1、 第十二章第十二章 轴对称轴对称 测试测试 1 轴对称轴对称 学习要求学习要求 1理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识 别轴对称图形 2理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形 一、填空题一、填空题 1 如果一个图形沿着一条直线_， 直线两旁的部分能够_， 那么这个图形叫做_， 这条直线叫做它的_，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（或轴）_ 2 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与_重合， 那么这两图形叫做关于_， 这条直线叫做_，折后重合的点是_，又叫做_ 3成轴对称的两个图形的主要性质是 （1）成轴对称的两个图形是_； （2
2、）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对_的垂直平分线 4轴对称图形的对称轴是_ 5（1）角是轴对称图形，它的对称轴是_； （2）线段是轴对称图形，它的对称轴是_； （3）圆是轴对称图形，它的对称轴是_ 二、选择题二、选择题 6在图 11 中，是轴对称图形的是 （ ） 图 11 7在图 12 的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （ ） 图 12 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 8如图 13，ABC 与ABC关于直线 l 对称，则B 的度数为 （ ） 图 13 A30 B50 C90 D100 9将一个正方形纸片依次按图 14a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成
3、图 d 样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图 15 中的 （ ） 图 14 图 15 10如图 16，将矩形纸片 ABCD （图）按如下步骤操作：（1）以过点 A 的直线为折 痕折叠纸片，使点 B 恰好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E （如图）；（2）以 过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上，折痕 EF 交 AD 边于点 F （如图 ）； （3）将纸片收展平，那么AFE 的度数为（ ） 图 16 A60 B67.5 C72 D75 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 11请分别画出图 17 中各图的对称轴 （1）正方形 （2）正三角形 （3
4、）相交的两个圆 图 17 12如图 18，ABC 中，ABBC，ABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 A处，若 点 D 为 AB 边的中点，A70，求BDA的度数 图 18 13在图 19 中你能否将已知的正方形按如下要求分割成四部分， （1）分割后的图形是轴对称图形；（2）这四个部分图形的形状和大小都相同 请至少给出四种不同分割的设计方案，并画出示意图 图 19 14 在图 110 这一组图中找出它们所蕴含的内在规律， 然后在横线的空白处设计一个恰当 的图形 图 110 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 15已知，如图 111，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，BCx 轴
5、于点 C，点 A 关于直线 OB 的对称点 D 恰好在 BC 上， 点 E 与点 O 关于直线 BC 对称， OBC35， 求OED 的度数 图 111 测试测试 2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 学习要求学习要求 1理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线 段的垂直平分线 2能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1经过_并且_的_ 叫做线段的垂直平分线 2线段的垂直平分线有如下性质：线段的垂直平分线上的_与这条线段_的_ 相等 3线段的垂直平分线的判定，由于与一条线段两个端点距离相等的点在
6、_，并且两点确 定_，所以，如果两点 M、N 分别与线段 AB 两个端点的距离相等，那么直线 MN 是 _ 4完成下列各命题： （1）线段垂直平分线上的点，与这条线段的_； （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在_； （3）不在线段垂直平分线上的点，与这条线段的_； （4）与一条线段两个端点距离不相等的点，_； （5）综上所述，线段的垂直平分线是_的集合 5如图 21，若 P 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，则 （1）PAC_； （2）PA_； （3）APC_； （4）A_ 图 21 6 ABC 中， 若 ABAC2cm， BC 的垂直平分线交 AB 于 D 点， 且ACD 的周长为
7、 14cm， 则 AB_，AC_. 7如图 22，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点 （1）若A35，则BPC_； （2）若 AB5 cm，BC3 cm，则PBC 的周长_ 图 22 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 8已知：如图 23，线段 AB 求作：线段 AB 的垂直平分线 MN 作法： 图 23 9已知：如图 24，ABC 及两点 M、N 求作：点 P，使得 PMPN，且 P 点到ABC 两边的距离相等 作法： 图 24 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 10已知点 A 在直线 l 外，点 P 为直线 l 上的一个动点，探究是否存在一个定
8、点 B，当点 P 在直线 l 上运动时，点 P 与 A、B 两点的距离总相等如果存在，请作出定点 B；若不 存在，请说明理由 图 25 11如图 26，AD 为BAC 的平分线，DE AB 于 E，DFAC 于 F，那么点 E、F 是否 关于 AD 对称？若对称，请说明理由 图 26 测试测试 3 轴对称变换轴对称变换 学习要求学习要求 1理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形 2能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题. 一、填空题一、填空题 1由一个_得到它的_叫做轴对称变换 2如果由一个平面图形得到它关于某一条直线 l 的对称图形，那么， （1）这个图形与原图形的
9、_完全一样； （2）新图形上的每一点，都是_； （3）连接任意一对对应点的线段被_ 3由于几何图形都可以看成是由点组成的，因此，要作一个平面图形的轴对称图形，可归 结为作该图形上的这些点关于对称轴的_ 二、解答题二、解答题 4试分别作出已知图形关于给定直线 l 的对称图形 （1） 图 31 （2） 图 32 （3） 图 33 5如图 34 所示，已知平行四边形 ABCD 及对角线 BD，求作BCD 关于直线 BD 的对称 图形（不要求写作法） 图 34 6如图 35 所示，已知长方形纸片 ABCD 中，沿着直线 EF 折叠，求作四边形 EFCD 关于 直线 EF 的对称图形（不要求写作法） 图
10、 35 7为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分 成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形； （2）四块图形形状相同； （3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法： 分别作两条对角线 （图），过一条边的四等分点作该边的垂线段 （图）， （图中的两个图形的分割看作同一种方法）请你按照上述三个要求，分别在图 的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法（只画图，不写作法） 图 36 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 8已知：如图 37，A、B 两点在直线 l 的同侧，点 A与 A 关于直线 l 对称，连接 AB 交 l 于 P 点，若 ABa. （1）求
11、 APPB； （2）若点 M 是直线 l 上异于 P 点的任意一点，求证：AMMBAPPB 图 37 9已知：A、B 两点在直线 l 的同侧，试分别画出符合条件的点 M （1）如图 38，在 l 上求作一点 M，使得 AMBM 最小； 作法： 图 38 （2）如图 39，在 l 上求作一点 M，使得AMBM最大； 作法： 图 39 （3）如图 310，在 l 上求作一点 M，使得 AMBM 最小 图 310 拓拓展、探究、思考展、探究、思考 10（1）如图 311，点 A、B、C 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作一点 P，使得四边 形 APBC 的周长最小； 图 311 （2） 如图
12、312， 已知线段 a， 点 A、 B 在直线 l 的同侧， 在直线 l 上， 求作两点 P、 Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQa，四边形 APQB 的周长最小 图 312 11（1）已知：如图 313，点 M 在锐角AOB 的内部，在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点 Q，使得PMQ 的周长最小； 图 313 （2）已知：如图 314，点 M 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 P，使得点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 边的距离之和最小 图 314 测试测试 4 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称 学习要求学习要求 1运用所学的轴对称知识，认识和掌握在
13、平面直角坐标系中，与已知点关于 x 轴或 y 轴对称点的坐标的规律， 进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的 图形 2能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题 的能力 课堂学习检测课堂学习检测 一、解答题一、解答题 1按要求分别写出各对应点的坐标： 已知点 A（2,4） B（1,5） C（3,7） D（6,8） E（9,0） F（0,2） 关于 y 轴的对称 点 A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） E（ ） F（ ） 关于 x 轴的对称 点 A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） E（ ） F（ ） 2已知：线段 AB，并且 A、
14、B 两点的坐标分别为 （2，1）和（2，3） （1）在图 41 中分别画出线段 AB 关于 x 轴和 y 轴的对称线段 A1B1及 A2B2，并写出相 应端点的坐标 图 41 （2）在图 42 中分别画出线段 AB 关于直线 x1 和直线 y4 的对称线段 A3B3及 A4B4， 并写出相应端点的坐标 图 42 3如图 43，已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A （1，1），B （5，1），C （5，4）， D （2，4），分别写出四边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴对称的四边形 A1B1C1D1和 A2B2C2D2 的顶点坐标 图 43 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 4如图 44
15、，ABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 C 的坐标为（4，3），点 B 的坐标 为（3，1），如果要使ABD 与ABC 全等，求点 D 的坐标 图 44 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 5如图 45，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线 图 45 实验与探究： （1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为 （2，0），请在图中分 别标明 B （5，3）、C （2，5）关于直线 l 的对称点 B、C的位置，并写出它 们的坐标：B_、C_； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P （a，b）关于 第一、三象限
16、的角平分线 l 的对称点 P的坐标为_ （不必证明）； 运用与拓广： （3）已知两点 D （1，3）、E （1，4），试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标 测试测试 5 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 学习要求学习要求 掌握等腰三角形的性质， 并能利用它证明两个角相等、 两条线段相等以及两条直线垂直 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1_的_叫做等腰三角形 2（1）等腰三角形的性质 1 是_ （2）等腰三角形的性质 2 是_ （3）等腰三角形的对称性是_，它的对称轴是_ 图 51 3如图 51，根据已知条件，填写由此得出的结
17、论和理由 （1） ABC 中，ABAC， B_（ ） （2） ABC 中，ABAC，12， AD 垂直平分_（ ） （3） ABC 中，ABAC，ADBC， BD_（ ） （4） ABC 中，ABAC，BDDC， AD_（ ） 4等腰三角形中，若底角是 65，则顶角的度数是_ 5等腰三角形的周长为 10cm，一边长为 3cm，则其他两边长分别为_ 6等腰三角形一个角为 70，则其他两个角分别是_ 7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 20，则等腰三角形的底角等于_ 二、选择题二、选择题 8等腰直角三角形的底边长为 5cm，则它的面积是 （ ） A25cm2 B12.5cm2 C10cm2 D
18、6.25cm2 9等腰三角形的两边长分别为 25cm 和 13cm，则它的周长是 （ ） A63cm B51cm C63cm 和 51cm D以上都不正确 10ABC 中，ABAC，D 是 AC 上一点，且 ADBDBC，则A 等于 （ ） A45 B36 C90 D135 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 11已知：如图 52，ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 边上，且 ADAE 求证：BDCE 图 52 12已知：如图 53，D、E 分别为 AB、AC 上的点，ACBCBD，ADAE，DECE， 求B 的度数 图 53 13已知：如图 54，ABC 中，ABAC
19、，D 是 AB 上一点，延长 CA 至 E，使 AEAD 试确定 ED 与 BC 的位置关系，并证明你的结论 图 54 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 14已知：如图 55，RtABC 中，BAC90，ABAC，D 是 BC 的中点，AEBF 求证：（1）DEDF；（2）DEF 为等腰直角三角形 图 55 15在平面直角坐标系中，点 P （2，3），Q （3，2），请在 x 轴和 y 轴上分别找到 M 点 和 N 点，使四边形 PQMN 周长最小 （1）作出 M 点和 N 点 （2）求出 M 点和 N 点的坐标 图 56 测试测试 6 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 学习要求学习要求 掌握
20、等腰三角形的判定定理 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1等腰三角形的判定定理是_ 2ABC 中，B50，A80，AB5cm，则 AC_ 3如图 61，AEBC，12，若 AB4cm，则 AC_ 4如图 62，AB，CCDE180，若 DE2cm，则 AD_ 图 61 图 62 图 63 图 64 5如图 63，四边形 ABCD 中，ABAD，BD，若 CD1.8cm，则 BC_ 6如图 64，ABC 中，BO、CO 分别平分ABC、ACB，OMAB，ONAC，BC 10cm，则OMN 的周长_ 7ABC 中， CD 平分ACB， DEBC 交 AC 于 E， DE7cm，AE5
21、cm，则 AC_ 8ABC 中，ABAC，BD 是角平分线，若A36，则图中有_个等腰三角形 9判断下列命题的真假： （1）有两个内角分别是 70、40的三角形是等腰三角形（ ） （2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形（ ） （3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形（ ） （4）如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角 形（ ） 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 10已知：如图 65，ABC 中，BC 边上有 D、E 两点，12，34 求证：ABC 是等腰三角形 图 65 11已知：如图 66，ABC 中，ABAC，E
22、 在 CA 的延长线上，EDBC 求证：AEAF. 图 66 12已知：如图 67，ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，BF 平分ABC 交 CD 于 E，交 AC 于 F. 求证：CECF 图 67 13如图 68，在ABC 中，BAC60，ACB40，P、Q 分别在 BC、CA 上，并 且 AP、BQ 分别为BAC、ABC 的角平分线， 求证：BQAQABBP 图 68 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 14如图 69，若 A、B 是平面上的定点，在平面上找一点 C，使ABC 构成等腰直角三角 形，问这样的 C 点有几个？并在图 69 中画出 C 点的位置 图 69 15如图 610
23、，对于顶角A 为 36的等腰ABC，请设计出三种不同的分法，将ABC 分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形 图 610 测试测试 7 等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质 学习要求学习要求 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1如果一个三角形的两条高线相等 （如图 71），那么这个三角形一定是_ 图 71 2如图 72，在ABC 中，高 AD、BE 交于 H 点，若 BHAC，则ABC_ 图 72 3如图 73，ABC 中，ABAC，ADBD，ACCD，则BAC_ 图 73 4如图 74，在ABC 中，ABC
24、120，点 D、E 分别在 AC 和 AB 上，且 AEED DBBC，则A 的度数为_ 图 74 5 如图 75， ABC 是等腰直角三角形， BD 平分ABC ， DEBC 于点 E， 且 BC10cm， 则DCE 的周长为_cm 图 75 二、选择题二、选择题 6ABC 中三边为 a、b、c，满足关系式 （ab） （bc）（ca）_图 750， 则这个三角形一定为 （ ） A等边三角形 B等腰三角形 C等腰钝角三角形 D等腰直角三角形 7若一个三角形是轴对称图形，则这个三角形一定是 （ ） A等边三角形 B不等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 8如图 76，ABC 中，ABAC，
25、BAC108，若 AD、AE 三等分BAC，则图中等 腰三角形有 （ ） A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 图 76 图 77 9 等腰三角形两边 a、 b 满足ab2 （2a3b11） 20， 则此三角形的周长是 （ ） A7 B5 C8 D7 或 5 10如图 77，ABC 中，ABAC，BECD，BDCF，则EDF （ ） A2A B902A C90A DA o 2 1 90 三、解答题三、解答题 11已知：如图 78，AD 是BAC 的平分线，BEAC，EFAD 于 F. 求证：EF 平分AEB 图 78 12已知：如图 79，在ABC 中，CE 是角平分线，EGBC，交 AC
26、边于 F，交ACB 的外角 （ACD）的平分线于 G，探究线段 EF 与 FG 的数量关系并证明你的结论 图 79 13如图 710，过线段 AB 的两个端点作射线 AM，BN，使 AMBN，请按以下步骤画图 并回答 （1）画MAB、NBA 的平分线交于点 E，AEB 是什么角？ （2）过点 E 任作一线段交 AM 于点 D，交 BN 于点 C观察线段 DE、CE，有什么发 现？请证明你的猜想 （3）试猜想 AD，BC 与 AB 有什么数量关系？ 图 710 14已知：如图 711，ABC 中，ABAC，A100，BE 平分B 交 AC 于 E （1）求证：BCAEBE； （2）探究：若A10
27、8，那么 BC 等于哪两条线段长的和呢？试证明之 图 711 测试测试 8 等边三角形等边三角形 学习要求学习要求 掌握等边三角形的性质和判定 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1_的_叫做等边三角形 2等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有： （1）边的性质：_； （2）角的性质：_； （3）对称性：等边三角形是_图形，它有_ 对称轴 3等边三角形的判定方法： （1）三条边_的_是等边三角形； （2）三个角_的_是等边三角形； （3）_的等腰三角形是等边三角形 4含 30角的直角三角形的一个主要性质是_ 5判断下列命题的真假： 有一个外角是 120的等腰三角形
28、是等边三角形（ ） 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（ ） 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（ ） 三个外角都相等的三角形是等边三角形（ ） 6已知：如图 81，ABC 是等边三角形，AEBC 于 E，ADCD 于 D，若 ABCD， 则图中 60的角有_个 图 81 7如图 82，B、C、D 在一直线上，ABC、ADE 是等边三角形，若 CE15cm，CD 6cm，则 AC_，ECD_ 图 82 8如图 83，已知ABC 中，ABAC，BAC120，DE 垂直平分 AC 交 BC 于 D，垂 足为 E，若 DE2cm，则 BC_cm. 图 83 综合、运用、诊断综合
29、、运用、诊断 解答题解答题 9已知：如图 84，ABC 和BDE 都是等边三角形 （1）求证：ADCE； （2）当 ACCE 时，判断并证明 AB 与 BE 的数量关系 图 84 10如图 85，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CDCE，连接 DE 并延长至点 F，使 EFAE，连接 AF、BE 和 CF （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明； （2）求证：AFBD 图 85 11已知：如图 86，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CDAB，BC6cm，BAD 30，B90求 CD 的长_ 图 86 拓展、探究、思考拓展、探究、思考
30、 12（1）如图 87，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作 等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连接 AC 和 BD，相交于点 E，连接 BC，求 AEB 的大小； 图 87 （2）如图 88，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小 图 88 13已知：如图 89，ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，使 AEBD， 连接 CE、DE 求证：CEDE. 图 89 14已知：如图 810，四边形 ABCD 中，AB90，C60，CD2AD，AB 4 （1）在 AB 边上求作点 P，使 PCPD 最小； 图 810 （2）求出（1）中 PCPD 的最小值
