1、第第1讲不等关系与一元二次不等式讲不等关系与一元二次不等式考试要求考试要求1.现实世界和日常生活中的不等关系、不等式(组)的实际背景，A级要求；2.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，B级要求；3.求解一元二次不等式，C级要求.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法2.不等式的性质3.三个“二次”间的关系Rx|x1xx2 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)2.(2016南通调研)已知ab0，给出下列四个不等式：答案3.(2015广东卷)不等式x23x40的解集为_(用区间表示).解析由x23x40，得x23x40，解得4x
2、1.答案(4，1)4.已知不等式x22xk210对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是_.5.(苏教版必修5P80T8(1)改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_.考点一不等式的性质及应用答案规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.答
3、案考点二一元二次不等式的解法微题型1不含参数的一元二次不等式的解法【例21】(1)(2015江苏卷)不等式2x2x4的解集为_.答案(1)x|1x2(2)x|x1规律方法解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式的符号；(3)若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.微题型2含参数的一元二次不等式的解法【例22】解关于x的不等式ax222xax(aR).规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不
4、易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】(1)(2016苏北四市模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1，3)，则不等式f(2x)0的解集是_.(2)解关于x的不等式kx22xk0(kR).考点三一元二次不等式的恒成立问题【例3】设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围.规律方法(1
5、)在解决不等式ax2bxc0(或0)对于一切xR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a0时是否满足题意.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【训练3】(1)设f(x)mx2mx1，求使f(x)0，且|m|1恒成立的x的取值范围.(2)已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.思想方法1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正
6、负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的填空题，用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0的情况转化为a0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错防范1.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.2.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
