1、 - 1 - 莆田一中 2017-2018 学年上学期期末考试试卷 高二数学文科 选修 1-1 1-2 4-5 （满分 150分考试 120 分） 一、选择题（本大题共 12小题，共 60 分） 1.命题 “ ? x0R,2 x0 31” 的否定是 ( ) A ? x0R,2 x0 31 B ? xR,2 x 31 C ? xR,2 x 31 D ? x0R,2 x0 31 2.已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. 3 C. 5 D. 3.若函数 满足 ，则 的值为 A. 0 B. 2 C. 1 D. 4.已知点 为抛物线 上一点 若点 A
2、到该抛物线焦点的距离为 3，则 A. B. 2 C. D. 4 5. 如图，把 1,3,6,10,? 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 ( ) A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 6.“ 双曲线 的渐近线互相垂直 ” 是 “ 双曲线离心率 2?e ” 的（ ） A、充要条件 B、充 分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 7.设 P为曲线 C： 上的点，且曲线 C在点 P处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 P横坐标的取值范围为 A. B. C. D. - 2 - 8.在一次实验中，测得 的四组值分别是 ，则 y与 x
3、之间的线性回归方程为 A. B. C. D. 9.函数 在区间 内零点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.设 分别是椭圆 E： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 E于 两点， ，若 ，则椭圆 E的离心率为 A. B. C. D. 11.函数 在 的图象大致是 A. B. C. D. 12.已知抛物线 的焦点为 F，设 是抛物线上的两个动点，如满足，则 的最大值 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5小题，共 20 分） 13.曲线 在点 处的切线 l与两坐标轴围成的三角形的面积是_ 14.从 1=1， 1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16
4、=-(1+2+3+4),? ,则第 )( *Nnn ?个 等式为_. 15.设满足以下两个条件的有穷数列 na 称 为 n 阶 “ 期待数列 ” ),2( *Nnn ? ： 1 2 3 0na a a a? ? ? ? ?； 1 2 3 1na a a a? ? ? ? ?. - 3 - 命题 P： na 是 单调递增等差数列；命题 Q： na 是 7阶 “ 期待数列 ” ， 若 为真命题QP? ，则 a7 =_. 16.设函数 ? ? ? ? ? ?222 ln 2f x x a x a? ? ? ?，其中 0x? ， Ra? ，存在 0x 使得 ? ?0 45fx?成立，则实数 ax0 的
5、值是 _. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） 17.（本小题满分 10分） 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ，且长轴长为 8 求椭圆的方程； 直线 与椭圆相交于 两点，求弦长 18.（本小题满分 12分） 已知 求 的解集； 若 ，对 ，恒有 成立，求实数 x的范围 19.（本小题满分 12分） 已知函数 c为常数 求 的值； 求函数 的单调区间； - 4 - 设函数 ，若函数 在区间 上单调递增，求实数 c的取值范围 20.（本小题满分 12分） 为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取 50人，从女生中随机抽取 70 人参加消防知识测试，统计数
6、据得到如下列联表： 优秀 非优秀 总计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 总计 45 75 120 （ ） 试判断是否有 的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关； 附： K2= （ ） 为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出 6名组成宣传小组 ， 现从这 6人中随机抽取 2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有 1名是男生的概率 21.（本小题满分 12分） 已知抛物线 的焦点为 F，直线 与 x轴的交点为 P，与抛物线的交点为 Q，且 求抛物线的方程； 如图所示，过 F的直线 l与抛物线相交于 两点，与圆- 5 - 相交于 两
7、点 两点相邻 ，过 两点分别作 抛物线 的切线，两条切线相交于点 M，求 与 的面积之积的最小值 22.（本小题满分 12分） 设 ，函数 若 无零点，求实数 k的取值范围； 若 有两个相异零点 ，求证： 莆田一中 2017-2018学年上学期期末考试试卷 高二数学文科 答案和解析 【答案】 1. C 2. A 3. A 4. C 5. C 6. A 7. D 8. D 9. B 10. D 11. B 12. B 13. 14. 2)1()1()1(.16941).321()1()1(.16941121121nnnnnnnnn?或15. 4141,61,121,0,121,61,41;417
8、7?aa故16. 5 - 6 - 17. 解： 椭圆的中心在原点，焦点为 ， 且长轴长为 ， 故要求的椭圆的方程为 ? 5分 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ， 弦长 ? 10分 18. 解： ， 故 时， ，解得： ， 时， ，解得： ， 时， ，解得： ， 故 的解集为 x| 或 ? 6分 因为 ， 当且仅当 时等于号成立 ? 9分 由 解得 x的取值范围为? 1413145- ，? 12 分 19. 解： 分 分 分 当 有 或 ， 此时 函数 单调递增； 当 ， 有 ， 此时 函数 单 调递减 单调递增区间为 和 单调递减区间为 ? 6分 - 7 - 在区间 上单调递增 恒成立 ? 8
9、分 设 ，则 ， ? 10分 故 c的取值范围是 ? 12分 20. 解： 因为 ， 且 ， 所以没有 的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关； ? 6分 用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是 ， 则抽取女生为 人， 抽取男生为 人； ? 8分 抽取的分别记为 a、 b、 c、 d、 E、 其中 E、 F为男生 ， 从中任取 2人，共有 15种情况： ， ； 其中至少有 1名是男生的事件为 ， ，有 9种； 故所求的概率为 ? 12 分 21. 解： 由题意可知 ，丨 QF丨 ， 由 ，则 ，解得： ， 抛物线 ； ? 4分 设 l： ， 联立 ，整理得： ， 则 ， ? 6分 由 ，
10、求导 ， 直线 MA： ，即 ， - 8 - 同理求得 MD： ， ? 8分 ，解得： ，则 ， 到 l的距离 ， ? 10分 与 的面积之积 丨 AB丨丨 CD 丨 ， 丨 AF丨 丨 DF 丨 ， ， ， 当且仅当 时取等号， 当 时， 与 的面积之积的最小值 1 ? 12分 22. 解：函数的定义域为 ， 若 时，则 是区间 上的增函数， ， ，函数 在区间 有唯一零点； 若 有唯一零点 ； ? 3分 若 ，令 ，得 ， 在区间 上， ，函数 是增函数； 在区间 上， ，函数 是减函数； 故在区间 上， 的极大值为 ， 由于 无零点，须使 ，解得 ， 故所求实数 k的取值范围是 ； ?
11、6分 证明：设 的两个相异零点为 ，设 ， - 9 - ， ， ? 7分 故 欲证 ， 只需证 ， 即 ，即 证 ， 设 ，上式转化为 ， ? 9 分 设 ， ， 在 上单调递增， ， ? 12分 客观题 【解析】 1. 解：根据三角函数的图象与性质得 ， 又集合 ， 所以它们的交集为 故选 D 根据三角函数的图象和性质求值域求出集合 N，再求它们的交集即可 本题属于以函数的值域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型 2. 解： 抛物线 的焦点坐标为 ， 依题意， ， 双曲线的方程为： ， 其渐近线方程为： ， 双曲线的一个焦点 到其渐近线的距离等于 故选 A - 10 - 由双曲
12、线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，先求出 ，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线 方程，由此能求出结果 本题考查双曲线的简单性质，求得 的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题 3. 解；求函数 的导数，得， ， 把 代入，得， 故选 A 先根据 求导，再把 代入，求 的值 本题考查了函数的求导公式，属于基础题，做题时不要被 中的 所迷惑 4. 解： 点 A到该抛物线焦点的距离为 3， ，解得 抛物线的方程为： ， 把点 代入可得： ，解得 故选： C 点 A到该抛物线焦点的距离为 3，可得 ，解得 把点 代入抛物线方程解出即可 本题考查了抛物线的定义 、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7. 解：设点 P的横坐标为 ， ， ， 利用导数的几何意义得 为点 P处切线的倾斜角 ， 又 ， 故选 D 根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线 C在点 P处斜率的取值范围，进而得到点 P横坐标的取值范围
