1、 - 1 - 2017-2018学年上期期末联考高二数学试题（理科） 注意： 1、 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120分钟。 2、全部答案在答题卡上完成 ,答在本试题上无效。 3、 每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 第 I卷 (共 60 分 ) 一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1、 若命题 “pq?” 为假，且 “p?” 为假，则 （ ） A“?” 为假 .Bq假 .Cq真 .D不能判断q的真假
2、 2.已知 ?na 是等差数列， 且 ? 321 aaa ? 3010?a ，则 ? 65 aa （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 3 在ABC?中，01, 3 , 60AB AC A? ? ? ?，则ABC?的面积为 （ ） A32B4C3或3D32或44.在如图所示的正方体 A1B1C1D1-ABCD中， E是 C1D1的中点，则异面直线 DE与 AC夹角的余弦值为 ( ) A 1010 B 120 C.120 D. 1010 5已知 32( ) 2 6f x x x x? ? ? ?，则 f（ x）在点 P（ 1,2）处的切线 与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A.4
3、B.5 C.254 D.132 6过抛物线 y2=8x 的焦点作直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 4，则AB 等于 （ ） A 12 B 8 C 6 D 4 7. 已知等差数列na满足 ,1 8 130,5 8a a?,则前 n项和nS取最大值 时， n的值为 A 20 B 21 C 22 D 23 - 2 - 8. )( xf 是 )(xf 的导函数， )( xf 的图象如右图所示，则 )(xf 的图象只可能是（ ） A B C D 9已知 ),( yxP 是抛物线 xy 82 ? 的准线与双曲线 128 22 ? yx 的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含
4、边界）的任意一点，则 yxz ?2 的最大值为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D.6 10如图： 060 的二面角的棱上有 BA, 两点，直线BDAC, 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB . 已知 ,8,6,4 ? BDACAB 则 CD 的长为 ( ) A 68 B 6 C 132 D 8 11. 若 21( ) ln ( 2 )2f x x b x? ? ? ? ?在 ( - 1 , + )上是减函数，则 b 的取值范围是（ ） A 1, )? ? B ( 1, )? ? C ( , 1? D ( , 1)? 12.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab?
5、 ? ? ?的左焦点为 F,椭圆 C与过原点的直线相交于 A、 B两点 ,连接 AF、 BF. 若 |AB|=10,| BF|=8， cos ABF=45 ,则 C的离心率为 ( ) A. 35 B. 57 C. 45 D. 67 第 卷 (共 90 分 ) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在答题卡相应的位置上。） 13设平面 与向量 a ( 1,2， 4)垂直，平面 与向量 b (2,3,1)垂直，则平面 与 的位置关系是 _ 14 已知三角形 ABC 的三 边长成公差为 2的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长是 . DCBA?- 3 - 15
6、、由函数 ,x ey e y x ex? ? ?所围成的封闭图形的面积为 。 16已知函数 f(x) = 1axx?-2lnx(a R)， g(x)= ax? ，若至少存在一个 x0 1， e，使得 f(x0)g(x0)成立，则实数 a的范围为 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应位置） 17、（本小题 满分 10分） 已知命题22: 4 6, : 2 1 0 ( 0 ) ,p x q x x a a? ? ? ? ? ? ?若非p是q的充分不必要条件， 求a的取值范围。 18. （本小题满分 12分） 已知 A 、 B 、
7、C 为 ABC? 的三内角，且其对边分别为 a 、 b 、c ，若 21s ins inc o sc o s ? CBCB （ ）求角 A 的大小； （ ）若 4,32 ? cba ，求 ABC? 的面积 19.（ 本小题满分 12分） ).(,1,13)(11 nn afaax xxf ? ?且满足：已知(1)求证 :?na1 是等差数列。 (2)?nb 的前 n 项和 12 ? nns , 若 ?2211 ababTn ? +nnab ， 求 nT 20.（本小题满分 12分） 如图所示，在四棱锥 P-ABCD中， PA 底面 ABCD, AD AB， AB DC， AD DC AP 2，
8、 AB 1，点 E为棱 PC的中点 用空间向量 进行以下证明和计算： (1)证明： BE DC； (2)求直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC上一点，满足 BF AC， 求二面角 F-AB-P的正弦值 - 4 - 21、（本小题满分 12） 已知点 ? ?2,0?A ，椭圆 C ： 12222 ?byax ? ?0?ba 的离心率为 23 ， F 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 332 ， O为坐标原点 . （ I）求椭圆 C 的方程； （ II）设过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P 、 Q两点，当 ? OPQ 的面积最大时，求直线 l的方程 .
9、22. （本 小 题满分 12 分） 已知 f（ x） =ax-lnx， a R. （ 1）当 a=1时，求曲线 f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （ 2）是否存在实数 a，使 f（ x）在区间（ 0， e的最小值是 3，若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由 - 5 - 高二理科数学参考答案及 评分标准 一选择题 : B B B D C A B D C A C B 二 填空题 :13.垂直 14. 15 15. eee 2? 16.? ?,0 17、 .解：? ?: 4 6 , 10 , 2 , | 10 , 2p x x x A x x x? ? ? ? ? ? ? ?
10、? ?或 或? 2分 22: 2 1 0 1 , 1 ,q x x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ?， 或? 4分 ? ?| 1 , 1B x x a x a? ? ? ? ?记 或而,p q A? ?B， 即121 10 , 0 30aaaa? ? ? ? ? ? ?新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆? 10分 18 （本小题满分 12分） 解： （） 21s ins inc o sc o s ? CBCB? 21)co
11、( ? CB 又 ? CB0? ， 3? CB ? CBA? ，32?A ? 6分 （）由余弦定理 Abccba co s2222 ? ，得 32c o s22)()32( 22 ? bcbccb 即： )21(221612 ? bcbc ， 4?bc 323421s in21 ? ? AbcS ABC ? 12 分 19、 （本小题满分 12分） 解 :(1) , , 则 , 是首项为 1,公差为 3的等差数列 ;? 4分 （ 2） Sn= 12?n 12 ? nnb 由 (1)知 的等差数列，公差为是首项是 311?na- 6 - 12)23(23 1231 ? nnnnn nabnana
12、 Tn= )1(2)23(27241 12 ? nn? )2(2)23(2)53(2422 12 nnn nnT ? ? （ 1） -（ 2）得：（ -nnnnnnT nT 2)53(5 2)23(232323112? ? 12 分 20. 依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得 ， ， ，。由 为棱 的中点，得 。 （ ）证明：向量 ， ，故 ，所以， 。 ? 4分 （ ）解：向量 ， 。设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，于是有 cos n， BEn BE|n| |BE|26 233 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 ? 8 分 （
13、）解：向量 ， ， ， 。由点 在棱上，设 ， 。故。由 ，得 ，因此，解得 ，即 。设 为平面 - 7 - 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量。取 平面 的法向量 ，则 cos n1， n2 n1 n2|n1| |n2| 310 13 1010 . sin n1， n2 1010 . 所以，二面角 F-AB-P的正弦值为 1010 .? 12 分 21、（ 1）设 ? ?ocF , ，由条件知， 3322?c ， 3?c ，又 23?ac ，所以 2?a 所以 C 的方程 14 22 ?yx ? 4分 （ 2）当直线 xl? 轴时不符合题意，设直线 l ： 2?kxy ，
14、 ? ?11,yxP ， ? ?22,yxQ ， 2?kxy 与 14 22 ?yx 联立得 ? ? 0121641 22 ? kxxk ? 6分 当 ，即 时， ， 。 所以 P Q = 212 1 xxk ? = 14 3414222? ? k kk ，又点 o 到直线 l 的距离 122 ? kd 所以 14 3442122? ? k kPQdS O P Q ? 8分 令 34 2 ? kt ，ttttSO P Q 44442 ?，当 2?t 时，即 27?k 时等号成立， 所以 l 的方程为 227 ? xy 或 227 ? xy ? 12 分 22（ 12 分）解：（） ? xxxf
15、 ln)( ? ， xxxxf 111)( ? ? 1分 切线的斜率是 1(2) 2f ? ，又切点是 ? ?2,2 ln2? ? 2分 切线的方程是： 2 2 2 ln 2 0xy? ? ? ? ? 4分 （）假设存在实数 a ，使 xaxxf ln)( ? （ ,0( ex? ）有最小值 3， - 8 - / 1()f x a x? xax1? ? 6分 当 0?a 时， )(xf 在 ,0( e 上单调递减， 31)()( m in ? aeefxf ， ea 4? （舍去），所以，此时 )(xf 无最小值 ? 8分 当 ea?10 时， )(xf 在 )1,0( a 上单调递减，在 ,1( ea 上单调递增 3ln1)1()( m in ? aafxf， 2ea? ，满足条件 ? 9分 当 ea?1 时， )(xf 在 ,0( e 上单调递减， 31)()( m in ? aeefxf ， ea 4? （舍去），所以，此时 )(xf 无最小值 ? 10分 综上，存在实数 2ea? ，使得当 ,0( ex? 时 ()fx有最小值 3? 12分
