1、 1 定远育才学校 2017-2018 学年第 一 学期 期末考试 高 二数学 (理 )试题 考生注意： 1.本卷分第 I卷和第 II 卷，满分 150分，考试时间 120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。 3.非选择题的作答 :用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 1. 设 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既 不充分条件也不必要条件 2. 点 P（ 1， 2）到直线 8
2、x 6y+15=0的距离为（ ） A. 2 B. 12 C. 1 D. 72 3.若实数 ,xy满足 24,012222 ? xyyxyx 则的取值范围为（ ） A. 34,0 B. ),34 ? C. 34,( ? D. )0,34? 4.若双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的离心率为 3 ，则其渐近线方程为（ ） A 2yx? B 22yx?C 12yx? D 2yx? 5.已知圆 221 : 2 8 8 0C x y x y? ? ? ? ?，圆 222 : 4 4 2 0C x y x y? ? ? ? ? ，圆 1C 与圆 2C的位置关系为（ ） A.外切
3、B.内切 C.相交 D.相离 6.已知圆 22: ( 2) ( 1) 3C x y? ? ? ?，从点 ( 1, 3)P? 发出的光线，经 x 轴反射后恰好经过圆2 心 C ，则入射光线的斜率为（ ） A 43? B 23? C. 43 D 23 7. 已知抛物线 ? ?2 0y ax a?的焦点到准线距离为 1,则 a? （ ） A 4 B 2 C 14 D 12 8.已知双曲线 C： 的焦点到渐近线的距离为 3，则双曲线 C的 短轴长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 ? ? 3232f x ax x? ? ?，若 ? ? 1 4f ?，则 a 的值等于（ ） A. 193
4、B. 163 C. 103 D. 83 10.设椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为 12FF、 ，上顶点为 B .若2 1 2BF FF? =2，则该椭圆的方程为（ ） A. 22143xy?B. 2 2 13x y?C. 2 2 12x y?D. 2 2 14x y?11. 已知命题 :p “ 函数 ? ? 22 3lnf x ax x?在区间 ? ?0,1 上是增函数 ” ；命题 :q “ 存在? ?0 1,x ? ? ，使 ? ?0 021x xa?成立 ” ，若 pq? 为真命题，则 a 的取值范围为（ ） A. 31,42?B. 31,42?C. 3
5、1,42?D. 31,42? ?12. 已知两点 ? ?1,0A? ， ? ?0,1B ，点 P 是椭圆 22116 9xy?上任意一点，则点 P 到直线 AB的距离最大值为（ ） A. 32 B. 42 C. 6 D. 62 第 II卷（非选择题） 二、填空题 13.已知 AB、 是过抛物线 2 2 ( 0)y px p?焦点 F 的直线与抛物线的交点， O 是坐标原3 点，且满足 23,3OABA B F B S A B?，则 AB 的值为 _ 14.已知函数 ? ? 32 2f x ax x bx? ? ? ?中， ,ab为参数，已知曲线 ? ?y f x? 在 ? ?1, 1f 处的切
6、线方程为 61yx?，则 ? ?1f ?_ 15.过点 ? ?23P ?， 且垂直于直线 2 1 0xy? ? ? 的直线方程是 _ 16.已知圆 C 的圆心位于直线 2 2 0xy? ? ? 上，且圆 C 过两点 ? ?3,3M? ， ? ?1, 5N ? ，则圆 C 的标准方程为 _ 三、解答题 17.定圆 ? ?2 2: 3 16M x y? ? ?,动圆 N 过点 ? ?3,0F 且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E . （ 1）求轨迹 E 的方程； （ 2）设点 ,ABC 在 E 上运动 , A 与 B 关于原点对称，且 AC BC? ,当 ABC? 的面积最小时 , 求直线
7、AB 的方程 . 18.已知椭圆 E 的中心在坐标原点，左、右焦点 1F 2、 F 分别在 x 轴上，离心率为 12 ，在其上有一动点 A ， 到点1F距离的最小值是 1.过 1AF、 作一个平行四边形，顶点 A B C D、 、 、都在椭圆 上，如图所示 . （ ）求椭圆E的方程； （ ）判断 ABCD 能否为菱形，并说明理由 . （ ）当ABCD的面积取到最大值时，判断ABCD的形状，并求出其最大值 . 19.已知点 ? ?1,0F ，点 A 是直线 1:1lx? 上的动点，过 A 作直线 2l ， 12ll? ，线段 AF 的垂直平分线与 2l 交于点 P 4 (1)求点 P 的轨迹 C
8、 的方程； (2)若点 ,MN是直线 1l 上两个不同的点，且 PMN? 的内切圆方程为 22=1xy? ，直线 PF 的斜率为 k ，求 kMN 的取值范围 20.已知函数 ? ? 2 lnf x ax bx x x? ? ?在 ? ?1, 1f 处的切线方程为 3 2 0xy? ? ? . （ 1）求实数 ,ab的值； （ 2）设 ? ? 2g x x x?，若 kZ? ，且 ? ? ? ? ? ?2k x f x g x? ? ?对任意的 2x? 恒成立，求 k的最大值 . 21.已知椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左右焦点分别是 ? ? ? ?12,0 ,
9、,0F c F c? ，直线:l x my? 与椭圆 C 交于两点 ,MN，当 33m? 时， M 恰为椭圆 C 的上顶点，此时12MFF? 的面积为 6. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 的左顶点为 A ，直线 ,AMAN 与直线 4x? 分别相交于点 ,PQ，问当 m 变化时，以线段 PQ 为直径的圆被 x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由 . 22. 如图)0,(),0,( 21 cFcF ?为双曲线 E的两焦点，以12FF为直径的圆O与双曲线 E交于 11, , , ,N M N B是圆O与y轴的交点，连接1MM与OB交于 H，且 是OB的
10、中点， 5 （ 1）当1c?时，求双曲线 E的方程； （ 2）试证：对任意的 正实数c，双曲线 的离心率为常数 参考答案 1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A 11.B 12.A 13.92 14.1 15.2 + 1 0xy? 16.? ?2 21 25xy? ? ? 17. （ 1） ? ?3,0F 在圆 ? ?2 2: 3 16M x y? ? ?内 , 所以圆 N 内切于圆 M . 4,N M N F F M? ? ? ?点 N 的轨迹 E 为椭圆， 且 2 4, 3 , 1,a c b? ? ? ? ?轨迹 E 的方程为 2 2 14x y
11、?. （ 2） 当 AB 为长轴（或短轴）时 ，此时 1 22ABCS O C A B? ? ? ? ?. 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 方程为 y kx? , 6 联立方程 2 2 1 4x yy kx?得 ? ?22 22 2 2 22 2 24144,1 4 1 4 1 4A A A Akkx y O A x yk k k? ? ? ? ? ? ? ?. 将上式中的 k 替换为 1k? ,得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 222 2 2 224 1 4 1 4 1 4 1, 2 ?4 1 4 4 1 4 4A B C A O Ck k k
12、kO C S S O A O Ck k k kk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 222 1 4 4 5 1 81 4 4 ,2 2 5ABCk k kk k S ? ? ? ? ?, 当且仅当 221 4 4kk? ? ? , 即 1k? 时等号成立，此时 ABC? 面积最小值是 85 . 82,5 ABC? ? 面积最小值是 85 ,此时直线 AB 的方程为 yx? 或 yx? . 18. （ ）依题，令椭圆 E 的方程为 ? ?22 1, 0xy abab? ? ? ? ? ?2 2 2 0c a b c? ? ?， 所以离心
13、率 12ce a?，即 2ac? . 令点 A 的坐标为 ? ?00,xy ，所以 22001xyab?，焦点 ? ?1 ,0Fc? ，即? ?2 21 0 0AF x c y? ? ?22 22 2 2 2 200 0 0 0 02222bx ccx c x c b x c x a x aa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，（没有此步，不扣分） 因为 ? ?0 ,x a a? ，所以当 0xa? 时， 1 minAF a c?， 由题 1ac?，结合上述可知 2, 1ac?，所以 2 3b? ， 于是椭圆 E 的方程为 22143xy?. （ ）由（ ）知 ? ?1 1,0F
14、? ，如图，直线 AB 不能平行于 x 轴，所以令直线的方程为1x my?， ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y 7 联立方程， 223 4 12 01xyx my? ? ? ? ?， 得 ? ?223 4 6 9 0m y m y? ? ? ?， 所以，1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ymm ? ? ?. 若 ABCD 是菱形，则 OA OB? ，即 0OAOB? ，于是有 1 2 1 2 0x x y y?， 又 ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 1 1 21 1 1x x m y m y m y m y y? ? ? ? ? ? ?，
15、所以有 ? ? ? ?2 1 2 1 21 1 0m y y m y y? ? ? ? ?， 得到 2212 034mm? ?，可见 m 没有实数根，故 ABCD 不能是菱形 . （ ）由题 4ABCD AOBSS? ，而1 1 212AO BS O F y y? ?，又 1 1OF? 即 ? ? 21 1 2 1 2 1 22 2 4A B C DS O F y y y y y y? ? ? ? ?， 由（ ）知1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ymm ? ? ?. 所以， ? ? ? ? ? ? ?22 22222 223 6 3 6 3 4 112 2 4 2 413
16、4 3 4 9 1 61A B C Dmm mSmm m m? ? ? ? ? ? ?， 因为函数 ? ? ? ?19 , 1,f t t tt? ? ? ?，在 1t? 时， ? ?min 10ft ? ， 即 ABCDS 得最大值为 6，此时 2 11m? ，也就是 0m? 时， 这时直线 AB x? 轴，可以判断 ABCD 是矩形 . 19. (1)据题设分析知，点 P 的轨迹 C 是以点 ? ?1,0F 为焦点，直线 1:1lx? 为准线的抛物线，8 所以曲线 C 的 方程为 2 4yx? . (2)设 ? ?00,P x y ，点 ? ?1,Mm? ，点 ? ?1,Nn? ， 直线
17、PM 的方程为 ? ?00 11ymy m xx ? ? ? ， 化简，得 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 01 1 0y m x x y y m m x? ? ? ? ? ? ? ?， 又因为 PMN? 内切圆的方程为 221xy? 所以圆心 ? ?0,0 到直线 PM 的距离为 1，即 ? ? ? ? ?00221 11y m m xy m x? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 220 0 0 0 0 0+ 1 2 1 1y m x y m m y m x m x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由题意，得 0 1x? ，
18、所以 ? ? ? ?20 0 01 2 1 0x m y m x? ? ? ? ?. 同理，有 ? ? ? ?20 0 01 2 1 0x n y n x? ? ? ? ?， 所以 ,mn是关于 t 的方程 ? ? ? ?20 0 01 2 1 0x t y t x? ? ? ? ?的两根， 所以 ? ?000012 ,11xym n m nxx? ? ?因为 所以 ? ? ? ? ? ?22 002 00414=4 11xyM N m n m n m n xx? ? ? ? ? ? ?. 因为 20 0 0 04 , 2y x y x?， 所以 ? ? ? ? ? ?200 0 022000
19、411 6 4 1=2 111xx x xMN xxx? ? ? ?. 直线 PF 的斜率 00 1yk x? ? ，则 00002=11xyk xx? ?， 所以 0200 001141 4k xM N x x xx?. 因为函数 1yxx? 在 ? ?1,? 上单调递增，所以当 0 1x? 时， 0 01 0x x?， 9 所以0 0110 144x x? ，所以001101 24xx?， 所以 10 2kMN?.所以 kMN 的取值范围是 10,2?. 20. （ 1） ? ? 2 1 lnf x ax b x? ? ? ? ， 所以 2 1 3ab? ? ? 且 =1ab? ， 解得 =1a ， 0b? （ 2）由（ 1）与题意知 ? ? ? ? ln22f x g x x x xk xx? ?对任意的 2x? 恒成
