1、 1 2016-2017 学年度上学期期末考试数学试卷（理科） 一、单项选择（ 每题 5分 ） 1、 复数 12 i?的虚部是（ ） A 15? B 15i? C 15 D 15i2、 已知 2aibii? ?（ ,ab R? ），其中 i 为虚数单位，则 ab?（ ） A -1 B 1 C 2 D 3 3、 用反证法证 明命题“设 3( ) 3 | | ( )f x x x a a R? ? ? ?为实数 ， 则方程 ( ) 0fx? 至少有一个实根 ”时，要做的假设是（ ） A方程 0)( ?xf 没有实根 B方程 ( ) 0fx? 至多有一个实根 C方程 ( ) 0fx? 至多有两个实根
2、 D方程 ( ) 0fx? 恰好有两个实根 4、 若曲线 2y x ax b? ? ? 在点 (0, )b 处的切线方程是 10xy? ? ? ，则（ ） A. 1a? ， 1b? B. 1a? ， 1b? C. 1a? ， 1b? D. 1a? ， 1b? 5、 数列 1， 3 ， 5 ， 7 ，?， 21n? ，则 35是它的第（ ）项 A 22 B 23 C 24 D 28 6、 由曲线 yx? ，直线 2yx?及 y 轴所围成的图形的面积为 （ ） A 103 B 4 C 163 D 6 7、设函数 f(x)在定义域内可导 ,y=f(x)的图象如图 1 所示 ,则导函数 y=f ?(x
3、)可能为 （ ） 2 8、 已知 2x? 是函数 3( ) 3 2f x x ax? ? ?的极小值点，那么函数 ()fx的极大值为（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 9、 用数学归纳法证明 4221 2 3 2nnn ? ? ? ? ?，则当 1nk?时，左端应在 nk? 的基础上加上（ ） A 2 1k? B ? ?21k? C ? ? ? ?42112kk? ? ? D ? ? ? ? ? ? 2221 2 1k k k? ? ? ? ? ? 10、 3 名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（ ） A 3 B 12 C 34
4、 D 43 11、 已知函数 ? ? 211 1xfx x ? ?，则曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处切线的斜率为（ ） A 1 B -1 C 2 D -2 12、 定义在区间 (0, )? 上的函数 ()fx满足： 2 ( ) ( ) 3 ( )f x xf x f x?对 (0, )x? ? 恒成立，其中()fx为 ()fx的导函数，则 （ ） A 1 (1) 14 (2) 2ff?B 1 (1) 116 (2) 8ff?C 1 (1) 13 (2) 2ff?D 1 (1) 18 (2) 4ff?二、填空题（ 每题 5分 ） x A x O B x y O C y O
5、D x x y O 图 1 3 13、 从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有 4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有 3 种走法，则从甲地到丙地共有 _种不同的走法 14、 若1 1( 2 ) 3 ln 2 ( 1 )a x d x ax? ? ? ? ，则 a 的值是 _ 15、 设函数 ?fx的导数为 ?fx? ，且 ? ? s in c o s2f x f x x?，则4f ? ? 16、 在一项田径 比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高观众 A B C、 、 做了一项预测： A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙” B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙” C 说：“我认为冠军不会
6、是丙，而是甲” 比赛结果出来后，发现 A B C、 、 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是 _ 三、解答 17.（ 10 分）证明： . mnmnmn AmAA 11 ? ? 18.（ 12 分） 复数 z（ m2+5m 6） （ m2-2m 15） i（ mR ），求满足下列条件的 m的值 （ 1） z是纯虚数； （ 2）在复平面内对应的点位于第三象限 4 19、（ 12 分） 已知函数 32()f x x bx cx d? ? ? ?的图像过点 P（ 0， 2），且在点 M（ -1， )1(?f ）处的切线方程为 076 ?
7、yx . 求函数 )(xfy? 的解析式； 求函数 )(xfy? 的单调区 间 . 20、 设 0ab?，求证： 2222a b a ba b a b?. 5 21、 已知函数 ? ? 31 443f x x x? ? ?， （ 1）求函数的极值 （ 2）求函数在区间 -3， 4上的最大值和最小值。 22、 已知函数 ( ) ( )xf x x ae a R? ? ? （ 1）讨论函数 ()fx的单调性； （ 2）当 0, 1xa?时，证明： 2( 1) ( )x a x xf x? ? ? 参考答案 一、单项选择 1、【答案】 A 【解析】 2、【答案】 B 【解析】由题 ? ?2 2 1
8、1 2 0ai b i a i b i a b ii? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故 1, 2, 1a b a b? ? ? ? ? 考点：复数的概念及运算 3、【答案】 A 【解析】 由反证法证明命题的格式和步骤 ,可知应设方程 ()fx没有实根 ,故应选 A. 考点：反证法证明命题的格式及步骤 . 4、【答案】 A 【解析】 由题意得， ( ) 2f x x a? ?，所以 (0)fa? ? ，即曲线在点 (0, )b 处的切线斜率为 ka? ，所以过点 (0, )b 处的切线方程为 y ax b?，即 0ax y b? ? ? ，又因为切线方程为 10xy? ? ?
9、 ，所以1a? ， 1b? ，故选 A. 考点：曲线在某点处的切线方程 . 5、【答案】 B 【解析】 根号下是奇数， 3 5 4 5 , 2 1 4 5 , 2 3nn? ? ? ?. 考点：归纳猜想 6、【答案】 C 【解析】 由方程组 2yxyx?得 1x? 或 4x? ，所以 曲线 yx? ，直线 2yx?及 y 轴所围成的图形的面积 ? ? 34 24200 2 1 1 62 2 ,3 2 3S x x d x x x x? ? ? ? ? ? ?故选 C 考点：定积分 7、【答案】 D 【解析】 8、【答案】 D 【解析】 2( ) 3 3f x x a? ?,又因为 2x? 是函
10、数 3( ) 3 2f x x ax? ? ?的极小值点，所以2(2) 3 2 3 0fa? ? ? ? ?， 4a? ，所以 2( ) 3 12f x x? ?，由 2( ) 3 12 0f x x? ? ? ?， 2x? 或 2x? ，所以在区间 ( , 2)? 上， ( ) 0, ( )f x f x? ? 单调递增，在区间 ( 2,2)? 上， ( ) 0, ( )f x f x? ? 单调递减，在区间 (2, )? 上， ( ) 0, ( )f x f x? ? 单调递增，所以函数 ()fx 的极大值为3( 2 ) ( 2 ) 1 2 ( 2 ) 2 1 8f ? ? ? ? ? ?
11、 ? ?，故选 D. 考点：导数与函数的单调性与极值 . 9、【答案】 D 【解析】 当 nk? 时，等式左端 212 k? ? ? ? ，当 1nk?时，等式左端 2 2 2 21 2 1 2 ( 1 )k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，增加了 项 ? ? ? ? ? ? 2221 2 1k k k? ? ? ? ?，故选D 考点：数学归纳法 10、【答案】 D 【解析】 每位学生都有 4种报名方法，因此有 444 43种 考点：分步计数原理 11、【答案】 A 【解析】 设 tx ?1 ,则 1?tx ,所以 ttttf 1212)( ? ,故 xxf 12)( ?
12、 ,又因2/ 1)( xxf ?,故切线的斜率 1?k ,故应选 A. 考点：导数的几何意义及运用 . 12、【答案】 D 【解析】 令2 )()( xxfxg ?, ),0( ?x ,则3 )(2)()( x xfxfxxg ?, ),0( ?x? ， )(3)()(2 xfxfxxf ? 恒成立 0)( ? xf , 3 )(2)( x xfxxf ? 0? 0)( ? xg 所以函数 )(xg 在(0, )? 上 单 调 递 增 , 4 )2(1 )1( ff ? , 41)2( )1( ?ff 令3)()( xfxh?, ),0( ?x ,4 )(3)()( x xfxfxxh ?,
13、),0( ?x? , )(3)()(2 xfxfxxf ? 恒成立 4 )(3)()( x xfxfxxh ? 0? ,所以函数 )(xh 在(0, )? 上单调递减 , 8 )2(1 )1( ff ? , 81)2( )1( ?ff 综上可得 :1 (1) 18 (2) 4ff?故选 D 考点： 导数的应用 【方法点晴】 函数的性质是高考的重点内容 ,本题考查的是利用函数的单 调性比较大小的问题 ,通过题目中给定的不等式 ,分别构造两个不同的函数求导判出单调性从而比较函数值得大小关系在 讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意
14、义对定义域的影响 二、填空题 13、【答案】 11 【解析】 直接从甲地到丙地有三种走法 ,经过乙地到丙地有 2 4 8?种走法 ,所以合计有 3 8 11? 种走法 考点：分类计数原理与分步计数原理 14、【答案】 2a? 【解析】 由 2211 1( 2 ) ( l n ) | l n 1 3 l n 2a ax d x x x a ax? ? ? ? ? ? ? ?，得 2 13ln ln2a a? ? ?，所以 2a? 考点：定积分的运算 15、【答案】 2- 【解析】 ? ? xxfxf s inc o s2 ? ?， 而 12s in2c o s22 ? ? ff， 所以 ? ?
15、xxxf sincos ? ， 24s in4c o s4 ? ?f， 故填 ： 2? . 考点：导数 16、【答案】 甲 【解析】 由题知， B 、 C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论 B 、 C 谁对， A 必是一对一错，假设 B 的预测是对的，则丙是冠军，那么 C 说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾，即假设不成立，所以 B 的预测是错误的，则 C 的预测是对的，所以甲是冠军 考点：推理的应用 三、解答题 17、【答案】 （ 1） 2m? （ 2） 23 ? m 试题分析 ： （ 1）由若 Z 是纯虚数，可回到复数的定义即要求；实部为零，
16、虚部不为零建立方程可解出 （ 2）由若 Z 在复平面内对应的点在第三象限，则实部小于零，虚部小于零，再解两个不等式可求出实数 m的范围 试题解析： （ 1）若 z是纯虚数，则；? ? ? 0152 06522mm mm，解得； 2m? （ 2）若 z在复平面内对应的点位于第三象限，则；? ? ? 0152 06522mm mm解得； 23 ? m 考点：复数的定义及方程和不等式的解法 【解析】 18、【答案】 左边 ! ! ( 1 ) ! !( ) ! ( 1 ) ! ( 1 ) !n m n n m n m nn m n m n m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1)!(
17、 1) ! mnn Anm ? ? ?右边 所以等式成立。 19 、【 答 案 】 ( ) 由 32()f x x bx cx d? ? ? ?的 图 象 过 点 P （ 0 ， 2 ） ,d=2 知 , 所以 32( ) 2f x x bx cx? ? ? ?,f? (x)=3x2+2bx+c,由在 (-1,(-1)处的切线方程是 6x-y+7=0,知 -6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f? (-1)=6, 3 2 6,1 2 1,bcbc? ? ? ? ? ? ?即 0,2 3,bcbc? ? ?解得 b=c=-3. 故所求的解析式为 f(x)=x3-3x-3+2, ( ) f? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x1+ 2 时 , f? (x)0;当 1- 2 0,即 ，或 时；（ 2）当 0,即 时 当
