1、 1 2016-2017 学年黄陵中学高二普通班第一学期期末理科数学试题 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1.已知 数列 an为等差数列， 231 ?aa ，则 2a 等于（ ） A. 1 B. 1 C. 3 D.7 2.命题 “ 若 4? ，则 1tan ? ” 的逆否命 题是 ( ) A.若 4? ，则 1tan ? B.若 4? ，则 1tan ? C.若 1tan ? ，则 4? D.若 1tan ? ，则 4? 3 已知三点 P1(1， 1， 0)， P2(0， 1， 1)和 P3(1， 0，
2、1)， O 是坐标原点，则 | 321 OPOPOP | ( ) A. 2 B. 4 C. 32 D. 12 4. 3x? 是 2 9x? 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既充分又必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5.已知 ?a （ 2， 3， 1）， ?b （ 4， 6， x），若 ?a ?b ，则 x等于（ ） A. 10 B. 10 C. 2 D. 26 6.在等比数列 na 中， 20172020 8aa ? ，则公比 q 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7.命题 “ 对任意的 32 10x x x? ? ?R ， ” 的否定是
3、（ ） A. 不存在 32 10x R x x? ? ?， B. 存在 32 10x R x x? ? ?， C. 存在 32 10x R x x? ? ? ?， D. 对任意的 32 10x R x x? ? ? ?， 8.过点 P（ 0， -1）的直线与抛物线 yx 22 ? 公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或 2 9.已知 )2,3,1( -?a? ， )0,2,1(?b? ，则 ?ba? ( ) A. 5 B. 7 C. 3 D. 3110.在 ABC中，若 bccba 3222 ? ，则角 A的度数为 ( ) 2 A. 30 B. 150 C. 60 D.
4、 120 11.双曲线 22194yx?的渐近线方程 为 （ ） A. xy 49? B. xy94?C. xy32?D. xy 23? 12.已知向量 )1,0,2(?n? 为平面 ? 的一个法向量，点 A )1,2,1(? 在 ? 内，则 P )2,2,1( ? 到平面 ? 的距离为（ ） A. 55 B. 5 C. 25 D. 510 二、 填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 。 把答案填在答题卡的相应位置 13.抛物线 2 8yx? 的 准线方程 为 ； 14.设 ?a （ 1， 2， -3）， ?b （ 5， -7， 8），则 ?ba2 = ； 15.曲线 422 ?
5、yx 与 曲线 1922 ? yx 的交点个数 是 ； 16.已知向量 ?m ， ?n 分别为直线 l 和平面 ? 的方向向量、法向量，若 21,cos ?nm ? ，则直线 l 与平面? 所成的角为 ； 17.若命题 “ 存在 Rx? ， mxx ? 222 ” 为假命题，则实数 m 的取值范围是 。 三、 解答题：本大题共 5小题，共 65分 。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 。 18.（本小题 11 分）设命题 p ： 031 ?x，命题 q ： 0542 ? xx 。若 “ p 且 q ” 为假， “ p 或 q ”为真， 求 x 的 取值范围。 19.（本小题 13分）根据
6、下列条件求曲线的标准方程： （ 1）准线方程为 23?x 的抛物线； （ 2）焦点在 x 轴上， 且过点 (2,0) 、 (2 3, 6) 的双曲线。 20.（本小题 13 分） 如图 , 已知棱长为 4的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M， N， E， F分别是棱 A1D1， A1B1， D1C1， B1C1的中点，求证：平面 AMN3 平面 EFBD。 21.（本小题 14 分）已知椭圆 C： 12222 ?byax )0( ?ba 的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 22 。直线1?xy 与椭圆 C交于不 同的两点 M， N. （ 1） 求椭圆 C的标准方程； （ 2） 求线段
7、MN 的长度。 22. （本小题 14 分）如图，棱锥 P ABCD的底面 ABCD是矩形 ，PA 平面 ABCD， PA=AD=2， BD= 22 . （ 1）求证： BD 平面 PAC； （ 2） 求二面角 P CD B余弦值的大小； 答案 一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分 )。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D A C D B A D A 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）。 13 2?x 14.
8、（ 7， -3,2） 15.4 16. 060 17. m1 二、 解答题：解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 5小题，共 65分） 18.（本小题满分 11分） 解： 命题 p为真，则有 3?x ； 命题 q为真，则有 0542 ? xx ，解得 51 ? x . 由 “p 或 q为真 ， p且 q为假 ” 可知 p和 q满足： PDB CA4 p 真 q假、 p假 q真 所以 应有? ? 153 x或xx或? ? 51 3xx解得 531 ? xx 或 此即为当 “p 或 q为真， p且 q为假 ” 时实数 a的取值范围为 )5,31,( ? 。 19（本小题满分 13分）
9、 解（ 1）设抛物线的标准方程为 pxy 22? )0( ?p 。 其准线方程为 23?x ，所以有 232 ?p ，故 3?p 。 因此抛物线的标准方程为 xy 62? 。 （ 2） 设所求双曲线的标准方程为 12222 ?byax )0,0( ? ba ， 因为点 (2,0) ， (2 3, 6) 在双曲线上，所以点的坐标满足方程， 由此得?16121042222baba ， 解得?3422ba， 所求双曲线的方程为 134 22 ?yx。 20.（本小题满分 13分） 证法一 ：设正方体的棱长为 4，如图建立空间直角坐标系，则D(0， 0， 0)， A(4， 0， 0)， M(2， 0，
10、 4)， N(4， 2， 4)， B(4， 4，0)， E(0， 2， 4)， F(2， 4， 4) 取 MN的中点 K， EF 的中点 G， BD 的中点 O，则 O(2， 2， 0)，K(3， 1， 4)， G(1， 3， 4) MN (2， 2， 0)， EF (2， 2， 0)， AK ( 1， 1， 4)， OG ( 1， 1， 4)， MN EF ， OGAK? ， MN/EF， AK/OG， MN平面 EFBD， AK平面 EFBD， 平面 AMN平面 EFBD 证法二： 设 平面 AMN的法向量是 a (a1， a2， a3)，平面 EFBD的法向量是 b (b1， b2， b
11、3) 由 ,0,0 ? ? ANAM aa 5 得? ? ? ,042 ,0423231 aa aa 取 a3 1，得 a (2， 2， 1) 由 ,0b,0b ? ? BFDE ? 得? ? ? ,042 ,0423132 bb bb 取 b3 1，得 b (2， 2， 1) a b，平面 AMN平面 EFBD 21.（本小题满分 14分） 解：（ 1） 椭圆一个顶点 A(2,0),离心 率为 22 ， ?222222cbaaca解得 2?b 椭圆 C的方程为 124 22 ?yx 。 （ 2）直线 1?xy 与椭圆 C联立?124122 yxxy 消去 y 得 0243 2 ? xx ，设
12、 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN 则3421 ?xx，3221 ?xx3 544)(11 212212 ? xxxxMN。 22.（本小题满分 14分） 解： 方法一： 证：（ 1）在 Rt BAD中， AD=2， BD= 22 ， AB=2， ABCD为正方 形，因此 BD AC. PA平面 ABCD， BD?平面 ABCD， BD PA .又 PA AC=A BD平面 PAC. 解：（ 2）由 PA面 ABCD，知 AD为 PD在平面 ABCD的射影，又 CD AD， CD PD， 知 PDA为二面角 P CD B的平面角 . 又 PA=AD， PDA=450 . （ 3）
13、 PA=AB=AD=2， PB=PD=BD= 22 ，设 C到面 PBD的距离为 d， 由 PBDCBCDP VV ? ? ，有 dSPASPBDB C D ? ? 3131， 即 d? 02 60s i n)22(21312222131 ，得 332?d 方法二： 证：（ 1）建立如图所示的直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）、 D（ 0， 2， 0）、 P（ 0， 0， 2） . y z D P A B C x 6 在 Rt BAD中， AD=2， BD= 22 ， AB=2. B（ 2， 0， 0）、 C（ 2， 2， 0）， )0,2,2(),0,2,2(),2,0,0( ? BDACAP 0,0 ? ACBDAPBD ，即 BD AP， BD AC，又 AP AC=A， BD平面 PAC. 解：（ 2）由（ 1）得 )0,0,2(),2,2,0( ? CDPD . 设平面 PCD的法向量为 ),(1 zyxn ? ，则 0,0 11 ? CDnPDn ， 即? ? ? 0002 0220 x zy，? ?zyx 0故平面 PCD的法向量可取为 )1,1,0(1 ?n PA平面 ABCD， )01,0(?AP 为平面 ABCD的法向量 . 设二面角 P CD B的大小为 ?，依题意可得22c o s11 ?APnAPn? .
