1、 - 1 - 2017-2018学年上期期末联考高二数学试题（理科） 注意： 1、 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120分钟。 2、全部答案在答题卡上完成 ,答在本试题上无效。 3、 每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 第 I卷 (共 60 分 ) 一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若命题 “ ” 为假，且 “ ” 为假，则 （ ） A. “ ” 为假 B. 假 C. 真 D. 不能判断 的真假
2、【答案】 B 【解析】试题分析：因为 “ ” 为假，所以 “ ” 为真，又 “ ” 为假，所以 为假，故选B 考点： 1、复合命题的真假； 2、命题的否定 2. 已知 是等差数列，且 ? ，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 【答案】 B 【解析】因为 ,选 B 3. 在 中， ，则 的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】 B . 考点：余弦定理及三角形面积的求法 - 2 - 4. 在如图所示的正方体 A1B1C1D1-ABCD中， E是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分
3、析：取 中点 ,连接 则 即为异面直线夹角，设边长为 1 由余弦定理的 考点：异面直线所成角 点评：先将异面直线平移为相交直线找到所求角，再在三角形中求三边余弦定理求角 5. 已知 ，则 f（ x）在 点 P（ 1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】 C 【解析】 f（ x）在点 P（ 1,2）处的切线方程为与坐标轴围成的三角形面积等于 ,选 C 6. 过抛物线 y2=8x的焦点作直线交抛物线于 A， B两点，若线段 AB的中点的横坐标为 4，则 AB 等于 （ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】 A 【解析】 AB ,
4、选 A. 7. 已知等差数列 满足 , ,则前 n项和 取最大值时， n的值为 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 - 3 - 【答案】 B 【解析】试题分析：由 得 ，由 ,所以数列 前 21 项都是正数，以后各项都是负数，故取最大值时， n的值为 21 考点：本小题主要考查等差数列的性质 . 点评：等差数列是一类比较特殊也比较重要的数列，要充分利用等差数列的性质解决问题，可以简化运算 . 8. 是 的导函数， 的图象如右图所示，则 的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：首先 观察函数的图象， 与 x轴的交点即为 的极值点，然后根据函数与其
5、导数的关系进行判断 由图可以看出函数 的图象是一个二次函数的图象，在 a与 b之间，导函数的值是先增大后减小 故在 a与 b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小，故选 D 考点：函数的单调性与导数的关系 9. 已知 是抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则 的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 C - 4 - 【解析】约束条件为 可行域如图 ,所以直线 过点 A(2,-1)时 取最大值 5,选C. 10. 如图： 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 . 已知 则 的长为 ( )
6、 A. B. 6 C. D. 8 【答案】 A 【解析】 选 A 11. 若 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意得 上恒成立 ,即,选 C - 5 - 12. 已知椭圆 的左焦点为 F,椭圆 C与过原点的直线相交于 A、 B两点 ,连接 AF、 BF. 若 |AB|=10,|BF|=8， cos ABF= ,则 C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由余弦定理得 ，所以有勾股定理得，设 是右焦点，根据椭圆的对称性知四边形 是矩形 .所以， ， ，故选 B. 考点： 1、椭圆的定义和几何性质； 2、余弦
7、定理及勾股定理 . 第 卷 (共 90 分 ) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在答题卡相应的位置上。） 13. 设平面 与向量 ( 1,2， 4)垂直，平面 与 向量 (2,3,1)垂直，则平面 与 的位置关系是 _ 【答案】垂直 【解析】因为 ,因此 14. 已知三角形 ABC 的三边长成公差为 2的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长是 _. 【答案】 15 - 6 - 【解析】试题分析：设三角形的三边为 ，因为它的最大角的正弦值为 ，所以它的最大角的余弦值为 ，所以由余弦定理得： ，解得 ，所以三角形的三边为 3,5,7，所以三角形的面积为
8、 . 考点：等差数列的性质；余弦定理；三角形的面积公式。 点评：本题主要考查三角形的余弦定理 的灵活应用。在应用余弦定理的时候，一般的时候，已知那个角就用那个公式。 15. 由函数 所围成的封闭图形的面积为 _. 【答案】 【解析】围成的封闭图形的面积为 16. 已知函数 f(x)= -2lnx(a R)， g(x)= ，若至少存在一个 x01 ， e，使得 f(x0)g(x0)成立，则实数 a的范围为 _. 【答案】 【解析】由题意得不等式 在 1， e上有解 ,即 令 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法 , 使不等式一端是含有参数的 式子，另一端是一个区
9、间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件 .二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应位置） 17. 已知命题 若非 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。 【答案】 【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解 . 试题解析 :由 记 A=x|x 10 或 x -2, - 7 - q: 解得 或 1-a,记 B=x| 1+a或 . 而 p A B, 即 . 考点：充分必要条件及运用 18. 已知 、 、 为
10、 的三内角，且其对边分别为 、 、 ，若 （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ，求 的面积 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）由已知可得 ；（ 2）由余弦定理得. 试题解析： （ 1） ， ，又 ， . ， . （ 2）由余弦定理 ， 得 ，即 ， ， . 考点：解三角形 . 19. 已知 ，且满足 ： (1)求证 : 是等差数列。 (2) 的前 项和 , 若 ?+ ，求 - 8 - 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）取倒数将递推关系转化为相邻两项差为常数 3，再根据等差数列定义得证（ 2）先根据等差数列通项公式求 ，再根据和项与通项关系
11、求 ，最后根据错位相减法求和 试题解析： (1) , ,则 , 是首项为 1,公差为 3的等差数列 ; （ 2） = 由 (1)知 = （ 1） -（ 2）得： 点睛：用错位相减法求和应注意的问题 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出 “ ” 与 “ ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ ” 的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1 两种情况求解 . 20. 如图所示，在四棱锥 P-ABCD中， PA 底面 ABCD, AD AB， AB DC， AD DC AP 2，
12、 AB 1，点 E为棱 PC的中点 用空间向量 进行以下证明和计算： - 9 - (1)证明： BE DC； (2)求直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC上一点，满足 BF AC，求二面角 F-AB-P的正弦值 【答案】（ 1）见解析；（ 2） ；（ 3） . 【解析】试题分析：（ I）以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出 BE， DC的方向向量，根据 ，可得 BEDC ；（ II）求出平面 PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面 PBD所成角的正弦值；（ ）根据 BFAC ，求出向量 的坐标，进而求出平面 FAB和平面 ABP的
13、法向量，代入向量夹角公式，可得二面角 F-AB-P的余弦值 试题解析：方法一：依题意，以点 A为原点建立空间直角坐标系（如图所示 ），可得 B（ 1， 0，0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2） C由 E为棱 PC 的中点，得 E（ 1， 1， 1） （ 1）证明：向量 （ 0， 1， 1）， （ 2， 0， 0）， 故 0， 所以 BEDC. （ 2）向量 （ 1， 2， 0）， （ 1， 0， 2） 设 n（ x， y， z）为平面 PBD的法向量， 则 不妨令 y 1，可得 n（ 2， 1， 1）为平面 PBD的一个法向量于是有 - 10 -
14、， 所以直线 BE 与平面 PBD所成角的正弦值为 . （ 3） 向量 （ 1， 2， 0）， （ 2， 2， 2）， （ 2， 2， 0）， （ 1， 0， 0） 由点 F在棱 PC上，设 ， 01. 故 （ 1 2 ， 2 2 ， 2 ）由 BFAC ，得 0，因此 2（ 1 2 ） 2（ 2 2 ） 0，解得 ，即 .设 n1（ x， y， z）为平面 FAB的法向量， 即 不妨令 z 1，可得 n1（ 0， 3， 1）为平面FAB的一个法向量取平面 ABP的法向量 n2（ 0， 1， 0），则 cos n1， n2 . 易知二面角 F AB P是锐角，所以其余弦值为 . 方法二：（ 1
15、）证明：如 图所示，取 PD 中点 M，连接 EM， AM.由于 E， M分别为 PC， PD 的中点，故 EMDC ，且 EM DC.又由已知，可得 EMAB 且 EM AB，故四边形 ABEM为平行四边形，所以 BEAM. 因为 PA 底面 ABCD，故 PACD ，而 CDDA ，从而 CD 平面 PAD.因为 AM?平面 PAD，所以 CDAM.又 BEAM ，所以 BECD. （ 2）连接 BM，由（ 1）有 CD 平面 PAD，得 CDPD. 而 EMCD ，故 PDEM. 又因为 AD AP， M为 PD的中点，所以 PDAM ，可得 PDBE ，所以 PD 平面 BEM，故 平面 BEM 平面 PBD，所以直线
