1、 知识点知识点 18 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题一、选择题 9（2020 衢州） 二次函数 2 yx的图象平移后经过点(2， 0)， 则下列平移方法正确的是 （ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 答案C 解析由于 A 选项平移后的解析式为 y=(x+2)2-2，当 x=2 时，y=14，所以它不经过（2，0） ； B 选项平移后的解析式为 y=(x+1)2+2，当 x=2 时，
2、y=7，所以它不经过（2，0） ；C 选项平移 后的解析式为 y=(x-1)2-1，当 x=2 时，y=0，所以它经过（2，0） ；D 选项平移后的解析式为 y=(x-2)2+1，当 x=2 时，y=1，它不经过（2，0） ，因此本题选 C. 6（2020 宿迁）将二次函数 y(x1)22 的图像向上平移 3 个单位，得到的图像对应的函 数表达式是（ ） Ay(x2)22 By(x1)22 Cy(x1)21 Dy(x1)25 答案D解析将二次函数 y(x1)22 的图像向上平移 3 个单位，得到的图像对应的函数 表达式是 y(x1)223，即 y(x1)25，故选 D 9.(2020 宁波)如
3、图，二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半 轴交于点 C，它的对称轴为直线 x1.则下列选项中正确的是 Aabc0 Cca0 D当xn22(n为实数)时，yc 答案D 解析本题考查了二次函数的图象和性质.抛物线开口向上，所以 a0， 二次函数图象的对称轴为 x1，所以2 b a1，所以 b2a0， 抛物线与 y 轴正半轴交于点 C，所以 c0，所以 abc0，A 错误；抛物 线与 x 轴有两个不同的交点，b24ac0， 4acb2 x y -4-3-1 3 -2 O 4ac A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案C 解析本题考查二次函数的图象与
4、性质由 b a2 =2 得 4ab0，故正确;由 acb a 2 4 4 3 得 4acb212a，又 4ab，代入消去 b 得 c4a3，故错误; 由图，象得，关于 x 的方 程 ax2bxc2 有两个不相等实数根正确; 由 acb a 2 4 4 3 得 4acb212a，4ac12a b23bb2，a0，b0，c0，4ac2bb2 ，故正确故选 C 7（2020 常德）二次函数 = 2+ + ( 0)的图象如图所示，下列结论： 2 40bac ； 0abc ； 40ab ； 420abc 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 答案 B解析本题考查了二次函数图像与系数的关系.
5、 抛物线与 x 轴有两个交点，方程 2 0axbxc有两个不相等的实数根， 2 40bac，故正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x ， 2 2 b a ，40ab，故正确，由图象知，抛物线开口方向向下， 0a .40ab，0b .抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，0c . 0abc，故正确，由图象知，当2x 时，0y ，420abc ，故错误. 综上所述，正确的结论有 3 个，因此本题选 B 10（2020安徽）如图，ABC和DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条 直线l上，点C，E重合，现将ABC沿直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动，在此过程 中，
6、设点C移动的距离为x， 两个三角形重叠部分的面积为y， 则y随x变化的函数图象大致为 （ ） A . B. C. D. 答案A l D F A C(E)B x y 42 3 O x y 24 3 O x y 3 42Ox y 24 3 O 解析如图1，当AC与DE有交点G时，则CEx，易知CEG是等边三角形，ySCEG 1 2 x 3 2 x 3 4 x2(0 x2)，该抛物线开口向上，对称轴为y轴；如图2，当AB与DF有交点 H时，则BFCE2(CEEF)CE2EF4x，易知BFH是等边三角形，ySBFH 1 2 (4x) 3 4 2 x 3 4 (4x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特
7、殊地，当x2时，y 3，此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A符合. 图1图2 6 6（2020哈尔滨）将抛物线 2 xy 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所 得到的抛物线为（ ） A A53 2 xy B B53 2 xy C C 35 2 xy D D35 2 xy 答案D解析本题考查了二次函数的图象与几何变换， 要求熟练掌握平移的规律： 左加右减， 上加下减，将抛物线 2 xy 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线 的解析式为 35 2 xy ，因此本题选D 9(2020绥化)将抛物线y2(x3) 22 向左平移 3 个单位长度，再向下平
8、移 2 个单位长 度，得到抛物线的解析式是( ) Ay2(x6) 2 By2(x6)24 Cy2x2 Dy2x24 答案C解析原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的 解析式是 y2x2故选 C 12（2020 枣庄）如图，已知抛物线 yax2bxc 的对称轴为直线 x1给出下列结论： ac0；b24ac0；2ab0；abc0 其中，正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案C解析根据抛物线与系数 a，b，c 的关系特征判断各结论正确与否 抛物线开口向下，a0，抛物线交于 y 轴的正半轴，c0，ac0，故正确； 抛物线与 x 轴有两个交
9、点，b24ac0，故正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 1 2 b a ，b2a，2a+b0，故错误； 抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称， 则点 （3， 0） 关于直线 x1 的对称点为 （1， 0） ， G A B C D EF FE D C B A H O 1 y x 3 即抛物线又经过点（1，0），即 x1 时，yabc0，故正确 综上可知，正确的结论有，共 3 个 10 （2020 陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2(m1)xm3 沿 y 轴向下平移 3 个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案D解析平移后的抛
10、物线的表达式为 yx2(m1)xm3，通过配方求出该抛物线 的顶点坐标为 2 341, 24 mm ，由于 m1，所以 1 2 m 0， 23 1 2 x xx 0，所以平移 后的抛物线的顶点一点在第四象限 10 （2020 贵阳） （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，0）与（1，0）两点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 3则关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，这两个整数根是（ ） A2 或 0 B4 或 2 C5 或 3 D6 或 4 答案 B解析解：二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，
11、0）与（1，0）两点， 当 y0 时， 0ax2+bx+c 的两个根为3 和 1， 函数 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x1， 又关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 3 方程 ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根为5，函数 yax2+bx+c 的图象开口向上， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，这两个整数根是4 或 2， 故选：B 10 (2020自贡)函数y= 与yax 2+bx+c的图象如图所示， 则函数ykxb的大致图象为 （ ） ABCD 答案 D 解析本题考查了反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等
12、知识，根据反比例函 数的图象位于一、三象限知 k0， 根据二次函数的图象确知 a0，b0，函数 ykxb 的大致图象经过一、二、三象限， 因此本题选 D 9 （2020泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数 yax 2bxb（a0）与一次函数 y axb 的图象可能是（ ） A B C D 答案 C 解析本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项 A 中 y=ax2+bx+c 的图像可知 a0、 b0，y=ax+b 的图像可知 a0、b0，则选项 A 不正确；选项 B 中 y=ax2+bx+c 的图像可知 a 0、b0，y=ax+b 的图像可知 a0、b0，则选项 B 不正确；选项 C 中
13、y=ax2+bx+c 的图像 可知 a0、b0，y=ax+b 的图像可知 a0、b0，则选项 C 正确；选项 D 中 y=ax2+bx+c 的 图像可知 a0、b0，y=ax+b 的图像可知 a0、b=0，则选项 D 不正确； ，因此本题选 C （2020四川甘孜州）10如图，二次函数 ya(x1) 2k 的图象与 x 轴交于 A (3，0)， B 两点，下列说法错误的是( ) Aa0 B图象的对称轴为直线 x1 C点 B 的坐标为(1，0) D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 答案D 解析本题考查了二次函数的图象与系数 a、b、c 的关系抛物线开口向下，a0，故 A 正确；二次函数 y
14、a(x1) 2k 的顶点坐标为(1，k) ，图象的对称轴为直线 x1， 故 B 正确；由抛物线的对称性，得 B(2， 0) ，故 C 正确；由图象得，当 x1 时，y 随 x 的 增大而增大，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故 D 错；综上此题选 D 10 （2020福建）10.已知 111 ,P x y， 222 ,P xy是抛物线 2 2yaxax上的点，下列命题正 确的是（ ） A.若 12 |1| |1|xx，则 12 yy B.若 12 |1| |1|xx，则 12 yy C.若 12 |1| |1|xx，则 12 yy D.若 12 yy，则 12 xx 答案C 解析本题考
15、查了二次函数的图象和性质， 2 2yaxax=a（x-1）2-a，抛物线的对称轴为 x=1，根据二次函数的对称性知若 12 |1| |1|xx，则 12 yy，因此本题选 C 10（2020 襄阳）二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，下列结论：ac0；3ac 0；4acb20；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 答案B 解析（1）由抛物线开口向上且与 y 轴的负半轴相交，得 a0，c0，从而 ac0，于是 正确； （2）由抛物线的对称轴为 x1，得 2 b a 1，于是 b2a由抛物线过点(1，0)， 得 abc0，于是 a
16、(2a)c0，即 3ac0，从而正确； （3）由抛物线与 x 轴有 两个不同的交点，得 b24ac0，从而 4acb20，于是正确； （4）由图可知，当1x 1 时，y 随着 x 的增大而减小，当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大，于是错误综上，结 论正确的有 3 个，故选 B (2020南充）10.关于二次函数)0(54 2 aaxaxy 的三个结论：对任意实数 m，都有 mx 2 1 与mx 2 2 对应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 1 3 4 a 或 3 4 1 a ；若抛物线与 x 轴交于不同两点 A,B，且 AB6，则 4 5 a 或 1a . 其
17、中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 答案D 解析二次函数yax 24ax5 的对称轴为直线 x 4 2 2 a a ， x12+m与x22m关 于直线x2 对称，对任意实数m，都有x12+m与x22m对应的函数值相等，所以 正确； 因为二次函数在3x4上y随x的增大而增大， 或增大而减小， 而且x=3时y=-3a-5， x=4 时 y=-5,所以 y 要有 4 个整式值， 则-9-3a-5-8,或-2-3a-5-1， 所以 1 3 4 a 或 3 4 1 a ， 故正确；因为 AB 6，则 21 2 12 2 1212 4)()x-(x|x-x|xxxx = 2 ( 5)20 441
18、66 aa ，则 4 5 a 或 1a .所以正确.故选 D. 10 （2020齐齐哈尔）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（4，0） ，其对称轴 为直线 xl，结合图象给出下列结论： ac0； 4a2b+c0； 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 其中正确的结论有（ ） 第 10 题图 1-1 O y x A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 C 解析根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与 x 轴 y 轴的交点，综合判断 即可抛物线开口向上，因此 a0，与 y 轴交于负半轴，
19、因此 c0，故 ac0，所以正 确； 抛物线对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（4，0） ，则另一个交点为（2，0） ，于是有 4a2b+c0，所以不正确； x1 时，y 随 x 的增大而增大，所以正确； 抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的 实数根，所以正确； 综上所述，正确的结论有：， 故选：C （2020德州）11.二次函数 2 yaxbxc的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 A. 若（-2，y1）,（5，y2）是图象上两点，则 y1y2 B. 30ac C. 方程 2 2axbxc 有两个不相等的实数根 D. 当0 x
20、时，y 随 x 的增大而减小 答案D 解析抛物线 2 yaxbxc的对称轴是 x=1，所以 x=-2 与 x=4 时的函数值相等，所以若 （-2，y1）,（5，y2）是图象上两点，则 y1y2本选项正确； 对称轴x1，b2a. 由函数的图象知：当x1 时，y=0；即ab+c=0， a+2a+c=0，即 3a+c=0，故本选项正确； 抛物线 2 yaxbxc与直线 y=-2 有两个不同的交点，所以 方程 2 2axbxc 有两个不 相等的实数根，故本选项正确； 抛物线在对称轴x1 的左侧或左侧，y 随着 x 的增大而增大（或减小） ，故本选项错误. 8 （2020 岳阳）对于一个函数，自变量x取
21、c时，函数值y等于 0，则称c为这个函数的零 点. 若关于x的二次函数010 2 mmxxy有两个不相等的零点 212 , 1 xxxx， 关于x的 方程0210 2 mxx有两个不相等的非零实数根 434 , 3 xxxx，则下列关系式一定正确的 是（ ） A 1 3 1 0 x x B1 3 1 x x C1 4 2 0 x x D1 4 2 x x 答案A 解析关于x的方程0210 2 mxx可变形为0210 2 mxx，关于x的 方程0210 2 mxx有两个不相等的非零实数根 4343, xxxx，二次函数 0210 2 mmxxy有 两 个 不 相 等 的 零 点 4343, xx
22、xx， 二 次 函 数 0210 2 mmxxy的图象由010 2 mmxxy的图象向上平移两个单位 而得对称轴都为直线5 2 10 2 a b x，画出草图，由图可知：0 13 xx，两 边都除以 3 x得，10 3 1 x x ，故选 A 8.（2020湖北孝感）将抛物线C1：y=x2-2x+3 向左平移 1 个单位长度，得到抛物线C2，抛 物线C2与抛物线C3关于 x 轴对称，则抛物线C3的解析式为( ) A.y=-x2-2 B.y=-x2+2 C.y=x2-2 D.y=x2+2 答案A 解析利用平移得性质 “上加下减， 左加右减” 得抛物线C2得解析式： y=(x + 1)2-2(x+
23、1)+3， 整理得 y=x2+2， 再利用关于 x 轴对称的性质 “横坐标不变， 纵坐标互为相反数” 得： y=-x2-2. 故选 A. 9.（2020达州）如图，直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 交于 A、B 两点，则 y= ax2+（b-k） x+c 的图象可能是（ ） 答案B 解析由直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 的图象可知 k0，a0，b0，c0， b24ac0， 所以 bk0， （b-k）24ac= b22bkk24ac0，即 y= ax2+（b-k）x+c 的图象开口向下， 对称轴在 y 轴的左侧且与 x 轴有两个交点 8（2020菏泽）一次函
24、数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一平面直角坐标系中 的图象可能是（ ） 答案B 解析根据一次函数与二次函数系数的取值范围与函数图象的位置关系分类讨论求解 A、二次函数 yax2bxc 的图象开口向上，对称轴在 y轴右侧，a0，b0，一次 函数 yaxb 的图象应过第一、三、四象限，故 A错误； B、抛物线开口向上，对称轴在 y 轴左侧，a0，b0，直线应过第一、二、三象限， 故 B正确； C、抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，a0，b0，直线应过第一、二、四象限， 故 C 错误； D、抛物线开口向下，对称轴在 y轴左侧，a0，b0，直线应过第二、三、四象限， 故 D 错误 1
25、0(2020荆门)若抛物线 yax2bxc(a0)经过第四象限的点(1，1)，则关于 x 的方 O x y A O x y B O x y C O x y D 程 ax2bxc0 的根的情况是( ) A有两个大于 1 的不相等实数根 B有两个小于 1 的不相等实数根 C有一个大于 1 另一个小于 1 的实数根 D没有实数根 答案C 解析依题意得 abc1 c(1ab) 原方程的判别式b24acb24a(1 ab)b24a4a24ab(2ab)24a0，原方程有两个不相等的实数根设两根分 别为 x1，x2，则 x1x2 b a ，x1x2 c a ，(x11)(x21)x1x2(x1x2)1 c
26、 a b a 1 1 a (abc) 1 a 0 x11 与 x21 异号，这说明 x1，x2中一个大于 1，另一个小于 1故 选 C 10 （2020随州）如图所示，已知二次函数c+bx+ax=y 2 的图象与 x 轴交于 A（-1，0） ， B（3，0）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，则下列结论：2a+b=0；2c3b； 当ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个；当BCD 是直角三角形时， 2 2 a.其中正 确的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案B 解析本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如 下： 二次函
27、数c+bx+ax=y 2 的图象与 x 轴交于 A（-1，0） ，B（3，0）两点， 对称轴为1 2 31 2 a b x，2a+b=0，故正确； 2a+b=0，ba 2 1 . 二次函数c+bx+ax=y 2 的图象经过点 A（-1，0） ，a-b+c=0. 0 2 1 cbb，3b=2c，故错误； AC 不可能等于 BC，当ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个.故正确； BCD 是直角三角形时，BCD 和BDC 都可能是直角，a 的取值应该有两个，故错误. 综上所述，正确.因此本题选 B 17 （2020 镇江）点 (,) 在以 轴为对称轴的二次函数 = 2+ + 4 的图像上， 则
28、 的最大值等于( ) A15 4 B4 C 15 4 D 17 4 答案C 解析抛物线的对称轴为 y 轴，a0，将 P(m,n)代入 yx24 中，则 nm24，mn m2m4， 2 4 4 acb a 161 4 15 4 7（2020天水）若函数 yax 2bxc（a0）的图象如图所示，则函数 yaxb 和 y c x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） 答案B 解析由二次函数的图象确定 a、b、c 的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置因 为抛物线开口向上，说明 a0；又抛物线与 y 轴交点位于 x 轴上方知 c0；再根据对称轴 x b 2a0，得到 b0；从而确定直线 yax
29、b 经过第一、三、四象限，双曲线 y c x位于第 一、三象限，因此本题选 B 11（2020深圳）二次函数 yax 2bxc(a0)的顶点坐标为(1，n)，其部分图象如图 所示，以下结论错误错误 的是（ ） Aabc0 B4acb 20 C3ac0 D关于 x 的方程 ax 2bxcn1 无实数根 答案C 解析根据抛物线开口向下，得到 a0，对称轴为直线 x b 2a1，知 b2a0，抛物线 与 y 轴交于正半轴，c0，abc0，故选项 A 正确；根据抛物线与 x 轴有两个交点，b 2 4ac0，即 4acb 20，故选项 B 正确；当 x1 时，yabc0，又b2a，3a c0，选项 C
30、错误；抛物线开口向下，顶点为（1，n） ，函数有最大值 n，即抛物线 yax 2bxc 与直线 yn1 无交点，一元二次方程 ax2bxcn1 无实数根，选项 D 正 确；而要选择结论错误错误 的，因此本题选 C 9 （2020 鄂州）如图，抛物线 2 (0)yaxbxc a与x轴交于点( 1,0)A 和B，与y轴交于 点C下列结论：0abc；20ab；420abc ；30ac ，其中正确的结论 个数为（ ） A1 个 B2 个 C3个 D4个 答案B 解析此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键由抛物线的开口方向判 断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与 0 的
31、关系，进而判断；根据对称轴0， 对称轴y轴右边， y x -1O-3-2 0 2 b a ，即 b0 ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， 0c ， 0abc ，故错误； 对称轴在 1左侧，1 2 b a -b0，故错误； 当 x-2 时，y4a-2bc0，故正确； 当 x-1 时，抛物线过 x轴，即 a-bc0， bac， 又 2ab0， 2aac0，即 3ac0，故正确； 故答案选：B 10 （2020湘西州）已知二次函数 yax2+bx+c 图象的对称轴为 x1，其图象如图所示， 现有下列结论：abc0，b2a0，ab+c0，a+bn（an+b） ， （n1） ，2c 3b正确的是 （
32、） （第 10 题图） A B C D 答案D 解析本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 二次函数 yax2+bx+c 系数符号由抛 物线开口方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定由图象可 知：a0，b0，c0，abc0，故此选项错误；当 x2 时，y4a2b+c0，即 b 2a 2 c 0，故此选项错误；当 x=-1 时，y=a-b+c0，故此选项错误；当 x1 时， y 的值最大此时，ya+b+c，而当 xn 时，yan2+bn+c，所以 a+b+can2+bn+c，故 a+b an2+bn，即 a+bn（an+b） ，故此选项正确当 x3 时函数值小
33、于 0，y9a+3b+c0， 且 x 2 b a 1，即 a 2 b ，代入得 9（ 2 b ）+3b+c0，得 2c3b，故此选项正确；故 正确因此本题选 D 10.（2020株洲）二次函数 2 yaxbxc，若0ab， 2 0ab，点 11 ,A x y ， 22 ,B xy 在 该二次函数的图象上，其中 12 xx ， 12 0 xx ，则（ ） A. 12 yy B. 12 yy C. 12 yy D. 1 y、 2 y的大小无法 确定 答案B 解析 首先分析出 a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示 y1,y2，再作差法比较 y1,y2的大小. 2 0ab，b20, a0. 又
34、0ab， b0 12 xx ， 12 0 xx ， 21 xx ,x10. y1y2. 故选：B. 12 （2020 天津）已知抛物线（是常数，）经过点，其 对称轴是直线有下列结论： ； 关于 x 的方程有两个不等的实数根； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案C 解析本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下 2 yaxbxc , ,a b c0,1ac2,0 1 2 x 0abc 2 axbxca 1 2 a 开口
35、；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ， 对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置： 抛物线与 y 轴交于 （0， c） ； 抛物线与 x 轴交点个数由决定： =b2-4ac0 时， 抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b2-4ac0 时，抛 物线与 x 轴没有交点根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据 图象确定答案即可判断根据根的判别式，即可判断；根据以及 c=-2a，即 可
36、判断抛物线经过点，对称轴是直线， 抛物线经过点，b=-a 当 x= -1 时，0=a-b+c，c=-2a;当 x=2 时，0=4a+2b+c， a+b=0，ab1， ，正确 故选：C. 10(2020成都)关于二次函数 yx2+2x8，下列说法正确的是（ ） A图象的对称轴在 y 轴的右侧 B图象与 y 轴的交点坐标为（0，8） C图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） Dy 的最小值为9 答案D解析根据题目中的函数解析式和二次函数的性质， 可以判断各个选项中的结论是否 正确，从而可以解答本题 解：二次函数 yx2+2x8（x+1）29（x+4） （x2） ， 该函数的对称轴是直线
37、x1，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误； 当 x0 时，y8，即该函数与 y 轴交于点（0，8） ，故选项 B 错误； 当 y0 时，x2 或 x4，即图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） ，故选项 C 错误；当 x1 时，该函数取得最小值 y9，故选项 D 正确；故选：D 15（2020 河北）如图9，现要在抛物线y=x（4-x）上找点P（a,b）.针对b的不同取值，所找 点P的个数，三人的说法如下， 甲:若b=5，则点P的个数为0； 乙:若b=4，则点P的个数为1； 丙:若b=3，则点P的个数为1. 下列判断正确的是 A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，
38、 丙对 2 40bac1c 2 yaxbxc 2,0 1 2 x ( 1,0) 22222 4=4 ( 2 )890bac aaaaaa0a 2 axbxca 1c 1 2 a 答案C 解析y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P的纵坐标的最 大值为4.当b=5时，点P的个数为0；当b=4时，点P的个数为1；当b=3时，点P的个数为2.故 甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C. 7 （2020 广东）把函数() 2 12yx=-+的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解 析式为（ ） A 2 2yx=+ B() 2 11yx=-+ C(
39、) 2 22yx=-+ D() 2 13yx=-+ 答案C解析本题考查了二次函数图象的平移，由条件得原函数的顶点为（1，2） ，向右平 移 1 个单位后变成（2，2） ，所以新函数为 () 2 22yx=-+ ，也可用规律“左加右减”得 () 2 22yx=-+ ，因此本题选 C 10 （2020 广东） 如题 10 图， 抛物线 2 yaxbxc=+的对称轴是 x1.下列结论： 0abc； 2 40bac-；80ac+，正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 答案B解析本题考查了二次函数的系数与图象的关系、抛物线 与一元二次方程的关系，首先通过图象，可得 0a ，再通 过对称
40、轴 1x= ， 可得 0 2 b a - 和 1 2 b a -= ， 所以 0b 和 2ba= - ， 所以： （1） 0abc ，因此正确； （3） 将 2ba= - 代入原抛物线解析式， 得： 2 2yaxaxc=-+ ， 由图象可知， 当 4x= 时， 0y ， 因此16 80aac-+ ，即8 0ac+ ，所以有： 0abc-+ 和4 20abc+ ，两式相 x y 图9 O x y 题题10图图 211234 O 加得：5 20abc+ ，故正确 综上所述，共有 3 个正确结论，因此本题选 B 12.（2020 牡丹江）如图是二次函数 yax2+bx+c(a0)图象的一部分，对称轴
41、为 x 2 1 ，且经 过点（2，0). 下列说法：abc0； -2b+c0；4a+2b+c0； 若 1 5 () 2 y ， ， 2 5 () 2 y， 是抛物线上的两点，则 y1y2； 4 1 bm(am+b) (其中 m 2 1 ). 其中 说法正确的是（ ） A. B. C. D. 答案A 解析根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称轴得 ba0，根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得到 c0，则 abc0，于是可对进行判断；根据对称轴和一个与 x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出 c2a，则得到2b+c0，于 是可对进行判断；由于经过点（2，0），则得到
42、4a+2b+c0，则可对进行判断；通过 点（ 2 5 ，y1）和点（ 2 5 ，y2）离对称轴的远近对进行判断；根据抛物线的对称轴为直 线 x 2 1 ，开口向下，得到当 x 2 1 时，y 有最大值，所以 4 1 a+ 2 1 bm（am+b）（其中 m 2 1 ），由 ab 代入则可对进行判断具体判断过程如下： 抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线 x a b 2 2 1 ，ba0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，abc0，所以正确； 对称轴为 x 2 1 ，且经过点（2，0），抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0）， a c 1 22，c2a，2b+c2a2a0，所以
43、正确； 抛物线经过点（2，0）x2 时，y0，4a+2b+c0，所以错误； 点（ 2 5 ，y1）离对称轴要比点（ 2 5 ，y2）离对称轴要远，y1y2，所以正确 抛物线的对称轴为直线 x 2 1 ，当 x 2 1 时，y 有最大值， 4 1 a+ 2 1 b+cam2+bm+c（其中 m 2 1 ）， 4 1 a+ 2 1 bm（am+b）（其中 m 2 1 ）， ab， 4 1 b+ 2 1 bm（am+b）， 4 1 bm（am+b），所以正确； 故选 A. （第 12 题图） x= 2 O y x 7（2020 咸宁）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函
44、 数的图象中不存在 “好点”的是（ ） A. yx B. 2yx C. 2 y x D. 2 2yxx 答案B解析本题考查了函数图像上的点的坐标，根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上 的点， 令各函数中y=x， A、 x=-x， 解得： x=0， 即“好点”为 （0， 0） ， 故选项不符合； B、2xx， 无解， 即该函数图像中不存在“好点”， 故选项符合； C、 2 x x ， 解得： 2x ， 经检验 2x 是原方程的解，即“好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合； D、 2 2xxx，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；，因此本 题选B 1
45、2 （2020 凉山州）二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，有如下结论：abc0；2a b0；3b2c0；am2bmab（m 为实数） 其中正确的结论个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案D解析（1）由图可知抛物线开口向上，与 y 轴交于负半轴，对称轴为直线 x1，a 0，b0，c0，abc0，从而正确； （2） 1 2 b a ，b2a2ab0，从而 正确； （3）b2a，3b2c2a2b2c2(abc)而由图象可知，当 x 1 时，y0，从而 abc0，于是2(abc)0，从而 3b2c0故正确； （4）由图 可知，当 x1，yminabc，当 xm 时，am2b
46、mcabc，即 am2bmab （m 为实数） ，从而正确故选 D 10（2020 抚顺本溪辽阳）如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，ACBC2 2，CDAB 于点 D点 P 从点 A 出发，沿ADC的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PEAC 于点 E，作 PFBC 于点 F设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） AB C E D P F 第 12 题图 321-1 O x=1 y x A. B. C. D. 答案A解析根据三个角是直角，得出四边形 CEPF 为矩形，再结合 APE 是等腰直角三 角形，用含
47、 x 的代数式表示矩形的边 PE 与 EC 的长，求出矩形 CEPF 的面积，再利用二次 函数图像性质即可求解 Rt ABC 中，ACB90 ，ACBC2 2，则 ADDC 2PEAC， PFBC，ACBPECPFC90 ，四边形 CEPF 为矩形当 点 P 在 AD 上时，即 0 x2，在等腰直角 APE 中，AEPE 2 2 x ，ECACAE 2 2 2 2 x ，矩形 CEPF 的面积 yPE EC 2 2 x (2 2 2 2 x ) 1 2x22x；如 图，当点 P 在 CD 上时，即 2x4，由题意可知四边形 CEPF 为正方形，此时 CP4x， 四边形形 CEPF 的面积 y 1 2CP2 1 2 (4x)2结合所求的函数关系式，及二次函数图 像性质，可知选项 A 正确故选择 A 10.（2020安顺安顺）已知二次函数 2 yaxbxc的图象经过( 3,0)与(1,0)两点，关于x的方程 2 0axbxcm (0)m 有两个根，其中一个根是 3.则关于x的方程 2 0axbxcn (0)nm有两个整数根，这两个整数根是（ ） A.2或 0 B.4或 2 C.5或 3 D.6或 4 答案B解析 二次函数 2 yaxbxc的图象经过( 3,0)与(1,0)两点，抛物线的对称
