1、 1 定远育才学校 2017-2018 学年第 一 学期 期末考试 高 二数学（文科） 试题 考生注意： 1.本卷分第 I 卷和第 II 卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。 3.非选择题的作答 :用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。 第 I 卷（选择题 60 分） 一、选择题 1. 已知 nm, 表示两条不同直线， ? 表示平面 下列说法正确的是 A若 ,/,/ ? nm 则 nm/ B若 , ? ? nm ，则 nm? C若 , nmm
2、 ? 则 ?/n D若 ,/ nmm ? ，则 ?n 2.一空间几何体的三视图如图所示 , 该几何体的体积为 35812 ? ，则正视图中 x 的值为（ ） 图 2侧视图俯视图正视图4x33x4A.5 B.4 C.3 D 2 3. 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的体积为（ ） 2 A 53 B 2 C 52 D 3 4.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “ 堑堵 ” ，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为 “ 阳马 ” ，已知某 “ 堑堵 ” 与某 “ 阳马 ” 组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ） A. 4 3 3? B. 3 3 3?
3、 C. 4 2 3? D. 3 4 3? 5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为 36? ，那么这个正三棱柱的底面边长是（ ） A. 3 B. 33 C. 63 D. 9 6.如图所示，正四棱锥 P ABCD 的底面积为 3，体积为 ， E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE所成的角为 A. B. C. D. 3 7.a b c、 、 为三条不重合的直线， 、 、 为三个不重合平面，现给出六个命题： ac abbc?； ba ab ?； ac ac ? ?； a a? ?； c aac? ?； aa? ? ?其中正确的命题是 ( ) A. B. C. D.
4、 8.某几何体的正视图、俯视图和侧视图中，某条棱的投影长分别为 ，则该条棱的长度为 ( ) A. B. C. D. 9. 如图正方形 1ABCD 折成直二面角 A BD C?，则二面角 A CD B?的余弦值为（ ） A. 13 B. 33 C. 12 D. 22 10.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ） 4 A. B. C. D. 11.过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的顶点 A 作直线 l ，使直线 l 分别与 1,AB AD AA 三条棱所成的角都相等，则这样的直线 l 有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在正方体
5、 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E 为 BC 的中点， F 为 11BC 的中点，则异面直线AF 与 1CE所成角的正切值为（ ） A. 52 B. 23 C. 255 D. 53 第 II 卷（非选择题） 二、填空题 13. 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN 等于 _. 14.底面为正三角形的直三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长都为 1， M,N 分别为 CC1， BB1的中点，则点 N 到面 A1BM 的距离为 _ 5 15.已知水平放置的 ABC 是按 “ 斜二测画法 ”
6、 得到如下图所示的直观图，其中 1B O C O?， 32AO? ,则原 ABC 的面积为 _ 16. 已知直线 ,lm平面 ,?且 l a ， m ? ，给出下列四个命题： 若 ? ? ，则 l m ； 若 l m ，则 ? ? ； 若 ? ? ，则 l m ； 若 l m ，则 ? ? 其中正确的命题有 _ 三、解答题 17.如图所示的立体图形中， AB AF? ， 2BE EF? （ ）证明： AE? ? BF ； （ ）若 60BEF?， 22A E A B?，求二面角 A EF C?的余弦值 18.如图，平面五边形 ABCDE 中， AB ， 2 , 6 0 , 7A E A E C
7、 C D E D? ? ? ? ?， 57cos EDC?.将 CDE? 沿 CE 折起，使点到的位置，且 3AP? ，得到四棱锥P ABCE? . 6 （ 1）求证： AP? 平面 ABCE ； （ 2）记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l ，求证： l . 19.在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 4AB? ， 2AD? ， 1 2AA? ，点 E 在棱 AB 上移动 . （ ）当 1AE? 时，求证：直线 1DE? 平面 11ADC ； （ ）在（ ）的条件下，求1 1 1 1 1:C A DE C A D DVV?的值 . 20. 如 图 ， 在 三 棱
8、 锥 ABOC 中， AO 平面 BOC ， 6OAB OAC ? ? ? ?， 2AB AC?， 2BC? ， ,DE分别为 ,ABOB 的中点 (19) (I)求 O 到平面 ABC 的距离； (II)在线段 CB 上是否存在一点 F ，使得平面 DEF 平面 AOC ，若存在，试确定 F 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由 7 21. 如 下 图 ， 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11AACC ? 底面 ABC ， 11 2,A A A C A C A B B C? ? ? ?,且 AB BC? ,O 为 AC 中点 . （ ）证明 ： 1AO? 平面
9、ABC ； （ ）求直线 1AC 与平面 1AAB 所成角的正弦； （ ）在 1BC 上是否存在一点 E ，使得 /OE 平面 1AAB ，若不存在，说明理 由；若存在，确定点 E 的位置 . 22.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AC BC? ， 1AC BC CC?， MN、 分别是 1 1 1AB BC、 的中点。 （ ）求证： 1MN A BC? 平 面 ； （ ）求直线 BC 和平面 1ABC 所成角的大小 定远育才学校 2017-2018 学年第一学期期末考试 高二数学（文科）试题答案 一、选择题 1.B 2. C 3.B 4. A 5. C 6. C 7.C
10、8. A 9.B 10.C 11.D 12.C 8 二、填空题 13. 90 14. 24 15. 3 16. 三、解答题 17. （ ）证明：在图 2 中取 BF 的中点 O ， 连接 AO? ， EO ， 因为 AB AF? ，所以 BF AO? ， 又因为 BE EF? ， 所以 BF EO? ， 因为 AO EO O? ? ，所以 BF? 平面 AEO? ， 而 AE? ? 平面 AEO? ，所以 AE? ? BF （ ）由（ ）知 BF AO? ， BF EO? ， 因为 2BE EF?， 60BEF?， 所以 2BF? ， 因为 22A E A B?，所以 2A B A F?， 所
11、以 ABF? 为等腰直角三角形，且 1AO? ? ， 3EO? ， 所以 AO EO? ? ， 以 O 为原点，直线 OE ， OF ， OA? 分别为 x ， y ， z 轴 9 建立空间直角坐标系 O xyz? ，则 (0,0,0)O ， ( 3,0,0)E ， (0,1,0)F ， (0,0,1)A? ， 所以 ( 3, 0,1)EA? ， ( 3,1,0)EF ? ，可求得平面 AEF? 的一个法向量为(1, 3, 3)n? ， 易知 (0,0,1)m? 是平面 BEF 的一个法向量， 所以 3 2 1c o s ,77mnmn mn? ? ? ? ?， 因为二面角 A EF C?为锐
12、角，故二面角 A EF C?的余弦值为 217 18. （ 1）在 CDE? 中， 7CD ED?， 5cos 7EDC?，由余弦定理得 2CE? . 连接 AC ， 2 , 6 0 , 2A E A E C A C? ? ? ? ?. 又 3AP? ， 在 PAE? 中， 2 2 2PA AE PE?，即 AP AE? . 同理， AP AC? ， ,AC AE? 平面 ABCE ， AAC AE?，故 AP? 平面 ABCE . （ 2） AB CE ，且 CE? 平面 PCE ， AB? 平面 PCE ， AB 平面 PCE ，又平面 PAB? 平面 PCE l? ， AB l . 19
13、. （ ）证明：连接 1AD 因为四边形 11AADD 为正方形，所以 11AD AD? ， 又 AB? 平面 11ADDA ， 1AD? 平面 11ADDA ， 所以 1AD AB? ，又 1AD AB A?， 10 所以 1AD? 平面 1AED ，所以 11AD DE? . 在 DC 上取一点 N ，使 1DN? ，连接 1DN， EN ， 易证 11D DN DCC? ，所以 11DC DN? ， 又 1EN DC? ， 1D N EN N?， 所以 1DC? 平面 1DNE ，所以 11DE DC? ， 又 11DE AD? ，且 11AD DC D?，所以 1DE? 平面 11AD
14、C . （ ）因为1 1 1 1 1:C A DE C A D DVV? ?1 1 1 1 1:E A DC D A DCVV?， 且两个三棱锥的底面相同，所以体积比等于相应的高之比 . 2211 3D E D D D E? ? ?， 设点 1D 到平面 11ADC 的距离为 h ， 由1 1 1 1 1C A D D D A DCVV?，可得 114232? ? ? 112 32h? ? ? ? 2 2 3 2?，则 43h? ， 故点 E 到平面 11ADC 的 距 离 为 453 33? ，所以1 1 1 1 1:C A D E C A D DVV? ?1 1 1 1 15: 4E A DC D A DCVV? ?. 20. (I)因为 AO? 平面 COB ，所以 ,AO CO AO BO?， 即 AOC 与 AOB 为直角三角形 又因为 6OAB OAC ? ? ? ?, 2AB AC? 所以 1OB OC?. 3AO? 由 2 2 21 1 2O B O C B C? ? ? ? ?,可知 BOC 为直角三角形
