1、 - 1 - 辽宁省沈阳市 2017-2018 学年高二上学期期末考试 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 iiz ? 1 ，则 ?z （ ） A i?1 B i?1 C i?1 D i?1 2.抛物线 ayx ?2 的准线方程为 1?y ，则 a 的值为（ ） A 21? B 2? C 41? D 4? 3.已知命题 01,: 2 ? xxRxp ，命题 :q 若 22 ba? ，则 ba? 下列命题为真命题的是（ ）
2、 A qp? B qp ? C qp? D qp ? 4.过点 ? ?03， 的直线与双曲线 14 22 ?yx 有唯一公共点，这样的直线有（ ） A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 5.九章算术有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙 ，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺以后每天减半 .”假设墙厚 16 尺，现用程序框图描述该问题，则输出 ?n （ ） - 2 - A 2 B 4 C.6 D 8 6.以下四个命题，其中正确的是 ( ) A.由独立性检
3、验可知，有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀； B.两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于 0； C.在线性回归方程 122.0 ? xy 中，当变量 x 每增加一十单位时，变量 ?y 平均增加 0.2 个单位； D.线性回归方程对应的直线 ? ? axby 至少经过其样本数据点中的一个点 . 7.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示 . 21,xx 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数， 2221,ss 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ） A 222121 ssxx ? ， B
4、 222121 ssxx ? ， C. 222121 ssxx ? ， D 222121 ssxx ? ， 8.过点 ? ?22?， 且与双曲线 12 22 ?yx 有共同渐 近线的双曲线方程是（ ） A 142 22 ?xy B 124 22 ?yx C. 124 22 ?xy D 142 22 ?yx 9.椭圆 1916 22 ?yx 中，以点 ? ?2,1?M 为中点的弦所在的直线斜率为（） A 169 B 329 C 649 D 329? ? 10已知 FE, 分别是双曲线的左、右焦点，点 2F 关于渐近线的对称点 P 恰好落在以 1F 为圆心、 1OF 为半径的圆上 ,则双曲线的离心
5、率为（） - 3 - A 3 B 3 C. 2 D 2 11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 134 22 ?yx 的 中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意点，则FPOP? 的最大值为 ( ) A 2 B 3 C.6 D 8 12. 如图所示，过抛物线 ? ?022 ? ppxy 的焦点 F 的直线 l ，交抛物线于点 BA, 交其准线l 于点 C ，若 BFBC 2? ,且 3?AF ，则此抛物线的方程为（ ） A xy 92? B xy 62? C. xy 32? D xy 32? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13双曲线 194
6、22 ?yx 的焦距为 _ 14.有一个游戏，将标有数字 l， 2， 3， 4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这 4 个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有 l 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有 3 的卡片 .结果显示：这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 _ 15.已知点 P 为抛物线 xyC 42 ?： 上一点，记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 1d ，点 P 到圆- 4 - ? ? ? ? 442 42 ? yx 上点的距离为 2d ，则
7、1d 2d? 的最小值为 16.下列说法中 命题“己知 Ryx ?, ，若 3?yx ，则 2?x 或 1?y ”是真命题； 命题“若 p ,则 q ”的否命题为“若 q ，则 p ”； 若 ba? ，则 baq 11: ? ； 命题“ 1, 200 ? xRx ”的否定为“ 1, 2 ? xRx ” . 正确说法的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知命题 :A 方程 115 22 ? txty 表示焦点在 y 轴 上的椭圆；命题 B ：实数 t 使得 不等式0432 ? tt 成立 . （ 1）若命题 A 中的椭
8、圆的离心率为 36 ，求实数 t 的值； （ 2）命题 A 是命题 B 的什么条件 . 18.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示 . 组号 分组 频数 频率 1 ? ?8075， 5 0.05 2 ? ?8580， 35 0.35 3 ? ?9085， a b 4 ? ?9590， C d 5 ? ?10095， 10 0.1 (1)求 dcba , 的值 (2)该校决定在成绩较好的 3、 4、 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？ - 5 - (3)在 (2)的前提下，从抽到 6 名学生中再
9、随机抽取 2 名被甲考官面试，求这 2 名学生来自同一组的概率 . 19.己知关于 x 的一次函数 nmxy ? (1)设集合 ? ?3,2,1,1,2 ?P 和 ? ?3,2?Q 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 m 和 n ，求函数 nmxy ? 是增函数的概率； (2)实数 nm, 满足条件?111101nmnm 求函数nmxy ? 的图象经过一、二、三象限的概率 . 20.己知抛物线 yxC 4: 2 ? 的焦点为 F ，准线与 y 轴的交点为 Q ，过点 Q 的直线 l ，抛物线 C相交于不同的 BA, 两点 . (1)若 154?AB ，求直线 l 的方程； (2)若点
10、F 在以 AB 为直径的圆外部，求直线 l 的斜率的取值范围 . 21.已知 21,FF 分别是椭圆 ? ?01:2222 ? babyaxE 的左、右焦点，离心率为 21 ， NM, 分别是椭圆的上、下顶点， 222 ?NFMF . (1)求 椭圆 E 的方程； (2)若直线 mkxy ? 与椭圆 E 交于相异两点 BA, ，且满足直线 MBMA, 的斜率之积为 41 ，证明：直线 AB 恒过定点，并采定点的坐标 . 22.在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为?tytx225223（ t 为参数），在极坐标系 (与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点， x
11、轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 ? sin52? （ 1）求圆 C 的直角坐标方程： （ 2）设圆 C 与直线 l 交于点 BA, ，若点 P 的坐标为 ? ?53， ，求 PBPA? . - 6 - 试卷 答案 一、选择题 1-5:ADBBD 6-10: CDABC 11、 12： CC 二、填空题 13 132 14 4,2,1,3 15 3 16 三、解答题 17.解 ：（ 1） 由已知得 ： ， 解得 ： 31 ?t 椭圆离心率 ，解得： 2?t . (2)命题 A 成立的条件为 31 ?t ， 命题 B 成立的条件为 41 ? t ， 由此可得命题 A 是命题 B 的充分不必
12、要条件 . 18.解： （ 1）由题意得 3.0506.0 ?b ， 303.0100 ?a ， 2.01.03.035.005.01 ?d ， 202.0100 ?c . （ 2） 三个组共有 60 人，所以第三组应抽 人，第四组应抽 人， 第五组应抽 人 . （ 3）记第三组抽出的 3 人分别为 321 , aaa ，第四组抽出的 2 人分别为 21,bb ，第五组抽出的1 人为 c ，从这 6 人中随机抽取 2 人，基本事件包含),( 21 aa ),( 31 aa ),( 11ba ),( 21ba ),(1ca ),( 32 aa ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 2c
13、a ),( 13 ba ),( 23 ba),( 3ca ),( 21bb ),(1cb ),(2cb ，共 15 个基本事件 . - 7 - 其中 2 人来自同一组的情况有 ),( 21 aa ),( 31 aa ),( 32 aa ),( 21bb ，共 4 种 . 所以， 2 人来自同一组的概率为 . 19.（ 1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间 ? ?)3,3(),2,3(),3,2(),2,2(,31),2,1(),3,1(),2,1(),3,2(),2,2( ? ），（，共 10 个基本事件 . 设“使函数 y mx n?是增函数”为事件 A ，则 ? ?)3,3(),2,3(
14、),3,2(),2,2(,31),2,1( ? ），（A ，共 6 个基本事件 . 所以 . (2)不等式组 表示的区域如图所示， 使函数图像经过第一、二、三象限的 m， n 的取值区域为第一象限的阴影部分， 所以所求事件的概率为 . 20.解：（ 1）由题可知 )1,0( ?Q 且直线 l 斜率存在 ， 所以可设直线 l ： 1?kxy ， 由 得： 0442 ? kxx ， 令 01616 2 ? k ， 解得 ： ， 即 ),1()1,( ? ?k 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 则有 44 2121 ? xxkxx ， ， 因为 ，所以 1514 ?k ， 解得
15、 ),1()1,(2 ? ?k ， 所以，直线 l 的方程为 ： 12 ? xy - 8 - （ 2）设 直线 l ： 1?kxy ， ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 由（ 1）知： ),1()1,( ? ?k ， 44 2121 ? xxkxx ， ， 因为点 )1,0(F 在以 AB 为直径的圆外部，所以有 0?FBFA ， 又 ， ， 所以 0484)(2)1( 221212 ? kxxkxxk 解得： 22?k ，即 21 2 ?k 所以，直线 l 的斜率的取值范围是 )2,1()1,2( ? . 21.（ 1）解：由题知 )0,(2 cF ， ),0( bM ，
16、),0( bN ? ， ， ),(2 bcNF ? . 由 ，得 ca 2? 又 222 cba ? 由联立解得： 34 22 ? ba ， 椭圆 E 的方程为 . （ 2） 证明：由椭圆 E 的方程得，上顶点 )3,0(M ， 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，由题意知， 00 21 ? xx ， 由 得： 0)3(48)43( 222 ? mk m xxk ， 又 ， ， 由 ， 得 2121 )3)(3(4 xxmkxmkx ? ， 即： 0)3(4)(3(4)14( 221212 ? mxxmkxxk ， - 9 - 0)43()3(4)8)(3(4)14)(3(4 2222 ? kmkmmkkm ， 化简得： 06332 ? mm 解得： 323 ? mm 或 ，结合 00 21 ? xx ， 知 32?m ， 即直线 AB 恒过定点 )32,0( . 22.解： （ 1） 由 ? sin52? 得 05222 ? yyx ， 即 . （ 2） 将 直 线 l 的 参 数 方 程 代 入 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 ， 得， 即 04232 ? tt 由于 024423( 2 ? ） ，故可设 21,tt 是上述方程的两实根， 所以 ， 又直线 l 过点 )5,3(P ， 故由上式及 t 的几何意义得：.
