1、 - 1 - 河南省郑州市一中 2017-2018 学年高二数学上学期期中模拟试题（含解析） 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析： 考点：不等式性质 2. 若命题 ，使 ，则该命题的否定 为（ ） A. ，使 B. C. ，使 D. 【答案】 D 【解析】试题分析：特称命题的否定为 ：存在改为任意，结论变否定；所以命题 ，使 的否定 为： ，故答案为 D 考点： 1、特称命题； 2、命题的否定
2、 3. 在等比数列 中， 是方程 的两根，则 等于（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】 A 【解析】试题分析：由题意得考点： 1二次方程根与系数的关系； 2等比数列 4. 已知 ，则函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C - 2 - 【解析】试题分析：由于 ，则 ，所以，当且仅当 ，由于 ，即当 时，上式取等 号，因此函数 的最小值为 ，故选 C. 考点：基本不等式 5. 在 中， ，则 的面积等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】 D 【解析】试题分析：由余弦定理知 ，整理得 ，解得 或，有三角形面积公式得 或 考点：余弦定理及三角形面积的
3、求法 6. 已知变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型， ，可知截距越大 值越大，根据图象得出 最优解为 ， 则 的最大值为 2，选 B. - 3 - 【 点睛 】 本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式 转化为 （或 ）， “ ” 取下方， “ ” 取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围
4、 7. 设等比数列 ， 是数列 的前 项和， ，且 依次成等差数列，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设等比数列 的首项为 ，公比为 ， ?. ，又依次成等差数列，则 ，即? ， 两式相加得： ，代入 得： ，两式相比： ，解得： 或 ，则 或 ， 当 时， ， 当 时， ，选 C . 8. 设 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 且 ，则 ， ，选 A. 9. 已知等差数列前 项和为 ，若 ，则在数列中绝对值最小的项为（ ） A. 第 项 B. 第 项 C. 第 项 D. 第 项 【答案】 C - 4 - 10. 已知不等式 对
5、一切正整数恒成立，则实数 的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 , 不等式 对一切正整数 恒成立， 化为 ，只需 ，化为 ，选 B. 【 点睛 】 裂项相消法是数列求和最常用的一种方法，本题为不等式恒成立问题，要注意到不等式要求对一切正整数 n恒成立，首先把不等式化简后得出 ，何时恒成立，只需 小于左边式子的最小值，其最小值为 ，其次得出的不等式如何解？可先换元，后利用图象法 . 11. 在 中， 是 的 中点， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】设 ， 则 选 B. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合
6、已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 . 第三步：求结果 . 12. 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 是数列 的- 5 - 前 项和，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ， 成等比数列， ，得 或 （舍去）， ， ， ，时原式取得最小值为 ，故选 A 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 在 中， ，则
7、 _ 【答案】 【解析】 , . 14. 当实数 满足约束条件 （其中 为小于零的常数）时， 的最小值为 ，则实数 的值是 _ 【答案】 【解析】略 15. 已知数列 为等比数列 ，其前 项和为 ，且公比 ；数列 为等差数列， ，则 _ （填写 “ ”“ ” 或者 “ ” ） 【答案】 【解析】比较 与 的大小，可以用比较法：，数列 为等差数列，则,因为 ，即 ,因此只需研究 的正负 . 由于数列 为等比数列，其前 项和为 ，且公比 ；则=，所以. - 6 - 【 点睛 】 研究不等式的主要方法有比较法、分析法、综合法等，比较两个数的大小常用比较法，比较法又包括差值比较法与商值比较法，差值比较
8、法主要研究差值的正负以说明两个数的大小，本题利用已知条件中等差数列和等比数列的通项 公式外，还灵活的运用了等差数列的性质，借助等量代换巧妙的作差解决问题 . 16. 对于 ，当非零实数 满足 且使 最大时，的最小值为 _ 【答案】 【解析】试题分析：设 ，则 ，代入到 中，得，即 ? 因为关于 的二次方程 有实根，所以 ，可得 ， 取最大值时， 或 ， 当 时， ， 当 时， ， 综上可知当 时， 的最小值为 考点： 1、一元二次方程根的判别式； 2、二次函数求值域 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 给定两个命题： 对任意实数
9、都有 恒成立； .如果 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围 . 【答案】 或 【解析】试题分析：根据已知求出两个简单命题 中参数的取值范围，命题 ，命题 ；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进行讨论，（ 1） 当真 假时；（ 2）当 假 真时，从而得到实数 的取值范围 . 试题解析：解：命题 ： ax2+ax+1 0恒成立 当 a=0时，不等式恒成立，满足题意） - 7 - 当 a0 时， ，解得 0 a 4 0a 4 命题 ： a2+8a 20 0解得 10 a 2 为真命题， 为假命题 有且只有一个为真， 当 真 假时 得 当 假 真时 得 所以 10 a 0或 2
10、a 4 考点：复合命题的真假判断 . 18. 已知在 中，内角 的对边分别为 .且 . （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 的面积 . 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ 1）已知条件是边角关系，且左边是角的余弦，要求的是 ，因此可用正弦定理 “ 化边为角 ” ，即 ，只要交叉相乘，再由两角和与差的正弦公式可得 ，而在三角形中此式即为 ，结论有了；（ 2）由（ 1）可得 ，结合余弦定理可求得 ，由面积公式 可得 试题解析：（ 1）由正弦定理得 整理得 又 ，即 （ 2）由余弦定理可知 由（ 1）可知 ，即 再由 ， 由 联立求得 又 考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公
11、式，三角形的面积 - 8 - 19. 已知正项数列 的前 项和为 是 与 的等比中项 . （ 1）求证：数列 是等差数列； （ 2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 . 【答案】（ 1）见解析（ 2） 【解析】试题分析：已知数列的递推关系中含有前 n项和 与第 n项 的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步 n=1时，第二步 ，常 用前 n项和减去前 n-1 项和（两式相减）去处理，化为 与 的关系后，再求通项公式 ；错位相减法是数列求和的常用方法，使用错位相减法求和时，要注意末项的符号及等比数列求和的项数，避免失误 . 试题解析： （ 1）证明：由 是 与 的等比中项， 得 . 当 时，
12、. 当 时， ， ， 即 . ，即 . 数列 是等差数列 . （ 2）数列 首项 ，公差 ， 通项公式为 . 则 ，则 . 两边同时乘以 ，得 - ，得 . 解得 . 【 点睛 】 数列的递推关系中为 与 的关系，求数列 的通项公式，一般分两步，第一步 n=1- 9 - 时，得出所表达的含义；第二步当 时，常用两式相减去处理，化为 与 的关系后，再求通项公式 ；数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等；要根据数列的特征 采用相应的方法准确求和，特别是使用错位相减法要注意运算的准确性 . 20. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数 . （ 1）证明： 是 上的偶函数 .
13、 （ 2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围 . 【答案】（ 1）见解析（ 2） 【解析】试题分析： （ 1）根据函数奇偶性的定义即可证明 是 R上的偶 函数； （ 2）利用参数分离法，将不等式 m e -x+m-1在（ 0， + ） 上恒成立，进行转化对任意 恒成立 ,求最值问题即可求实数 m的取值范围 试题解析： （ 1） ， ， 是 上的偶函数 （ 2）由题意， ，即 ， ，即 对 恒成立 令 ，则 对任意 恒成立 ，当且仅当 时等号成立 21. 如图，一辆汽车从 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时 的速度向东均速行驶，汽车开动时，在 市南偏东方向距 市 且与海岸距离为 的
14、海上 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机 . （ 1）快艇至 少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？ （ 2）在（ 1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 所成的角 . - 10 - 【答案】（ 1）快艇至少以 的速度行驶才能把稿件送到司机手中 . （ 2）快艇应向垂直于 的方向向北偏东方向行驶 . 【解析】试题分析：解决三角函数应用问题，首先要审题读懂题意，设出快艇的速度和需要的时间，根据题意利用余弦定理列出关系式，建立函数模型，利用数学知识解决实际问题，本题采用配方法求最值，求出快艇行驶的最小速度后，利用余弦定理求角，得出快艇行驶的方向，给出行驶的方向角 . 试题解析： （ 1）如图，设快艇以 的速度从 处出发，沿 方向， 后与汽车在 处相遇，在中， 为 边上的高， . 设 ，则 . 由余弦定理，得 ，所以. 整理，得 当 ，即 时， ， 即快艇至少以 的速度行驶才能把稿件送到司机手中 . （ 2）当 时，在 中，
