1、 1 宜昌金东方高级中学 2017 年秋季学期期 末 考试 高二数学试题（理） 本试题卷共 4页，六大题 22小题。全卷满分 150分，考试用时 120分钟。 祝考试顺利 一、选择题： (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 )在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置 . 1.设复数 1z ai? （ a 是正实数），且 10z? ，则 12zi? 等于 ( ) A 1i? B 1i? C 1i? D 1i? 2若直线 ： + 与直线 ： 互相垂直，则 的值为（ ） A B C 或 D 1或 3.设 ? 、 ? 是两个不同的平面 ， l
2、、 m 为两条不同的直线，命题 p ：若平面 ? ? ， l ? ， m? ，则 l m ；命题 q ： l ? ， m l ， m? ，则 ? ? ，则下列命题为真 命题的是 （ ） A.p 或 q B.p 且 q? C. p 且 q D. p? 或 q 4. 已知 21 2001 , c o sM x d x N xd x? ? ?，由如右程序框图输出的S( ) A4?B?C 1 D 1? 5 下列有关命题的说法正确 的是 （ ） A命题 “ 若 12?x ，则 1?x ” 的否命题为： “ 若 12?x ，则 1?x ” ； B 命 题 “ 02, 2 ? xxRx ” 的 否 定 是
3、“ Rx? ，022 ?xx ” ； C. 命题 “ 若 yx? ，则 22 yx ? ” 的逆否命题是 假 命题； D. 已知 Nnm ?, ，命题 “ 若 nm? 是奇数，则 nm, 这两个数中一个为奇数，另一个为偶数 ” 的逆命题为 假 命题 . 2 6. 已知 O为坐标原点，点 A 的坐标是 ? ?3,2 ，点 ? ?yxP , 在不等式组?62623yxyxyx所确定的区域内（包括边界）上运动，则 OAOP? 的范围是 （ ） A.? ?10,4 B. ? ?9,6 C. ? ?10,6 D. ? ?10,9 7.已知直线 l 与双曲线 221xy?交于 BA、 两点，若线段 AB
4、的中点为 ? ?2,1C ，则直线 l 的斜率为（ ） A 2? B 1 C 2 D 3 8.图 1是某 地区 参加 2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为 A1、 A2、 ?A 10（如 A2表示身高在 150， 155 内的人数 。图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm（含 160cm，不含 180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ） A.i6 B.i7 C.i8 D. i9 9不等式 的解集记为 ，关于 的不等式 的解集记为 ，若 是的充分不必要条件，则实数 的取值范
5、围是（ ） A B. C D 10. 已知 aR? ，直线1 : 2 2l x y a? ? ?和直线2 : 2 2 1l x y a? ? ?分别与圆 :E ? ? ? ?2214x a y? ? ? ?相交于 AC、 和 BD、 ，则四边形 ABCD 的面积为 （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 11. 如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 棱长为 8 ,点 H 在棱 1AA 上，且 21?HA ，在侧面 11BCCB 内作边长为 2 的正方形 1EFGC ,P 是侧面 11BCCB 内一动点且点 P 到平面 11CDDC 距离等于线段 PF 的长，则当点 3 P
6、 运动时， 2|HP 的最小值是 ( ) A 87 B 88 C 89 D 90 12. 若 ? ?1 1 13sin 2 ( 0 , )2y x x ? ? ?，2256yx? )( 2 Rx?，则 221 2 1 2( ) ( )x x y y? ? ?的最小值为（ ） A 22? B 432? C 36252? D 652? 第卷 (非选择题，共 90分 ) 二、填空题： (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分 ) 13. 若不等式 2 10x kx k? ? ? ?对 (1,2)x? 恒成立，则实数 k 的取值范围是 14. 过抛物线 2 2 ( 0)x py p? 的焦点作斜
7、率为 1的 直线与该抛物线交于 ,AB两点， ,AB在 x 轴上的正射影分别为 ,DC 若梯形 ABCD 的面积为 122 ，则 p? 15 某校早上 8： 00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7： 30 7： 50 之间到校，且每人在该时间段的任 何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5分钟到校的概率为 _ (用数字作答 ) 16. 已知双曲线)0,0(1: 2222 ? babyax的右焦点为2F，)0,0)(,( 0000 ? yxyxM是双曲线 C 上的点，),( 00 yxN ?，连接MF并延长2交双曲线 C与点 P，连接PNNF,2，若PNF2?是以PNF2?为顶角的等
8、腰直角三角形，则双曲线 C的渐近线方程为 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70分 ) 17.(本小题 10分 )为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下： （ 1）估计该校男生的人数； （ 2）从样本中 身高在 180190cm 之间的 男生 中任选 2 人，求至少有 1人身高在 185190cm之间的概率 。 4 18 (本小题 12 分 )已知抛物线 C： 2 4yx? 点 P是其准线与 x 轴的交点，过点 P的直线 L与抛物线 C交于 A,B两 点。 (1)当线段 AB的中点在直线 x=7上，求直线 L的 方程；
9、 (2)设 F为抛物线 C的焦点，当 A为线段 PB 的中点时，求 FAB? 的面积。 19. (本小题 12 分 ) 在 边长为 3 的 正三角形ABC中， E、 F、 P分别是 AB、 AC、 BC边上的点，满足 AE:EB CF:FA CP:PB 1:2( 如图（ 1） )将 AEF? 沿 EF 折起到 1AEF? 的位置，使二面角 A1 EF B 成直二面角，连结 A1B、A1P(如图 （ 2） ) （ 1） 求证： A1E 平面 BEP； （ 2） 求 二面角 B A1P E的余弦值。 20. (本小题 12 分 )已知命题 P:函数 2lg( 2 1)y ax x? ? ?的 定义
10、域 为 R；命题 Q:不等式2( 2 ) 2 ( 2 ) 4 0a x a x? ? ? ? ?对任意实数 x 恒成立 。 若 QP? 是真命题， PQ? 是 假 命题 ； 求实数 a的取值范围 。 21 (本小题 12 分 ) 已知圆 22: ( 1) 1M x y? ? ?圆 22: ( 1) 9N x y?， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内 切 ， 圆 心 P 的 轨 迹 为 曲 线 C 。 图（ 1） 图（ 2） 5 （ 1 ） 求 C 的方程 ; （ 2） 若过点 （ 1,0） 的 直线 与曲线 C 交于 ,RS两点，问是否在 x 轴上存在一点 T ，使得当 k 变动时总有
11、OTS OTR? ? ? 若存在，请说明理由。 22. (本小题 12分 ) 已知函数 ( ) (xf x e e? 为自然对数的底数 ), ( ) ( , )2ag x x b a b R? ? ?。 （ 1）若 ( ) ( ) ( ), 1 2ah x f x g x b? ? ?且 4a? ，求 ()hx 在 ? ?0,1 上的最大值； （ 2）若 4a? 时，方程 ( ) ( )f x g x? 在 ? ?0,2 上恰有两个相异实根，求实数 b 的 取值 范围； （ 3）若 15 ,*2b a N? ? ? ，求使 ()fx的图像恒在 ()gx图像上方的最大正整数 a 。 (2.71
12、2.72)e? DCCDAB CCABAC 6 13. 2k? 14. 2 15932 16. 62yx? 17.(1)400人 （ 2） 35 18. 19.解 :(1)在图（ 5）中，取 BE的中点 D，连结 DF， AE EB CF FA 1 2， AF AD 2，而 A 60 ， ADF为正三角形 又 AE DE 1， EF AD.在图（ 6）中， A1E EF， BE EF， A1EB为二面角 A1 EF B的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角， A1E平面 BEP； ? 6分 (2)面 EA1P的法向量 ?1n=（ 3 , 1,0）；面 BA1P的法向量 ?2n=（ 3
13、， 1,2 3 ） 所以 cos ?1n， ?2n =? =41 ，所以二面角 B A1P E的大小的余弦值为 41 ? 12分 20. 当 P 为 真 时 ： 1a? ， 当 Q为 真 时 ： 22a? ? ? ， ? ? ? ?2,1 2,? ? 21.解： （ 1）得圆 M 的圆心为 ? ?1,0 ,M ? 半径 1 1;r? 圆 N 的圆心 ? ?1,0,N 半径 2 3.r? 设圆 P 的圆心为 ? ?,Pxy 半径为 .R 因为圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内 切 ， 所 以 1 2 1 2 4.P M P N R r r R r r? ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 由
14、椭圆的定义可知，曲线 C 是以 ,MN为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴为 3 的椭圆（左顶点 除外），其方程为 ? ?22 1243xy x? ? ? ?. ? 5分 （ 2）假设存在 ? ?,0Tt 满足 OTS OTR? ? .设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,R x y S x y 联立 ? ?2213 4 12 0y k xxy? ? ? ? ?得 ? ?2 2 2 23 + 4 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ?，由韦达定理有212 2212 28344 1234kxxkkxxk? ? ? ? ? ? ，其中 0? 恒成立， ? 7分 由 OTS OTR?
15、? (显然 ,TSTR 的斜率存在 )， 故 0TS TRkk?7 即 120yyx t x t? ，由 ,RS两点在直线 ? ?1y k x?上 ， 故 ? ? ? ?1 1 2 21 , 1y k x y k x? ? ? ?代入 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 2 11 2 1 22 1 211 =0k x x t x x tk x x t k x x tx t x t x t x t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即有 ? ? ?1 2 1 22 1 2 = 0x x t x x t? ? ? ? ? 9
16、分 将 代入 即有 ： ? ? ? ?2 2 2228 2 4 1 8 2 3 4 6 2 4 03 + 4 3 4k t k t k tkk? ? ? ? ? ? ， 要使得 与 k 的取值无关 ，当 且 仅 当 “ 4t? “ 时成立 ， 综上 所述存在 ? ?4,0T ， 使 得 当 k 变化时 ， 总有OTS OTR? ? . ? 12 分 22. 解 ：（ 1） 1 2ab? 时 ， ( ) e ( 1 )( )22x aah x x a? ? ? ? R， ( ) e ( 2 1)xh x x? ? ? ?， 12max 1( ) ( ) 22h x h e?（ 2） ( ) (
17、) ( ) e 2 ,xF x f x g x x b? ? ? ? ?) e 2,xFx? ? ()Fx在 (0,ln2) 上单调递减；在 (ln2, )? 上单调递增； ? 5分 ( ) e 2xF x x b? ? ?在 0,2 上恰有两个相异实根 ， 2( 0 ) 1 0( ln 2 ) 2 2 ln 2 0 2 2 ln 2 1( 2 ) e 4 0FbF b bFb? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 实数 m 的取值范围 是 (2 2ln 2,1m? ； ? ? 7分 （ 3） 由题设： 15, ( ) ( ) ( ) e 022x ax p x f x g x x? ? ? ? ? ? ? ?R ， （ ? ） ( ) e 2x apx? ?,故 ()px 在 ( ,ln )2a? 上单调递减；在 (ln , )2a ? 上单调递增 ，
