1、 - 1 - XY0CBA上学期 高 二数学 期末模拟 试题 08 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 数列 0， -1， 0， 1， 0， -1， 0， 1， 的一个通项公式是 ( ) A. 2 1)1( ? n B.cos 2?n C.cos 2)1( ?n D.cos 2)2( ?n 3. 设 aR? ，则 1a? 是 1 1a? 的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 已知 ABC的周长为 20，且顶点 B (0， 4)
2、， C (0， 4)，则顶点 A的轨迹方程是（ ） A 12036 22 ? yx （ x 0） B 13620 22 ? yx （ x 0） C 1206 22 ? yx （ x 0） D 1620 22 ? yx （ x 0） 5空间直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点 A（ 3， 1， 0）， B（ -1， 3， 0），若点 C满足 OC = OA+ OB ，其中， ?R， + =1，则点 C的轨迹为 （ ） A平面 B直线 C圆 D线段 6在 ABC? 中 , 8, 60 , 75a B C? ? ?,则 b? ( ) A 42 B 43 C 46 D 323 7在等比数列11291
3、19753 ,243, aaaaaaaa n 则若中 ?的值为 （ ） A 9 B 1 C 2 D 3 8给出平面区域如图所示，其中 A（ 1， 1）， B（ 2， 5）， C（ 4， 3），若使目标函数 ( 0)Z ax y a? ? ?取得最大值的最优解有无穷多个，则 a的值是 ( ) A 32 B 1 C 4 D 23 9 在 ABC? 中 ,若 cos 4cos 3AbBa?,则 ABC? 是 ( ) - 2 - A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D钝角三角形 10等差数列 na 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和是 ( ) A 130
4、 B 170 C 210 D 260 12四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面 ABCD 为矩形， AB 1， AD 2， 1 3AA? ，11 60A AB A AD? ? ? ? ?，则 1AC 的长为 ( ) A 42 B 23 C 23 D 32 第卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题： (本大题共 4 个小题，每小题 4分，共 16分，把正确答案填在题中横线上。 ) 13 三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根，则此三角形的面积是 _. 14 数列 ?na 的通项公式为 2 49nan?， ns 达到最小时
5、， n等于 _. 15若点 P 到点 )0,4(F 的距离比它到直线 05?x 的距离少 1，则动点 P 的轨迹方程是 -_。 三、解答题： (本大题共 6个小题，共 74分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.（本小题满分 12分） 给定两个命题 , P ：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立； Q ：关于 x 的方程02 ? axx 有实数根 .如果 P Q 为真 命题， P Q 为假命题，求实数 a 的取值范围 - 3 - 18 （本小题满分 12 分） 19 (本小题满分 12分 ) 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB=1， 1 3AC
6、 AA?， ABC=600 . ( )证明： 1AB AC? ； （）求二面角 A 1AC B的余弦值。 20. （本小题满分 12 分） 某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器，运输安装费用 2 千元，每年投保、动力消耗的费用也为 2 千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为 2 千元，第二年为 3 千元，第三年为 4 千元，依此类推，即每年增加 1 千元问这台机器最佳使用年限是多少年？（年平均费用最低时为最佳使用年限），并求出年平均费用的最小值 C B A C1 B1 A1 - 4 - 21（本小题满分 12分） （）设 nn nbc a?，求数列 ?nc 的前 n 项和
7、 nT . 22（本小题满分 14分） 已知椭圆中心在原点，焦点在 x轴上，离心率 22?e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为 .2 （ I）求椭圆的标准方程； （ II）已知直线 l 与椭圆相交于 P、 Q 两点， O 为原点，且 OP OQ。试探究点 O 到直线 l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。 - 5 - 答案 一、 BBABB CDAAC DC 二、 13、 6 14、 24 15 2 16yx? 16 、 三、解答题 ： (本大题共 6个小题，共 74分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17. 解： 对任意实数 x 都有 012 ?axa
8、x 恒成立 ? ? 000 aa 或40 ? a ； 2分 关于 x 的方程 02 ? axx 有实数根 41041 ? aa ； 4分 P Q 为真命题， P Q 为假命题，即 P真 Q假，或 P假 Q真， 6分 所以实数 a 的取值范围为 ? ? ? 4,410, ? 12分 18 si n 2 3 c o s( ) 0si n 2 3 c o s 2 si n c o s 3 c o s3c o s 0 si n . . . . . . . . . . . . 32CCC C C C CCC? ? ? ? ?解 ： 由 已 知 得即所 以 或 分001 3 4 , 9 0 ,6 0 .6
9、c a C CC? ? ? ? ?是 锐 角从 而 分2 2 2 2 022 c o s , 1 3 1 6 2 4 c o s 6 04 3 0 1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9c a b a b C b bb b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由 得或 分 1 1 31 si n 4 1 32 2 21 1 33 si n 4 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . 1 22 2 2b S a b Cb S a b C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、 ? ? ?当 时 ，当 时 ， 分19 - 6 - 解：方法一 （）因为三棱柱 1 1 1ABC ABC? 为直三棱柱所以 1AB AA? 在 ABC 中 1AB? 0, 3 , 60AC ABC? ? ? 2分 由正弦定理得 030ACB?所以 090BAC? 4分 （）如图所示，作 1AD AC? 交 1AC 于 D ，连 BD ，由三垂线定理可得 1BD AC? 所以 ABD? 为所求二面角的平面角，在 1Rt AAC? 中，113 3 626A A A CAD AC? ? ?g g， 8 分 在 Rt BAD? 中， 2 2 2 26 1 01 ( )22B D A B A D? ?
11、 ? ? ? ， 10分 所以6152c o s5102ADABDBD? ? ? 11 分即 二 面角 A 1AC B的余弦值是 155 。 12分21 解 ：（ ） 由 1 21nnaS? ?可得 ? ?12 1 2nna S n? ? ?， 两 式 相 减 得? ?112 , 3 2n n n n na a a a a n? ? ? ?. 又 212 1 3aS? ? ? ,所以 213aa? . 故 ?na 是首项为 1，公比为 3 的等比数列 . 所以 13nna ? . 4分 由点 1( , )nnPb b? 在直线 20xy?上，所以 1 2nnbb? ?. - 7 - （）因为1
12、213nn nnb nc a ?，所以0 1 2 11 3 5 2 13 3 3 3n nnT ? ? ? ? ?. 7 分 则1 2 2 11 1 3 5 2 3 2 13 3 3 3 3 3n nnT ? ? ? ? ? ?, 8分 两式相减得： 21112 2 2 2 2 113 3 3 3 3111 ( ) 2 1 1 2 1331 2 2 ( )1 3 3 313n nnnnnnnT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 所以211 2 13 2 3 2 3n nnnT ? ? ?113 3nn ?. 12 分 22解：（ I）设椭圆方程为 ).0(12222
13、? babyax 1分 因为 ,)22,(,.22,22 在椭圆上点据题意所以 cace ? 则 ,121222 ?bac 于是 .1,12121 2 ? bb 解得 4分 因为 .2,1,1,2 222 ? acbcaca 则 5分 故椭圆的方程为 .12 22 ?yx 6分 （ II）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 - 8 - 1 1 2 2222 2 22 2 2 2 221 2 1 222221 2 1 2 1 2 1 222, ( , ) , ( , ) .1, ( 2 1 ) 4 2 2 0. 72( 4 ) 4( 2 1 ) ( 2 2) 8 ( 2 1 ) 0 (
14、* )4 2 2,.2 1 2 1( ) ( ) ( )2y k x m P x y Q x yxyk x k m x my k x mk m k m k mk m mx x x xkky y k x m k x m k x x k m x x mmk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?点由 得 分所 以于 是2222222 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2242 1 2 12.921,2 2 2 3 2 20,2 1 2 1 2 1kmk m mkkmkkO P O Q O P O Qm m k m kx x y yk k k? ?
15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分因 为所 以22 2 222222223 2 2 0 , . * 1 03,22| | 63. 1 21 1 31km k mO l dkmmdkkk? ? ? ? ? ? ?即 所 以 代 入 （ ） 验 证 成 立 。 分设 原 点 到 直 线 的 距 离 为则 分当直线 l 的斜率不存在时，因为 OQOP? ，根据椭圆的 对称性，不妨设直线 OP、OQ 的方程分别为 6 6 6 6 6 6, , ( , ) , ( , ) ( , )3 3 3 3 3 3y x y x P Q P? ? ? ? ? ?可 得 或、66( , ),33Q ? 6,. 3Ol此 时 原 点 到 直 线 的 距 离 仍 为 13分 综上分析，点 O到直线 l的距离为定值 .36 14 分
