1）处的切线方程为（ ） A 20xy? B 3 2 0xy? C 3 2 0xy? ? ? D 3 2 0xy? ? ? 3.双曲线 22143xy?的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
2、A 1 B 2 C 3 D 2 4.在空间直角坐标系中 ,ABC 三点的坐标分别为 A 2,1 1（ ， -） ， (3, 4, ), (2, 7,1)BC? ，若 AB CB? ,则 ? =（ ） A 3 B 1 C. ? 3 D -3 5.执行图中程序框图，若输入 1 2 32, 3, 7,x x x? ? ?则输出的 T 值为（ ） A 3 B 4 C. 113 D 5 6.如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速 地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻 t 薄片露出水面部分的图形面积为 ( )( (0) 0)S t S ? ，则导函数 ()y S t? 的图像大致为（ ） 2
3、 A. B. C. D. 7.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 ,EF分别为 1CC 和 1BB 的中点 ,则 异面直线 AE 与 1DF所成角的余弦值为 ( ) A 0 B 312 C. 33 D 19 8.在平面直角坐标 系中 ,已知定点 (0 2 ), (0 2 )AB， - ，,直线 PA 与直线 PB 的斜 率之积为 -2,则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A 2 2 12y x? B 2 2 1( 0)2y xx? ? ? C. 2 2 12y x? D 2 2 1( 0)2x yy? ? ? 9.任取 3, 3k? ,直线 ( 2)y k x?与圆 224x
4、y?相交于 ,AB两点 ,则 23AB? 的概率为( ) A 12 B 32 C. 13 D 33 10.执行如图所示的程序框图 ,若输出 S 的值为 0.99,则判断框内可填入的条件是 ( ) 3 A 100i? B 100i? C. 99i? D 98i? 11. 如图动直线 :l y b? 与抛物线 2 4yx? 交于点 A ，与椭圆 2 2 12x y?交于抛物线右侧的点 B ，F 为抛物线的焦点，则 AF BF AB?的最大值为（ ） A 33 B 32 C. 2 D 22 12.设函数 ( ) ( s i n c o s ) ( 0 2 0 1 6 )xf x e x x x ?
5、? ? ?，则函数 ()fx的各极大值之和为（ ） A 20182(1 )1eee?B 1000(1 )1eee?C. 10082(1 )1eee?D 20162(1 )1eee?第 卷（非选择题，共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.某校老年教师 90人、中年教师 180人和青年教师 160人， 采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有 32人，则该样 本的老 年教师人数为 14.若命题“ 0xR?，使得 200( 1) 1 0x a x? ? ? ?”为真命题，则实数 a 的范围为 15.定义在 R 上的连
6、续函数 ()fx 满足 (1) 2f ? ，且 ()fx在 R 上的导函数 ( ) 1fx? ? ，则不等式( ) 1f x x?的解集为 4 16.如图，过椭圆 22 1( 1)xy abab? ? ? ?上顶点和右顶点分别作 221xy?的两条切线，两切线的斜率之积为 22? ，则椭圆的离心率的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （本小题满分 10 分） 已知椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 32 ，且经过点 (1, 32 ), 1F , 2F 是椭圆的左、右焦点 . ( )
7、求椭圆 C 的方程； ( )点 P 在椭圆上运动，求 12PF PF? 的最大值 18. （本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家之一， 城市缺水问题较为突出 .某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理 的月用水量标准 x （吨） ,一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费 .为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量 (单位 :吨 )，将数据按照 0,0.5),0.5,1) ， ? ， 4,4.5) 分成 9组， 制成了如图所示的频率分布直方图 . ( )求直方图中 a 的值 ； 5
8、( )若该市有 110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的 人数，请说明理由； (）若该市政府希望使 80%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨），估计 x 的值（精确到 0.01），并说明理由 . 19. （本小题满分 12 分） 如图四棱锥 E ABCD? 中，四边形 ABCD 为平行四边形， BCE? 为等边三角形， ABE? 是以 A? 为直角的等腰直角三角形，且 AC BC? . ( )证明：平面 ABE ? 平面 BCE ； ( )求二面角 A DE C?的余弦值 . 20. （本小题满分 12 分） 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱 高为 h ，半
9、径为 r ，不计厚度，单位：米） .按计划容积 72? 立方米，且 2h? ， 假设其建造费用仅与其表面积有关（圆柱底部不计）已知圆柱部分每平方米的费用为 2千元，半球部分每平方米的费用为 4千元设该容器的建造费用为 y千元 . （ ）求 y 关于 r 的函数关系，并求其定义域； （ ）求建造费用最小时的 r 21. （本小题满分 12 分） 已知 22 49: ( 1) 4M x y? ? ?的圆心为 M ， 22 1: ( 1) 4N x y?的圆心为 N ，一动圆 M 内切，与圆 N 外切 . （ ）求动圆圆心 P 的轨迹方程； （ ）设 ,AB分别为曲线 P 与 x 轴的左右两 个交点
10、，过点（ 1,0）的直线 l 与曲线 P 交于 ,CD两点 .6 若 12A C D B A D C B? ? ? ?，求直线 l 的方程 . 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( 1)xxf x x e? ? ?. （ ）求函数的单调区间； （ ）若函数 ()fx有两个零点 1x ， 2x ，证明 122xx?. 张家口市 2016 2017 学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学 (理科 )参考答案及评分标准 一、选择题 : 本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.A 11.D
11、12.D 二、填空题 : 本大题共 4小题，每题 5分，满分 20分 13. 18 14. 1a? 或 3a? 15. ? ?1xx? 16. 2(0, )2 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 17. （本小题满分 10 分） 解 ： （ ）由题意，得222 2 23,2131,4caaba b c? ?解得2,1,3.abc? ? ?所以椭圆 C 的方程是 2 2 14x y?.? ? ? ? ? 5分 （ ）由均值定理 1 2 1 22P F P F P F P F? ? ?. 又 12 24PF PF a? ? ?，所以 1 2 1 24 2 4P F P F P F P F?
12、? ? ? ?，当且仅当 12PF PF? 时等号成立，所以 12PF PF? 的最大值为4.? ? ? ? ? ? ? 10分 18.（本小题满分 12分） 解： （ ）由概 率统计相关知识，各组频率之和的值为 1， 频率 =（频率 /组距） *组距， 7 0 . 5 ( 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 3 0 . 5 2 0 . 3 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 ) 1a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 , 0.4a? ， ? 3分 （ ）由图，不低于 3吨的人数所占比例为 0 .5 ( 0 .1 2 0 .0 8 0 .0 4 ) 0 .1 2?
13、 ? ? ?， ?全市月均用水量不低于 3吨的人数为 110 0.12 13.2?（万）， ? 7分 （）由图可知，月均用水量小于 2.5吨的居民人数所占比例为0 . 5 ( 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 3 0 . 4 0 . 5 2 ) 0 . 7 3? ? ? ? ? ? 9分 即 73%的居民月均用水量小于 2.5吨，同理， 88%的居民月均用水量小于 3吨，故 2.5 3x? . 假设月均用水量平均分布，则 (0 . 8 0 . 7 3 ) 0 . 52 . 5 0 . 5 2 . 7 30 . 3x ? ? ? ?（吨） ? 12分 19. （本小题满分 12分）解： （
14、 ）设 O 为 BE 的中点，连接 AO 与 CO ，则 AO BE? ， CO BE? .设 2AC BC?，则 1, 3,AO CO? 2 2 2AO CO AC? ? ?， 90OC? ? ? ， 所以 AO CO? ，故平面 ABE? 平面BCE ? ? ? ? ? ? 6分 （ ）由（ ）可知 AO ， BE ， CO 两两互相垂直，设 OE 的方向为 x 轴正方向 . OE 为单位长，以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 O xyz? ,则( 0 , 0 ,1 ) , (1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) ,A E C( 1,0,0,),B? (1 ,
15、 3 ,1 )O D O C C D O C B A? ? ? ? ?,所以 (1 , 3 ,1 ) , (1 , 3 , 0 ) , (1 , 0 , 1 ) ,D A D A E? ? ? ( 1 , 3 , 0 ) , (1 , 0 ,1 )E C C D? ? ?.? ? ? ? ? ? 8分 8 设 ( , , )n x y z? 是平面 ADE 的法向量，则 0,0,n ADm AE? ?即 3 0,0,xyxz? ?所以可取( 3,1, 3)n ? ? ? ， ? ? 9分 设 m 是平面 DEC 的法向量，则 0,0,n ECm CD? ?同理可取 ( 3,1, 3)m ?，
16、? ?10分 则 1c o s ,7nmnm nm?，所以二面角 A DE C?的余弦值为 17 ? ?12分 20. （本小题满分 12 分）解 :（ ）由容积为 72? 立方米，得2 222 7 2 27 2 233rrr h h rr? ? ? ? ? ?， 解得03r?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 又圆柱的侧面积为27 2 22 2 ( )3rrh r r?，半球的表面积为 22r? ， 所以 建 造费用2288 16 3 ry r ?，定义域(0,3 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （ ）2221 8 ( 2 7 )1 6 ( ) 3 233rry rr? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? 8分 又 03r?，所以 0y? ，所以 建造费用 2288 16 3 ry r ?，在 定义域 (0,3 上单调递减，所以当 3r? 时建造费用最小 .? ? ? ? ? 12 分 21. （本小题满分 12 分） 解： （ ）设动圆 P 的半径为 r ，则 71,22P M r P N r? ? ? ?，两式相加，得 9 4PM PN M N? ? ?，由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以
