1、 - 1 - 福建省莆田市第七中学 2017-2018 学年高二数学上学期期末考试试题 理 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 ) 1已知空间两点 P( 1,2， 3)， Q(3， 2， 1)，则 P、 Q 两点间的距离是 ( A ) A 6 B 2 2 C 36 D 2 5 解析 由空间两点间距离公式， 得 |PQ| 2 2 2 1 2 6. 2.不论 m 为何值，直线 (m 2)x y 3m 2 0 恒过定点 ( C ) A (3,8) B (8,3) C ( 3,8) D ( 8,3) 解析 直线方程 (m
2、 2)x y 3m 2 0 可化为 m(x 3) 2x y 2 0， x 3 时， m R， y 8，故选 C 3过两点 ( 1,1)和 (3,9)的直线在 x 轴上的截距是 ( A ) A 32 B 23 C 25 D 2 解析 由题意，得过两点 ( 1,1)和 (3,9)的直线方程为 y 2x 3. 令 y 0，则 x 32， 直线在 x 轴上的截距为 32，故选 A 4方程 x2 y2 ax 2ay 54a2 a 1 0 表示圆，则 a 的取值范围是 ( D ) A a23 B 231 D a0. a1. 故选 D 5 已知直线 l1： (k 3)x (4 k)y 1 0 与 l2： 2
3、(k 3)x 2y 3 0 平行 ， 则 k 的值是 ( C ) A 1 或 3 B 1 或 5 - 2 - C 3 或 5 D 1 或 2 解析 当 k 3 时，两直线显然平行；当 k3 时，由两直线平行，斜率相等，得 k 34 k k2 . 解得 k 5，故选 C 6圆 O1： x2 y2 4x 6y 12 0 与圆 O2： x2 y2 8x 6y 16 0 的位置关系是 ( A ) A内切 B外离 C内含 D相交 解析 圆 O1的 圆心 O1(2,3)，半径 r1 1，圆 O2的圆心 O2(4,3)，半径 r2 3. |O1O2| 2 2 2， r2 r1 2， |O1O2| r2 r1
4、，故两圆内切 . 7设 、 是两个不同的平面， l、 m 是两条不同的直线，且 l? ， m? . ( A ) A若 l ，则 B若 ，则 l m C若 l ，则 D若 ，则 l m 解析 选项 A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当 时， l、 m 可以垂直，也可以平行；选项 C 中， l 时， 、 可以相交；选项 D 中， 时， l、 m也可以异面 . 故选 A 8某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体 积是 ( C ) A 4 B 34 C 32 D 2 9如图， BC 是 Rt ABC 的斜边， PA 平面 ABC， PD BC，则图中直角三角形的个数是 ( A )
5、 A 8 B 7 C 6 D 5 解析 易知 PA AC， PA AD， PA AB， BC AD， BC PD， AC AB. 图中的直角三角形- 3 - 分别为 PAC， PAD， PAB， ADC， ADB， PCD， PDB， ABC，共 8 个， 故选 A 10如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( C ) A 20 B 24 C 28 D 32 解析 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成 . 其中，圆锥的底面半径为 2，母线长为 3 2 22 4，圆柱的底面半径为 2，高为4，故所求表面积 S 24 224 2 2
6、28. 11用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是 1 3，这截面把圆锥母线分为两段的比是 ( B ) A 1 3 B 1 ( 3 1) C 1 9 D 3 2 解析 如图由题意可知， O1与 O2面积之比为 1 3， 半径 O1A1与 OA 之比为 1 3， PA1PA 13， PA1AA1 13 1. 12.已知圆 C 方程为 (x 2)2 (y 1)2 9，直线 l 的方程为 3x 4y 12 0，在圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点有几个 ( B ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 圆心 C(2,1)，半径 r 3， 圆心 C 到直线 3x 4y 12
7、0 的距离 d |6 4 12|32 2 2， 即 r d 1. 在圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点有 3 个 . 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上 ) 13若点 (2， k)到直线 3x 4y 6 0 的距离为 4，则 k 的值等于 _ 2 或 8_. 解析 由题意，得 |6 4k 6|32 2 4， - 4 - k 2 或 8. 14两平行直线 l1： 3x 4y 2 0 与 l2： 6x 8y 5 0 之间的距离为 _110_. 解析 直线 l2 的方程可化为 3x 4y 52 0，故两平行直线 l1、 l2 之间的距离
8、d| 2 5232 42 110. 15若直线 x 3y a 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，则 a 的值为 _ 1 或 3_. 解析 圆心为 (1,0)，半径 r 1，由题意，得 |1 a|1 3 1， a 1 或 3. 16.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 _92 _. 三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (本题满分 10 分 )直线 l 经过直线 x y 2 0 和直线 x y 4 0 的交点，且与直线3x 2y 4 0 平行，求直线 l 的方程 . 解析 解法一：
9、由? x y 2 0x y 4 0 ，得 ? x 1y 3 . 即直线 l 过点 ( 1,3). 直线 l 的斜率为 32， 直线 l 的方程为 y 3 32(x 1)，即 3x 2y 9 0. 解法二：由题意可设直线 l 的方程为 x y 4 (x y 2) 0， 整理得 (1 )x ( 1)y 4 2 0， 直线 l 与直线 3x 2y 4 0 平行， 2(1 ) 3( 1)， 15. 直线 l 的方程为 65x 45y 185 0，即 3x 2y 9 0. 18 (本题满分 12 分 )(2015 北京文， 18)如图，在三棱锥 V ABC 中，平面 VAB 平面ABC， VAB 为等边
10、三角形， AC BC 且 AC BC 2， O、 M 分 别为 AB、 VA 的中点 . (1)求证： VB 平面 MOC； - 5 - (2)求证：平面 MOC 平面 VAB； (3)求三棱锥 V ABC 的体积 . 解析 (1) O、 M 分别为 AB、 VA 的中点， OM VB. 又 VB?平面 MOC， OM?平 面 MOC VB 平面 MOC. (2) AC BC， O 为 AB 的中点， OC AB. 又 平面 VAB 平面 ABC，且 OC? 平面 ABC，平面 VAB 平面 ABC AB OC 平面 VAB. 又 OC? 平面 MOC 平面 MOC 平面 VAB. (3)在等
11、腰直角三角形 ACB 中， AC BC 2， AB 2， OC 1. 等边三角形 VAB 的面积 S VAB 3. 又 OC 平面 VAB， 三棱锥 C VAB 的体积等于 13 OC S VAB 33 . 又 三棱锥 V ABC 的体积与三棱锥 C VAB 的体积相等， 三棱锥 V ABC 的体积为 33 . 19 (本题满分 12 分 )在 ABC 中， BC 边上的高所在的直线方程为 x 2y 1 0， A 的平分线所在的直线方程为 y 0. 若 B 的坐标为 (1,2)，求 ABC 三边所在直线方程及点 C 坐标 . 解析 BC 边上高 AD 所在直线方程 x 2y 1 0， kBC
12、2， BC 边所在直线方程为： y 2 2(x 1)即 2x y 4 0. 由? x 2y 1 0y 0 ，得 A( 1,0)， 直线 AB： x y 1 0，点 B(1,2)关于 y 0 的对称点 B(1 ， 2)在边 AC 上， 直线 AC： x y 1 0， 由? x y 1 02x y 4 0 ，得点 C(5， 6). 20 (本题满分 12 分 )(2017 江苏， 15)如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD 平面 BCD，点 E， F(E 与 A， D 不重合 )分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD. - 6 - 求证： (1)EF 平面
13、ABC； (2)AD AC. 解析 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB. 又因为 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC， 所以 EF 平面 ABC. (2)因为平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD 平面 BCD BD， BC? 平面 BCD， BC BD， 所以 BC 平面 ABD. 因为 AD?平面 ABD，所以 BC AD. 又 AB AD， BC AB B， AB? 平面 ABC， BC?平面 ABC，所以 AD 平面 ABC. 又因为 AC?平面 ABC，所以 AD AC. 21 (本题满分 12 分 )已知圆 C 与 y 轴相切，圆心在
14、直线 x 3y 0 上，且经过点 A(6,1)，求圆 C 的方程 . 解析 圆心在直线 x 3y 0 上， 设圆心坐标为 (3a， a)， 又圆 C 与 y 轴相切， 半径 r 3|a|，圆的标准方程为 (x 3a)2 (y a)2 9a2， 又 过点 A(6,1)， (6 3a)2 (1 a)2 9a2，即 a2 38a 37 0， a 1 或 a 37， 所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 111)2 (y 37)2 12 321. 22 (本题满分 12 分 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA CD， AD BC， ADC PAB 90 ，BC CD 12A
15、D. (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM 平面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB 平面 PBD. 解析 (1)取棱 AD 的中点 M(M 平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点 . - 7 - 理由如下： 因为 AD BC， BC 12AD，所以 BC AM，且 BC AM， 所以四边形 AMCB 是平行四边形， 从而 CM AB. 又 AB? 平面 PAB， CM?平面 PAB， 所以 CM 平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点 ) (2)由已知， PA AB， PA CD， 因为 AD BC， BC 12AD，所以直线 AB 与 CD 相交 . 所以 PA 平面 ABCD. 从而 PA BD. 连接 BM， 因为 AD BC， BC 12AD， 所以 BC MD，且 BC MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形 . 所以 BM CD 12AD，所以 BD AB. 又 AB AP A，所以 BD 平面 PAB. 又 BD? 平面 PBD. 所以平面 PAB 平面 PBD.
