1、 1 2016 2017学年度 第一学期期末学分认定考试 高二 数学（理科） 试题（ B） 第 I卷 （共 50分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50分 .在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.在 中， ，则 A等于 ( ) A.120 B. 60 C. 45 D. 30 2.已知等差数列 满足 ，则 A. 2 B. 14 C.18 D. 40 3.设条件 条件 ,则 p是 q的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件； D既不充分也不必要条件 4. 双曲线 3x2 y2 3的渐近线方程是（ ） A y = 3 x B y = x C
2、y = x D y = x 5. 下列函数中，最小值为 4的是（ ） A B （ ） C D 6.设 满足约束条件 ,则 的最大值为（ ） A 5 B. 3 C. 7 D. -8 7.若点 A 的坐标是（ 4， 2）， F 是抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移动，为使得 |PA|+|PF|取得最小值，则 P点的坐标是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 2， 2） D（ 0， 1） 8.数列 的通项公式 ，则 数列 的前 10项和为（ ） 2 A B C D 9.若椭圆 交于 A、 B两点，过原 点与线段 AB中点连线的斜率为 ，则的值等于（ ） A. B. C. D
3、. 10.已知椭圆 + =1（ a b 0）与双曲线 =1 （ m 0， n 0）有相同的焦点（ c，0）和（ c， 0），若 c是 a， m的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中 项，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 第 卷（共 100分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11.已知等差数列 的前三项为 ，则此数列的通项公 式为 _ . 12.命题 ： ， 的否定为 _ 13.若 x是 1+2y与 1-2y的等比中项，则 xy 的最大值为 _ 14.抛物线 （ ）的焦点坐标是 _ 15.已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物
4、线 的焦点相同，则双曲线的标准方程为 _ 三、解答题 : 本大题共 6小题，共 75 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12分） 的内角 所对的边分别为 ， . （ 1）求 ； （ 2）若 求 的面积 . 17.（本小题满分 12分） 3 已知命题 ：方程 有两个不相等的实根，命题 ：关于 的不等式对任意的实数 恒成立，若 “ ” 为真， “ ” 为假，求实数 的取值范围 18.（本小题满分 12分） 设 为等比数列， 为其前 项和，已知 . （ 1）求 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 . 19 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： y2 2px
5、(p 0)过点 A(1， 2) （ 1）求抛物线 C的方程，并求其准线方程； （ 2）是否存在平行于 OA(O为坐标原点 )的直线 l，使得直线 l与抛物线 C有公共点且直线 OA 与l的距离等于 55？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由 20.（本小题满分 13分） 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为 21 万元。该公司第 n年需要付出设备的维修和工人工资等费用 的信息如下图。 （ 1）求 ； （ 2）引进这 种设备后，第几年后该公司开始获利； （ 3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 4 21 （本小题满分 14分） 已知点 是中心在
6、原点，长轴在 x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为，椭圆的左右焦点分别为 F1 和 F2 。 （ 1）求椭圆方程； （ 2）点 M在椭圆上，求 MF1F2面积的最大值； （ 3）试探究椭圆上是否存在一点 P，使 ，若存在，请求出点 P的坐标； 若不存在，请说明理由。 2016 2017学年度第一学期期末学分认定考试 高 二 数学 （理科） 试题（ B）参考答案 一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. A 9. D 10. B 二、填空题 11na=2n 3 12. :px? ? ?R ， 2 2 2 0xx? ? ? 13.1414. 1,04a?1
7、5.2214 12xy?三、解答题 16.（本小题满分 12分） (1) c o s c o s 2 c o sa C c A b A? s i n c o s s i n c o s 2 s i n c o sA C C A B A? 即 s in ( ) 2 s in c o sA C B A? -3分 又 sin( ) sinA C B?， -4分 则1cos 2A?， -5分 又 0 A ?， 3A ?-6分 (2)由余弦定理，得 2 2 2 2 c o sa b c bc A? ? ? ， 而 7, 2ab?，3A ?， -7分 得 27 4 2cc? ? ? ，即 2 2 3 0c
8、c? ? ? -9分 因为 0c? ，所以 3c? ， -10分 5 故 ABC? 面积为1 3 3sin22bc A ?. -12分 17. （本小题满分 12 分） 解：命题 p ：方程 2 10x mx? ? ? 有两个不相等的实根， 2 40m? ? ?，解得 2m? ，或 2m? ?3 分 命题 q ：关于 x 的不等式 ? ? ? ?2 2 1 1 0x m x m m? ? ? ? ?对任意的实数 x 恒成立， ? ? ? ?24 1 4 1 0m m m? ? ? ? ? ? ?，解得 1m? ?6 分 若 “ pq? ” 为真， “ pq? ” 为假， 则 p 与 q 必然一
9、真一假， ?8 分 2, 2,1,mmm ? ? ? ? ?或或2,1mm? ? ? ?解得 2m? ，或 21m? ? ? ?1 1分 ?实数 m 的取值范围是 2m? ，或 21m? ? ? ?12 分 18.（本小题满分 12分） 解：（ ）1 21nnaS? ?，-12 1, ( 2 )nna S n? ? ?112 ( ) 2 , ( 2 )n n n n na a S S a n? ? ? ? ?1 3 , ( 2)nna a n? ?-2分 3q? -3分 对于1 21nnaS? ?令 1,n? 可得2 1 12 1 3a a a? ? ?，解得1 1a?-5分 13nna ?-
10、6分 （ ）13nnna n ?-7分 211 2 3 3 3 3 nnHn ? ? ? ? ? ? ? ? 233 3 2 3 3 3 3 nn ? ? ? ? ? ? ? ? -8分 - 得21 132 1 3 3 3 3 313 nn n nnH n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-10分 6 2 1 1=344nn nH ? ?-12分 19（本小题满分 12 分） 解 ： (1)将 (1， 2)代入 y2 2px，得 ( 2)2 2p1 ， 所以 p 2. -2分 故所求的抛物线 C的 方程为 y2 4x，其准线方程为 x 1. -4分 (2)假设存在符合题意的直线
11、 l，其方程为 y 2x t， -5分 由 ? y 2x t，y2 4x 得 y2 2y 2t 0. -7分 因为直线 l与抛物线 C有公共点， 所以 4 8t0 ，解得 t 12. -8分 另一 方面，由直线 OA 与 l的距离 d55 ， 可得|t|515，解得 t 1. -10分 因为 1? ?12， ， 1 ? 12， ， 所以符合题意的直线 l存在，其方程为 2x y 1 0. -12分 20（本小题满分 13 分） 解：（ 1）由题意知，每年的费用是以 2为首项， 2为公差的等差数列，求得： 1 2 ( 1) 2na a n n? ? ? ?2 分 （ 2）设纯收入与年数 n的关系
12、为 f(n),则： 2( 1 )( ) 2 1 2 2 2 5 2 0 2 52nnf n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? 4分 由 f(n)0得 n2-20n+250 解得 1 0 5 3 n 1 0 5 3? ? ? ? 6 分 又因为 n N? ,所以 n=2,3,4,?18. 即从第 2年该公司开始获利 8 分 （ 3）年平均收入为n)n(f=20-25(n ) 2 0 2 5 1 0n? ? ? ? ?12 分 当且仅当 n=5时，年平均收 益最大 .所以这种设备使用 5年，该公司的年平均获利最大。 13 分 7 21 （本小题满分 14分） 解：（ ）设椭圆方程为12
13、222 ?byax. 由已知，.66,5 ? aceb2 分22222222 1 aba baace ?， 6151 2 ? a. 解得 62?a 4 分 所求椭圆方程为156 22 ?yx5 分 （ ）令 ),(11 yxM，则 |221|21 112121 yyFFS FMF ?7 分 551 ? y，故 |1y的最大值为 5 8 分 当 51 ?y时，21FMFS?的最大值为 5 。 9 分 （ ）假设存在一点 P, 使 021 ?PFPF， ,0,021 ? PFPF?21 PFPF?， 10 分 PF1F2为直角三角形， 42212221 ? FFPFPF 又 62221 ? aPFPF 12 分 2 ，得 ,20221 ? PFPF,521 21 ? PFPF即21FPFS?=5， 13 分 但由 （ 1） 得21FPFS?最大值为 5 ，故矛盾， 不存在一点 P, 使 021 ?PFPF14 分
