1、 1 黄陵中学 高 二重点班期末考试数学（理） 试题 一、 选择题：（ 60分 =5分 12） 1 设 Ra? ，则“ 1?a ”是“ 12?a ”的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 2 已知互相垂直的平面?，交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则（ ） A.m l B.m n C.n l D.m n 3 命题 “ 存在 x (0， ) ， ln x x 1” 的否定是 ( ) A任意 x (0， ) ， ln x x 1 B任意 x?(0， ) ， ln x x 1 C存在 x (0， ) ， ln x x 1 D存在 x
2、?(0， ) ， ln x x 1 4 已知向量 13( , )22BA?uuv , 31( , ),22BC ?uuuv 则 ABC? A 300 B 450 C 600 D 1200 5 某高校调查了 200名学生每周的自习时间（单位：小时）， 制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5， 30，样本数据分组为 17.5， 20)， 20， 22.5)， 22.5,25)， 25，27.5)， 27.5， 30).根据直方图，这 200名学生中每周的自习时间不少于 22.5小时的人数 是（ ） A 56 B 60 C 120 D 140 6 登山族为了了解某山高 y(k
3、m)与气温 x( )之间的关系 ， 随机统计了 4次山高与相应的气温 ， 并制作了对照表： 气温 ( ) 18 13 10 1 山高 (km) 24 34 38 64 由表中数据 ， 得到线性回归方程 y 2x a(a R).由此请估计山高为 72 km 处气温的度数为 ( ) 2 A. 10 B. 8 C. 4 D. 6 7 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） A 20 B 24 C 28 D 32 8 已知函数 f(x) ax2 c， 且 f(1) 2，则 a的值为 ( ) A.1 B. 2 C. 1 D.0 9 已知曲线 y ln x的切线过原点，则
4、此切线的斜率为 ( ) A.e B. e C.1e D. 1e 10 函数 f(x) x2 2ln x的单调递减区间是 ( ) A.(0， 1) B.(1， ) C.( ， 1) D.( 1， 1) 11 函 数 f(x) ax3 bx2 cx d的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A.a0， b0， d0 B.a0， b0 C.a0， d0 D.a0， b0， c0， d0 12 若函数 f(x) kx ln x 在区间 (1， ) 单调递增，则 k的取值范围是 ( ) A.( ， 2 B.( ， 1 C.2， ) D.1， ) 二、 填空题（ 20 分 =5 分 4） 13已知函数
5、 f(x) axln x， x(0 ， ) ，其中 a为实数， f( x)为 f(x)的导函数 .若 f(1) 3，则 a的值为 _. 14 某次体检， 6 位 同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是 _（米） 15已知函数 ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x? 为 ()fx的导函数，则 (0)f? 的值为 _. 16 ,?是两个 平面， ,mn是两条直线，有下列四个命题： 3 （ 1）如果 , , / /m n m n? ，那么 ? . （ 2）如果 , / /mn? ，那么 mn? . （ 3）如
6、果 / / ,m? ? ? ，那么 /m? . （ 4）如果 / / , / /mn?，那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的 角相等 . 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题 的编号） 三、解答题 17. (本小题满分 12分 ) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D， E分别为 AB， BC的中点，点 F在侧棱 B1B上，且 11BD AF? ，1 1 1 1AC AB? . 求证：（ 1）直线 DE平面 A1C1F； （ 2）平面 B1DE平面 A1C1F. 18（本题满分为 12分） 如图 ，在已 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中，面 ABEF
7、为正方形， AF=2FD， 90AFD?，且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F都是 60 （ I）证明平面 ABEF? EFDC； （ II）求二面角 E-BC-A的余弦值 19（本小题 12分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 0,0.5）， 0.5,1），?4,4.5分成 9组，制成了如图 所示的频率分布直方图。 4 （ I）求直方图中的 a值； （ II）设该市有 30万居民，估计 全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数说明理由； （）估计居民月均用水量的
8、中位数。 20（本小题 12分） 已知函数 f(x) x3 4x2 5x 4. (1)求曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程 . 21.（本小题 12分） 设函数 3( ) 3 ( 0 )f x x ax b a? ? ? ?. （）若曲线 ()y f x? 在点 (2, ( )fx 处与直线 8y? 相切，求 ,ab的值； （）求函数 ()fx的单调区间与极值点 . 22（本 小题满分 10分） 下图是我国 2008年至 2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （）由折线图看出，可用线 性回归模型拟合 y与
9、 t的关系，请用相关系数加以说明； （）建立 y关于 t的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 . 附注： 参考数据： 71 9.32ii y? ?， 71 40.17iii ty? ?， 7 21 ( ) 0 .5 5ii yy? ?， 7 2.646. 5 参考公式：相关系数 12211( ) ( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt?， 回归方程 y a bt? 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( )( )()niiiniit t y ybtt?，=.a y bt? 6 黄陵中学高新部 高 二期末考试数学 （
10、理）答案 一、选择题：在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分 )。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A A D D C A C A A D 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）。 13_3_ 14_1.76_ 15_3_ 16_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6小题，共 70分） 17.（本小题满分 12分） （ 2）在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1 1 1 1AA ?平 面 A B
11、C 因为 11AC? 平面 1 1 1ABC ，所以 1 1 1AA?AC 又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,A C A B A A A B B A A B A B B A A B A A A? ? ? ?， 平 面 平 面 所以 11AC? 平面 11ABBA 因为 1BD? 平面 11ABBA ，所以 1 1 1AC BD? 又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1C F , C F ,B D A A C A A F A A C A F A? ? ? ?F ， 平 面 平 面 所以 1 1 1CFB D A?平 面 7 因为直线 11B
12、D B DE?平 面 ，所以 1BDE平 面 11.ACF?平 面 18.（本小题满分 12分） 【详细解答】（ I） ,AF FE AF FD?， A FECD? 面 ，又 AF ABFE? 面 , 所以平面 ABEF? EFDC； （ II）方法 1（向量法）以 E为坐标原点， EF， EB分别为 x轴和 y轴建立空间直角坐标系（如图），设 2AF? ，则 1FD? ，因为二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F都是 60 ，即 60 oEFD FEC? ? ? ?， 易得 (0,2,0)B , (2,2,0)A , 13( ,0, )22C ， 13(0 , 2 , 0 ) , ( 2
13、 , 0 , 0 ) , ( , 2 , )22E B B A B C? ? ? ? ?, 设平面 EBC 与平面 ABCD 的法向量分别为 1 1 1 1( , , )n x y z? 和 2 2 2 2( , , )n x y z? ，则 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1( , , ) ( 0 , 2 , 0 ) 2 01 3 1 3( , , ) ( , 2 , ) 2 02 2 2 2n E B x y z yn B C x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令 1 1x? ，则11 30, 3yz? ? ?， 1 3(1, 0, )3
14、n? ? ?由 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2( , , ) ( 2 , 0 , 0 ) 2 01 3 1 3( , , ) ( , 2 , ) 2 02 2 2 2n B A x y z xn B C x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，令 2 2z ? ，则2230, 2xy?， 1 3(0, , 2)2n?123 3 2 3( 1 , 0 , ) ( 0 , , 2 )2 1 93 2 3c o s ,191 3 2 1 9143 4 23nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以二面角 E-BC-A的余弦值为 2
15、1919? . 19.（本小题满分 12分） 8 【答案】 （） 0.30a? ；（） 36000 ；（）2.0420（本小题满分 12分） 解 (1) f( x) 3x2 8x 5， f(2) 1，又 f(2) 2， 曲线在点 (2， f(2)处的切线方程为 y 2 x 2，即 x y 4 0. (2)设曲线与经过点 A(2， 2)的切线相切于点 P(x0， x30 4x20 5x0 4)， f( x0) 3x20 8x0 5， 切线方程为 y ( 2) (3x20 8x0 5)(x 2)， 又切线过点 P(x0， x30 4x20 5x0 4)， x30 4x20 5x0 2 (3x20
16、8x0 5)(x0 2)， 整理得 (x0 2)2(x0 1) 0，解得 x0 2或 1， 经过 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y 4 0，或 y 2 0. 21（本小题满分 12分） （） ? ?233f x x a?, 9 曲线 ()y f x? 在点 (2, ( )fx 处与直线 8y? 相切， ? ? ? ? ? 20 3 4 0 4,24.8 6 828f a ababf? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（） ? ? ? ? ?230f x x a a? ? ?, 当 0a? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx在 ? ?,? 上单调递增， 此时函数
17、 ()fx没有极值点 . 当 0a? 时，由 ? ? 0f x x a? ? ? ?， 当 ? ?,xa? ? ? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx单调递增， 当 ? ?,x a a? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx单调递减， 当 ? ?,xa? ? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx单调递增， 此时 xa? 是 ()fx的极大值点， xa? 是 ()fx的极小值点 . 22（本小题满分 10分） 【答案】 （） 0.99r? ，说 明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t的关系；（） 1.82亿吨 10 （）由 331.1732.9 ?y 及（）得 103.02889.2)()(?71271 ?iiiiittyyttb ， 92.04103.0331.1? ? tbya . 所以， y 关于 t 的回归方程为： ty 10.092.0? ? . .10 分 将 2016年对应的 9?t 代入回归方程得： 82.1910.092.0? ?y . 所以预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 . .12分 考点： 线性相 关与线性回归方程的求法与应用
