1、 1 2016-2017 学年度第一学期期末考试 高二 数学 (理 ) 考试时间： 120分钟；总分 150分 第 I卷（选择题 60分） 一、 单项选择题（ 60分，每小题 5 分） 1、 等比数列 an中， a2 4， a6和 a2的等比中项等于 6 ，则 a6 ( ) A 9 B 9 C 8 D 8 2、 抛物线 24xy? 的焦点坐标为（ ） A. )0,81( B. )81,0( C. )0,161( D. )161,0( 3、 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面对几何学提出了新的需要。当时德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道是（ ） A抛物线 B双曲
2、线 C椭圆 D圆 4、已知椭圆 12222 ?byax （ ab0）的右焦点为 F（ 3,0），点（ 0， 3）在椭圆上，则椭圆的方程为 （ ） A、 13645 22 ? yx B、 12736 22 ? yx C、 11827 22 ? yx D、 1918 22 ? yx 5、 已知 a (2,4,5)， b (3， x， y)，若 ab ，则 ( ) A x 6， y 15 B x 3， y 152 C x 3， y 15 D x 6， y 152 6、 “ 点 M在曲线 124 22 ? yx 上 ” 是 “ 点 M的坐标满足方程 2422 xy ? ” 的 ( ) A充分不必要条件
3、 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7、 方程 0)1lg(1 22 ? yxx 所表示的曲线图形是（ ） 2 8、 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB 2BB1，则 AB1与 C1B所成角的 大小为 ( ) A 60 B 90 C 105 D 75 9. 已知椭圆 22154xy?,直线 10mx y m? ? ? ?,那么直线与椭圆位置关系（ ） A. 相离 B.相交 C相切 D不确定 10 已知 F1、 F2为双曲线 C： x2 y2 2的左、右焦点，点 P在 C上， |PF1| 2|PF2|， 则 cos F1PF2 ( ) A 14 B 35 C 34
4、D 45 11 在 ABC中， A 60 ， AB 2，且 ABC的面积为 32 ，则 BC 的长为 ( ) A. 3 B 3 C. 7 D 7 12 已知点 P是双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)右支上一点， F1、 F2分别是双曲线的左、右焦点， M为 PF1F2的内心，若 S IPF1 S MPF2 12S MF1F2成立，则双曲线的离心率为 ( ) A 4 B 52 C 2 D 53 第 II卷（非选择题 90分） 二、 填空题（ 20 分，每小题 5分） 13.已知向量 a ( 2,2， 1)，向量 b (0,3， 4)，则向量 a在向量 b 上的投影是 _ 14.椭圆 5
5、x2 ky2 5的一个焦点是 (0,2)，那么 k _. 15.在抛物线 y2 16x内，通过点 (2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _ 16. 下列命题是 真命题 的有 _ 3 平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆； 如果向量 e1， e2， e3是三个不共线的向量， a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1， 2， 3使得 a 1e1 2e2 3e3 ; 方程 y x与 x y2表示同一曲线； 若命题 p 是命题 q 的充分非必要条件，则 p? 是 q? 的必要非充分条件； 方程 125 22 ? mymx 表示双曲线的充要条件是 52 ?m .
6、三、解答题（ 70 分） 17、 （本小题满分 10分） 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点 ( 2 4)P?， 的抛物线的标准方程 18、 （本小题满分 12分） 在 ABC中， BC a， AC b， a， b是方程 02322 ? xx 的两个根，且? ? 1cos2 ? BA 。求： (1)角 C的度数； (2)AB的长度。 19.（本小题满分 12 分） 如图，设 P 是圆 x2 y2 25 上的动点， 点 D是 P在 x 轴上的投影， M为 PD上一点，且 |MD| 45|PD|. (1)当 P在圆上运动时 ，求点 M的轨迹 C的方程 (2)求过点 (3,0)且斜率为 45
7、的直线被 C所截线段的长度 20.（本小题满分 12分） 如图，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB ， AF1， M是线段 EF的中点 4 （ 1）求证： AM 平面 BDE； （ 2）求二面角 A DF B的大小； 21.（本小题满分 12 分） 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn 2n2 n， n N ，数列 bn满足 an4log2bn 3， n N . (1)求 an， bn； (2)求数列 an bn的前 n项和 Tn. 22.（本小题满分 12分） 已知点 )2,0( ?A ，椭圆 )0(1:2222 ? babyaxE 的离心率为 23 ，
8、F是椭圆 E的右焦点，直线 AF的斜率为 332 ， O是坐标原点 . （ 1） 求 E的方程； （ 2） 设过点 A的直线 l 与 E相交 于 P， Q两点，当 OPQ? 的面积最大时，求直线 l 的方程 . 5 2016-2017学年度第一学期期末考试 高二数学 数学答案 一、 选择题 1.A 2.D 3.C 4.D 5、 D 6 B 7 D 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C 二、 填空题 13、 2 14、 -1 15、 y 8x 15 16 . . 三、简答题 17 抛物线方程为 2 8yx? 或 2xy? 【解析】 设 方程为 2 112 ( 0)y p x p? ?或
9、2 222 ( 0)x p y p? ? ?， 将 ( 2 4)P?， 代入得1214 2pp?， 故所求抛物线方程为 2 8yx? 或 2xy? 18 解：（ 1） ? ? ? ? ? 21c o sc o sc o s ? BABAC ? ?C 120 （ 2）由题设：? ?322baab? 120c o s2c o s2 22222 abbaCBCACBCACAB ? ? ? ? 10232 2222 ? abbaabba 10?AB 19解： 解析 (1)设 M的坐标为 (x， y)， P的坐标为 (xP， yP)， 由已知得? xP x，yP 54y， P在圆上， x2 (54y)2
10、 25，即 C的方程 为 x225y216 1. (2)过点 (3,0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3)， 设直线与 C的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 6 将直线方程 y 45(x 3)代入 C的方程，得 x225x 225 1，即 x2 3x 8 0. x1 3 412 ， x2 3 412 . 线段 AB 的长度为 |AB| x1 x2 2 y1 y2 2 1625 x1 x2 2 412541 415. 20 （ 1）记 AC与 BD 的交点为 O，连接 OE， O、 M分别是 AC、 EF 的中点， ACEF是矩形， 四边形 AOEM是平行四边形，
11、AM OE OE?平面 BDE， AM?平面 BDE， AM 平面 BDE （ 2）在平面 AFD中过 A作 AS DF于 S，连接 BS， AB AF， AB AD， ADAF=A ， AB 平面 ADF， AS是 BS在平面 ADF上的射影， 由三垂线定理得 BS DF BSA是二面角 A DF B的平面角 在 Rt ASB中， AS= = ， AB= ， tan ASB= ， ASB=60 ， 二面角 A DF B的大小为 60 ； 21 解析： (1) 由 Sn 2n2 n，得 当 n 1时， a1 S1 3； 当 n2 时， an Sn Sn 1 4n 1. 所以 an 4n 1，
12、n N . 由 4n 1 an 4log2bn 3，得 bn 2n 1， n N . (2)由 (1)知 anbn (4n 1)2 n 1， n N . 所以 Tn 3 72 112 2 ? (4n 1)2 n 1， 2Tn 32 72 2 ? (4n 5)2 n 1 (4n 1)2 n， 所以 2Tn Tn (4n 1)2n 3 4(2 22 ? 2n 1) (4n 5)2n 5. 故 Tn (4n 5)2n 5， n N 22.（ 1）设 )0,(cF ，由条件知 ,3322?c 得 3?c ，又 23?ac 7 所以 1,2 222 ? caba ，故 E的方程为 14 22 ?yx （
13、 2） 当 xl? 轴时不合题意，故设 ),(),(,2: 2211 yxQyxpkxyl ? 将 2?kxy 代入 14 22 ?yx 得 01216)41( 22 ? kxxk 当 0)34(16 2 ? k ，即 432?k 时， 14 3428222,1 ? ? k kkx从而 14 34141222212 ? ? k kkxxkPQ又点 O到直线 PQ 的距离122 ? kd所以 OPQ? 的面积为 14 3442122? k kdPQS O P Q ，设 )0(34 2 ? ttk 则 142444442 ?ttttSO P Q，当且仅当 tt 4? ，即 2?t 所以有 27?k 时等号成立，且满足 0? ， 所以，当 OPQ? 的面积最大时， l 的方程为 227 ? xy 或 227 ? xy .
