1、 1 天门 市 2016-2017学年度第一学期期末考试 试题 高二数学 (理科 ) 全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1“ 1x ? ”是“ ln( 1) 0x?”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2已知 ( , 2 ), ( 3, 0 )A x B? ，若直线 AB的斜率为 2，则 x的值 为 A -1 B 2 C -1或 2 D -2 3已知三条直线 a、 b、 c和平面 ? ，下列结论正确的是 A若 a/? ， b/? ，
2、则 a/b B若 ,a c b c?，则 a/b C若 a ? ， b/? ，则 a/b D ,ab?，则 a/b 4若直线 0x y m? ? ? 与圆 22x y m?相切，则 m的值为 A 0 或 2 B 2 C 2 D无解 5已知实数 ,xy满足关系 1311xyxy? ? ? ? ? ?，则 42xy? 的取值范围是 A 0,10 B 0,12 C 2,12 D 2,10 6如图，四边形 ABCD是圆柱的轴截面， E是底面圆周上异于 A、 B的一点，则下面结论中错误的是A AE CE? B BE DE? C DE CE? D ADE BCE?面 面 7直线 (2 1)y mx m?
3、? ? 恒过定点，则此点是 A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， -2） D（ -2， 1） 8若命题“ 0x?R ，使得 2002 3 0x mx m? ? ? ?”为假命题，则实数 m的取值范围是 A 2， 6 B -6， -2 C（ 2， 6） D（ -6， -2） 2 9若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 A 2， 23 B 22， 2 C 4， 2 D 2， 4 10已知抛物线 2:8C y x? 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4FP FQ? ，则 |QF 等于 A 72B 3 C
4、 52D 2 11如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 1 1 1ABC ABC? ， 1 2CA CC CB?，则直线 1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 A 55B 53C 255D 3512已知直角坐标平面 O XY? 上的动点 P 到定点 (1,0)F 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记 P 点的轨迹为曲线 C ，则直线 : 2 3 4 0l x y? ? ?与曲线 C 的交点的个数 为 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 13在正方体 1AC 中，若过 A、 C、 1B 三点的平面
5、与底面 1 1 1 1ABCD 的交线为 l，则 l与 AC 的位置关系是 14已知直线经过点 P（ 1， 2），且与直线 23yx?平行，则该直线方程为 15若正四棱锥的底面边长为 23cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小 为 16双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?一条渐近线的倾斜角为3?，离心率为 e，则 2aeb?的最小值为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在3 答题卡上对应题号指定框内。 17（本小题满分 10分） 已知：如图，空间四边形 ABCD中， E， F分别是 AB，
6、 AD的中点 求证： EF/平面 BCD 18 （本小题满分 12分） 自圆 224xy?上的点 A（ 2， 0）引此圆的弦 AB，求弦 AB 的中点轨迹方程 19 （本小题满分 12分） 有一椭圆形溜冰场，长轴长 100m，短轴长 60m 现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面 积最大，应把 这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？ 20 （本小题满分 12分） 如图，已知四边形 ABCD是矩形， AD=4， AB=2， E、 F分别 是线段 AB、 BC的中点， PA面 ABCD （）证明 PF FD； （）在 PA 上找一点 G，使得 EG/平
7、面 PFD 21 （本小题满分 12分） 如图， ? ， l? ， A? ， B? ，点 A在直线 l上的射影为 1A ，点 B在 l上的射影为 1B 已知 2AB? ， 1 1AA? ， 1 2BB? ，求： （）直线 AB分别与平面 ,?所成角的大小 ； （）二面角 11A AB B?的余弦值 4 22（本小题满分 12分） 在直角坐标系中， ABC 的两个顶点 C， A的坐标分别为（ 3? ， 0），（ 3 ， 0），三个内角 A，B， C满足 2 sin 3 (sin sin )B A C? （）求顶点 B的轨迹方程； （）过顶点 C作倾斜角为 ? 的直线与顶点 B的轨迹交于 P， Q
8、两点，当 (0, )2?时，求 APQ面积 ()S? 的最大值 5 天门市 2016 2017学年度第一学期期末考试 高二数学 (理科 ) 参考答案与评分标准 一、选择题： （ 1 5） BBDBD； （ 6 10） CDADB； （ 11 12） AD 二、填空题 :13 平行 ;14 2yx? ; 15 30o ; 16 263三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17（本小题满分 10分） 证明：连接 BD，因为 AE=EB， AF=FD， 所以 EF/BD（三角形中位线的性质）? 5分 因为 EF? 平
9、面 BCD， BD? 平面 BCD， 由直线与平面平行的判定 定理得 EF/平面 BCD? 10分 18 （本小题满分 12分） 解：设 AB的中点 P（ x， y） ， B（ 1x ， 1y ） ， 则有 22114xy?，且1 22xx ?，1 02yy ?，? 3 分 所以 1 22xx?， 1 2yy? 所以 22(2 2) (2 ) 4xy? ? ?，即 22( 1) 1xy? ? ? ? 8 分 当 A、 B重合时， P点与 A点重合，不合题意，? 10 分 所以所求轨迹方程为 22( 1) 1 ( 2)x y x? ? ? ? 12 分 19 （本小题满分 12分） 解：分别以椭
10、圆的长轴、短轴各自所在的直线为 x 轴和 y 轴，如图建立平面直角坐标系 xOy，设矩形 ABCD的各顶点都在椭圆上? 1分 因为矩形的各顶点都 在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形 ABCD关于原点 O及 x轴、 y轴都对称? 4分 已知椭圆的长轴长 2a=100(m)，短轴长 2b=60(m)， 6 则椭圆的方程为 22150 30xy? 5分 设顶点 A的坐标为 0 0 0 0( , ), 0, 0x y x y?， 则 2200150 30xy?， 得 22 2 200230 (50 )50yx?根据矩形 ABCD的对称性，
11、可知它的面积 004S xy? 由于 2 2 2 2 42 2 2 2 2 4 2 2 2 20 0 0 0 0 0 02 2 23 0 3 0 3 0 5 0 5 0( 5 0 ) ( 5 0 ) ( ) )5 0 5 0 5 0 2 4x y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?因此，当 220 502x ?时， 2200xy达到最大值，同时 004S xy? 也达到最大值 这时 0025 2 , 15 2xy? ? 8分 矩形 ABCD的周长为 004 ( ) 4 ( 2 5 2 1 5 2 ) 1 6 0 2xy? ? ? ?(m)? 10 分 因此在溜冰场椭圆的短轴两
12、侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距 252 m（约 35.35m）的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为 1602 m（约等于 226.27m）? 12 分 20 （本小题满分 12分） 解：（）证 明：连结 AF， 因为在矩形 ABCD 中， AD=4， AB=2， F分别是线段 BC 的中点， 所以 AF FD? 2分 又因为 PA面 ABCD，所以 PA FD? 4分 又 AF PA=A，所以平面 PAF FD所以 PF FD? ? 6分 （）过 E作 EH/FD交 AD于 H，则 EH/平面 PFD 且 14AH AD? 8分 再过 H作 HG/
13、DP交 PA于 G，则 HG/平面 PFD且 14AG AP? 10分 所以平面 EHG/平面 PFD，所以 EG/平面 PFD， 从而满足 14AG AP?的点 G为所找? 12 分 21 （本小题满分 12分） 解：（）如图，连结 1AB， 1AB 因为 ? ， l? ， 1AA l? ， 1BB l? ， 7 所以 1AA? ， 1BB? ， 则 1BAB? 、 1ABA? 分别是 AB与 ? 、 ? 所成的角? 3分 在 Rt 1BBA? 中， 1 2BB? ， AB=2，所以 11 2sin 2BBBAB AB? ? ?， 所以 1 45BAB? ? ? 在 Rt 1AAB? 中，
14、1 1AA? ， AB=2， 所以 1 30ABA? ? ? 故 AB 与平面 ? 、 ? 所成的角分别是 45? 、 30? ? 6分 （）解法 1：因为 1BB? ， 所以平面 1ABB? ，在平面 ? 内过点 1A 作 11AE AB? 交 1AB 于 E， 则 11AE ABB?平 面 ， 过点 E作 EF AB? 交 AB于 F，连结 1AF， 得 1AF AB? ，所以 1AFE? 就是所求二面角的平面角? 9分 在 Rt 1ABB? 中， 1 45BAB? ? ? ，所以 11 2AB BB? 所以在 Rt 11AAB? 中， 221 1 1 1 2 1 1A B A B A A
15、? ? ? ? ?，所以1 1 11122AA A BAE AB? 所以在 Rt 1AAB? 中， 2211 4 1 3A B A B A A? ? ? ? ?由 1 1 1AA AB AF AB? 得， 111 1 3 322A A A BAF AB ? ? ?所以在 Rt 1AEF? 中，1116sin 3AEA FE AF? ? ? 所以二面角 11A AB B?的正弦值为 63? 12分 解法 2：如图，建立空间直角坐标系， 则 11( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 1 , 0 )A A B B 在 AB上取一点
16、 ( , , )Fxyz ，则存在 t?R ，使得 AF tAB? ， 即 ( , , 1) ( 2 ,1, 1)x y z t? ? ?，所以点 F的坐标为 ( 2, ,1 )t t t? 要使 1AF AB? ，须 1 0AF AB? ， 即 ( 2 , ,1 ) ( 2 ,1, 1) 0t t t? ? ?， 即 2 (1 ) 0t t t? ? ? ? ，解得 14t?， 所以点 F的坐标为 2 1 3( , , )4 4 4? 9分 所以1 2 1 3( , , )4 4 4AF?8 设点 E为 1AB 的中点，则点 E的坐标为 11(0, , )22所以 2 1 1( , , )4
17、 4 4EF ?，又 2 1 1 1 1 1( , , ) ( 2 ,1 , 1 ) 04 4 4 2 4 4E F A B ? ? ? ? ? ? ?所以 EF AB? ，所以 1AFE? 就是所求二面角的平面角 又 1112 1 3 2 1 1( , , ) ( , , )4 4 4 4 4 4c o s| | | | 2 1 9 2 1 11 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6A F E FA F EA F E F? ? ? ? ? ?1 1 3 138 1 6 1 633 1 342? ? ?所以二面角 11A AB B?的余弦值为 33? 12分 22（本小题满分 12分） 解： （）设 ABC的三个内角 A， B，
