1、山东省菏泽市 2021 届高三学期初第一次模拟考试 数学 一. 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1. 复数 z 满足 z = 7+i 12i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z = () A. 1+3iB. 13iC. 3iD. 3+i 2. 集合 A = x | 2 x 2,B = y | y = x,0 x 4，则下列关系正确的是 () A. A RBB. B RAC. RA RBD. AB = R 3. 已知直线 l：xym = 0 经过抛物线 C：y2= 2px(p 0) 的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点若 |AB| = 6，则 p 的值为
2、() A. 1 2 B. 3 2 C. 1D. 2 4.九章算术中方田章有弧田面积计算问题, 术曰: 以弦乘矢, 矢又自乘, 并之, 二而 一. 其大意是弧田面积计算公式为: 弧田面积 =1 2(弦 矢 + 矢 矢). 弧田是由圆弧 (弧 田弧) 和以圆弧的端点为端点的线段 (弧田弦) 围成的平面图形, 公式中的“弦”指的是 弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差. 现有一弧 田, 其弧田弦 AB 等于 6 米, 其弧田弧所在圆为圆 O, 若用上述弧田面积计算公式算得 该弧田的面积为 72 平方米, 则 cosAOB =() A. 1 25 B. 3 25 C. 1
3、 5 D. 7 25 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者 8 人， 数学、语文两科满分者 7 人，语文、英语两科满分者 9 人，三科都没得满分者 3 人。这个班最多，最少人分别 是() A. 45,39B. 46,38C. 45,38D. 46,39 6. 已知 ， 是三个不同的平面， = m， = n，则() A. 若 mn，则 B. 若 ，则 mnC. 若 mn，则 D. 若 ，则 mn 7. 数列 an 的前 n 项和 Sn= 3n+k(n N，k为常数)，那么下面结论正确的是() A. k = 0 时，数列
4、 an 是等比数列B. k 为任意实数时，an 是等比数列 C. k = 1 时，数列 an 是等比数列D. 数列 an 不可能是等比数列 8. 在四边形 ABCD 中，BAD = 120，BCD = 60，AB = AD = 2，则 AC 的最大值为() A. 43 3 B. 4C. 83 3 D. 8 二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9. 下列说法正确的是() A. 若 x ，y 0，x+y = 2 ，则 2x+2y的最大值为 4B. 若 x 0，x+y+xy = 3，则 xy 的最小值为 1D. 函数 y = 1 sin2x + 4 cos2x 的最小
5、值为 9 10. 已知函数 f(x) = Asin(x+)(A 0, 0,0 b, c d, 则ac bdB. 若 ab 0, bcad 0, 则 c a d b 0 C. 若 a b, c d, 则ad bcD. 若 a b, c d 0, 则 a d b c 12. 已知函数 y = f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f(x) = ex(x1) B. 函数 y = f(x) 有 3 个零点 C. 关于 x 的不等式 f(x) 0 的解集为 (,1)(0,1) D. x1, x2 R, 都有|f(x1)f(x2)| 0, b 0) 的渐近线相切，则该双曲线的离心率 为. 1
6、5. 已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 43 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积为. 16. 为了学习中央号召的“工匠精神” ，某校组织学生开展工件制作活动，如右图是某小组设计的一 个工件的横截面图，该工具由一个圆柱与一个三棱锥构成，AB 是圆柱横截面 O 的直径，点 C 为 O 上一点，OEBC 于点 H，交 O 于点 E，点 D 为 OE 的延长线上一点，DC 的延长线与 BA 的延长线交于点 F，且 BOD = BCD，连接 BD、AC、CE，过 E 作 EGFD 于点 G，如 果 AF = 1，sinFCA = 3 3 ，则 EG =. 四. 解答题:(本大题共 6 小题,
7、 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）在1c = 2 ；2b = 23 ；3a2+b2 3ab = c2 这三个条件中任选两个，补充在下面问 题中： 问题：已知在 ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为 a，b，c ，a = 2. 设 F 为线段 AC 上一点， CF = 2BF， . 求 CBF 的大小和 ABF 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.（12 分）已知数列 an 中，a1= m，且 an+1 = 3an+2n1，bn= an+n(n N). (1) 判断数列 bn 是否为等比数列，并说明理由； (2) 当
8、m = 2 时，求数列 (1)nan 的前 2020 项和 S2020 高三数学第 2 页（共 4 页） 19.（12 分）某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，播种了 5000 粒种子，已知这批水稻种子的发 芽率为 0.9，成活率为 0.8，先对没有发芽的种子进行补种，每粒需要再补种 3 粒种子，以确保能够正常发芽， 记补种的种子数为 X. 科研站之后要将这一批成功长成的植株送出，最初有 30 人参加，该科研站设置了第 n(n N) 个月中签的名额为 2n+16，并且抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人比中签的人数少 2 个， 如果某次抽签的人全部中签，则活动立刻结束. (1)
9、 随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能成长为幼苗的概率 (2) 求 X 的方差 (3) 求任意一人参加活动时间的期望. 20.（12 分） 如 图, 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,PA底面ABCD,PA = PB = 6, 点 E 是棱 PB 的中点. (1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离 (2) 若 AD = 3，求二面角 AECD 的平面角的余弦值. 高三数学第 3 页（共 4 页） 21.（12 分）已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程 (2) 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q, 若 x 轴是 PBQ 的角平分线, 证 明直线 l 过定点. 22.（12 分）已知函数 f(x) = xlnx a 2 x2+ax(a R). (1) 若函数 y = f(x) 有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； (2) 若 a = 2，k N，g(x) = 22xx2，且当 x 2 时不等式 k(x2)+g(x) f(x) 恒成立，试求 k 的最大值 高三数学第 4 页（共 4 页）
