1、 - 1 - 南昌 市 2016-2017学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数 （为虚数单位， ）的实部为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 .实部为 ,所以 . 故选 C. 2. 函数 y xe x， x 的最小值为 ( ) A. 0 B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析： ，当 时， 单调递增，当 时，单调递减， 所以当 时， 有最小值，且 ，故选 A. 考点： 1、利用导数研究函数的单调性； 2、利用函数的单调性求函数在
2、闭区间上的最值 . 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最值的步骤： 确定函数 的定义域； 对 求导； 令 ，解不等式得的范围就是递增区间；令 ，解不等式得的范围就是递减区间； 根据单调性求函数 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小） . 3. 与直线 2x y 4 0平行的 抛物线 y x2的切线方程是 ( ) A. 2x y 3 0 B. 2x y 1 0 C. 2x y 1 0 D. 2x y-3 0 【答案】 B 【解析】由题意可设切线方程为 ， 联立
3、方程 ， 得 ， . - 2 - 解得 ， 所以切线方程为 . 综上所述，答案为 B. 4. 设 a， b都是不等于 1的正数，则 “ ” 是 “ ” 的 ( ) 条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】 A 【解析】由 ，得 ， 由 ，得 当 时， ，满足充分性； 当 ， 可以 ，即必要性不成立， 所以 是 的充分不必要条件，故选 A. 5. 下列判断错误的是（ ） A. 若 为假命题，则 至少之一为假命题 B. 命题 “ ” 的否定是 “ ” C. “ 若 且 ，则 ” 是真命题 D. “ 若 ，则 ” 的否命题是假命题 【答案】 C 【解析】
4、 A. 若 为假命题，则 p， q至少之一为假命题，正确； B. “ ” 的否定是 “ ” ，正确； C. 是真命题不一定正确 ,例如当 时； D. 若 am2f(b) C. f(a) f(b) D. f(|a|)f(b) 【答案】 B 【解析】因为 ， 所以 ,解得 . 而 ,则 即 . 故选 B. 9. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】当 时 , ,解得 ,函数 有两个零点，不符合题意，应舍去； 当 a0时 ,令 ， ,解得 或 ，列表如下： - 4 - 而 ， 存在 ,使得 ,不符合条件： 存在唯一的零点 ,且
5、 0，应舍去。 当 时 , ， ,解得 或 ，列表如下： 而 时 , ? ， 存在 0,使得 ， 存在唯一的零点 ,且 0， 极小值 f()0,化为 a24， a0的实数 x的取值范围是 ( ,1). 故选 B. 点睛：本题属于利用函数性质解不等式，一般步骤为，先研究函数的奇偶性及单调性，再将要解的不等式 变为两个函数的大小，进而结合函数的性质，求解自变量的关系即可 . 12. 已知定义域为 R奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若，则 的大小关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：利用条件构造函数 ， ， 是定义在实数集 R上的奇函数， 是定义在实数集 R
6、上的偶函数，当 时， ， 此时函数 单调递增 ， ，又 ， 故选 A 考点：利用导数判断函数的单调性来比较大小 . 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案 填在题中横线上） 13. 设函数 f（ x）在（ 0， + ）内可导，且 f（ ex） =x+ex，则 f （ 1） =_ 【答案】 2 【解析】设 ex t，则 x ln t(t0)， f(t) ln t t， f(t) 1， f(1) 2. 14. 若命题 “ ? xR ，使得 x2+（ a 1） x+1 0” 是真命题，则实数 a的取值范围是 _ 【答案】 a3或 a3 故答案为： (?, ?1) (3,+ )
7、15. 已知函数 f(x) mx2 ln x 2x在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为 _ - 7 - 【答案】 m1 【解析】试题分析：函数定义域为 ， ，函数为增函数则，转化为 对 恒成立，即 解得 考点：导数判断函数的单调性 . 【易错点晴】由两个初等函数的加减构成新的函数的单调性一般情况下都采用求导的方法，由 将题转化成二次函数在给定的范围内恒成立的问题含参二次函数恒成立可采用分类讨论的形式来解决本题是函数部分的常见题，很容易找到解决的方法 .导数是高考的重难点，一般用于判断单调性、极值、 最值等。本题难度适中 . 16. 已知函数 f(x) mx3 nx2的图象在点 ( 1,2
8、)处的切线恰好与直线 3x y 0平行，若 f(x)在区间上单调递减，则实数 t的取值范围是 _ 【答案】 由 . 又 ， . . 令 ,即 ， 函数 f(x)的单调减区间是 (?2,0). f(x)在区间上单调递减， 则实数 t的取值范围是 故答案为 . 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 求由曲线 y 与 y x3所围成的封闭图形的面积 【答案】 【解析】试题分析：先确定交点坐标，可 得积分区间，再利用定积分求面积即可 试题解析： 由曲线 和曲线 可得交点坐标为 (0,0),(1,1)，则 - 8 - 曲线 和曲线 围成的封闭图形的面积为 . 故答案为： . 点睛
9、：定积分的计算一般有三个方法： （ 1）利用微积分基本定理求原函数； （ 2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分； （ 3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为 0 18. 已知 p：指数函数 f(x) (2a 6)x在 R 上是单调减函数； q：关于 x的方程 x2 3ax 2a2 1 0 的两根均大于 3，若 p或 q为真， p且 q为假，求实数 a的 取值范围 【答案】 (， 3 上的最大值和最小值 【答案】（ 1） a 2， b 4， c 5；（ 2）最大值为 13，最小值为 . 【解析】试题分析： (1)利用题意求得实数 a,b,c的值可得函数 f(x)的表达式为
10、 f(x) x3 2x2 4x 5 (2)结合 (1)的解析式和导函数研究原函数的性质可得 y f(x)在上的最大值为 13，最小值为 . 试题解析： (1)由 f(x) x3 ax2 bx c， 得 f( x) 3x2 2ax b， 当 x 1时，切线 l的斜率为 3，可得 2a b 0； 当 x时， y f(x)有极值， 则 f 0， 可得 4a 3b 4 0. 由 解得 a 2， b 4， 又切点的横坐标为 x 1， f(1) 4. 1 a b c 4. c 5. (2)由 (1)，得 f(x) x3 2x2 4x 5， f( x) 3x2 4x 4. 令 f( x) 0，得 x 2或
11、x， f( x)0的解集为 ，即为 f(x)的减区间 - 9 - 上的最大值为 13，最小值为 . 20. 已知椭圆 C： (a b 0)的离心率为，点 P(0,1)和点 A(m， n)(m0) 都在椭圆 C上，直线 PA 交 x轴于点 M. (1)求椭圆 C的方程，并求点 M的坐标 (用 m， n表示 )； (2)设 O为原点，点 B与点 A关于 x轴对称，直线 PB交 x轴于点 N.问： y轴上是否存在点 Q，使得 OQM ONQ？若存在，求点 Q的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（ 1） M .；（ 2）点 Q的坐标为 (0， )或 (0， ). 【解析】试题分析： （ I）根据椭圆的
12、几何性质得出 ， 求解即可 （ II） 讲问题转化为方程 |xM|xN|，求坐标即可 . 试题解析： (1)由题意得 解得 a2 2，故椭圆 C的方程为 y2 1. 设 M(xM,0)因为 m0 ，所以 1 n 1.直线 PA 的方程为 y 1 x. 所以 xM ，即 M . (2)因为点 B与点 A关于 x轴对称，所以 B(m， n) 设 N(xN,0)，则 xN .“ 存在点 Q(0， yQ)使得 OQM ONQ” ，等价于 “ 存在点 Q(0， yQ)使得 ” ，即 yQ满足 |xM|xN|. 因为 xM ， xN ， n2 1. 所以 |xM|xN| 2.所以 yQ 或 yQ . 故在
13、 y轴上存在点 Q，使得 OQM ONQ，点 Q的坐标为 (0， )或 (0， ) 21. 函数 (1)若函数 ，求函数 的极值； (2)若 在 恒成立，求实数的取值 范围 . - 10 - 【答案】（ 1） 没有极小值；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1） 在 递增 ,在 递减 , 没有极小值；（ 2）由 在 恒成立等价于 在 恒成立，利用导数求出 的最大值，只需 即可 试题解析：（ 1） ，定义域 由 得 , 由 得 , 在 递增 ,在 递减 , 没有极小值 （ 2）由 在 恒成立，整理得 在 恒成立 ,设 , 则 , 时 , ,且 , 时 , ,设 在 递增 ,又 使得 时 , , 时 , , 时 , , 时 , 函数 在 递增 , 递减 , 递增 , 又 ， 时， , ,即的取值范围 是 考点： 1、利用导数研究函数的极值及最值； 2、不等式恒成立问题 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题求函数 极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数 ； (3)解方程求出函数定义域内的所有根； (4)列表检查 在 的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在处取极
