1、初二培优第初二培优第八八讲讲 因式分解、图形变换回顾与提升因式分解、图形变换回顾与提升 一、考点回顾一、考点回顾 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A9a2（3+a）（3a） Bx22x（x2x）x C Dy（y2）y22y 2.已知 a+b2，则 a2+4bb2的值是（ ） A4 B3 C2 D1 3.多项式3x2y3z+9x3y3z6x4yz2的公因式是 4.若 x2+2（3m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则 m 的值为 5.若多项式 x2mx+n（m、n 是常数）分解因式后，有一个因式是 x3，则 3mn 的值为 6.如图，在 RtABC 中，ACB90，将A
2、BC 绕顶点 C 顺时针旋转得到ABC，M 是 AC 的中点，N 是 AB的中点，连接 MN，若 AC4，ABC30，则线段 MN 的最小值为 7. 把下列各式分解因式： （1）2a（xy）6b（yx） （2）（a22a+1）b（a1） （3）2x（yx）+（x+y）（xy） （4）16x4+81y4 8.如图 1，O 是等边ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，且 OA3，OB4，OC5，将BAO 绕点 B 顺 时针旋转后得到BCD，连接 OD 求：旋转角的度数 ； 线段 OD 的长 ； 求BDC 的度数 （2）如图 2 所示，O 是等腰直角ABC（ABC90）内一点，连接 OA、OB、O
3、C，将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD，连接 OD当 OA、OB、OC 满足什么条件时，ODC90？请给出证 明 二、二、典型例题中的方法归纳与提升典型例题中的方法归纳与提升 例 1.已知 ab，ab3 （1）求 ab2a2b 的值： （2）求 a2+b2的值： （3）已知 a+bk22，求非负数 k 的值 例 2.如图（1），已知ABC 是等腰直角三角形，BAC90，点 D 是 BC 的中点作正方形 DEFG， 使点 A、C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE、BG （1）试猜想线段 BG 和 AE 的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论： （2）将正方形 DEFG
4、 绕点 D 逆时针方向旋转一角度 后（090），如图（2），通过观察或 测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由： （3）若 BCDEm，正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转角度 （0360）过程中，当 AE 为最大值时，求 AF 的值 例 3（1）若 x1 是关于 x 的二次多项式 x2+2ax3a2的其中一个因式，求 a 的值及另一个因式 （2）若|a+b6|+（ab4）20，求a3b2a2b2ab3的值 （3）已知 a，b，c 分别是ABC 的三边长，且满足 2a4+2b4+c42a2c22b2c20，试确定ABC 的形 状 例 4.将
5、下列各式因式分解 （1）x2（m2）+y2（2m） （2）x2+2x15 （3）（a2+a）28（a2+a）+12 例 5（1）问题发现 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一条直线上，连接 BE 填空： AEB 的度数为 ； 线段 AD、BE 之间的数量关系为 （2）拓展研究 如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A、D、E 在同一条直线上， CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系， 并说明理由 （3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD 中，CD2，若点 P
6、满足 PD2，且BPD90，请直接写出点 A 到 BP 的距离 例 6已知，如图，在四边形 ADBC 中，ACBADB90，ADBD，探究 AC，BC，CD 三者 的关系 小明与小青同学合作探究时发现：将BCD 绕点 D，逆时针旋转 90到AED 处，点 B，C 分别落在 点 A，E 处（如图），易证CAE 为平角，再证CDE 是等腰直角三角形，所以 CECD，从而 得出关系 （1）写出证明的过程； （2）拓展规律：如图，ACBADB90，ADBD，若 ACm，BCn（mn），求 CD 的 长（用含 m，n 的代数式表示） （3）深化应用：如图，ACB90，ACBC，点 P 为 AB 的中点，
7、若点 E 满足 AEAC，CE CA，点 Q 为 AE 的中点，直接写出线段 PQ 与 AC 的数量关系 第第二二阶段学习检测阶段学习检测 时间：60 分钟 满分：100 分 一选择题（共一选择题（共 5 小题小题,每小题每小题 5 分，满分分，满分 25 分分） 1下列分解因式正确的是（ ） A2x2+4xyx（2x+4y） B4a24ab+b2（2ab）2 Cx3xx（x21） D3x25xy+xx（3x5y） 2下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ） Ax24 Bx2y2+2xy Cm2n21 Da24b2 3下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A1 个
8、B2 个 C3 个 D4 个 4在平面直角坐标系中，将点 P（3，2）向右平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度所得到的点 坐标为（ ） A（1，0） B（1，2） C（5，4） D（5，0） 5已知 x2+kx+4 可以用完全平方公式进行因式分解，则 k 的值为（ ） A4 B2 C4 D4 二填空题（共二填空题（共 7 小题小题，每小题，每小题 5 分，满分分，满分 35 分分） 6已知 a2，x+2y3，则 3ax+6ay 7分解因式：16a2（a2+4）2 8 如图， OAB 绕点 O 逆时针旋转 80得到OCD， 若A110， D40， 则 的度数是 9x210 x+21
9、可以分解为（x+n）（x7），则 n 10代数式 x2+（m1）xy+y2为完全平方式，则 m 11九年级某班有 48 名学生，所在教室有 6 行 8 列座位，用（m，n）表示第 m 行第 n 列的座位，新学期 准备调整座位设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移a， bmi，nj，并称 a+b 为该生的位置数若某生的位置数为 9，则当 m+n 取最小值时，mn 的最 大值为 12如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，AB10，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在边 AB 上 的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD
10、的延长线上的点 B 处，两条折痕与斜边 AB 分别交 于点 E、F，则 DF 的长为 三解答题（共三解答题（共 3 小题小题，满分，满分 40 分分） 13（每小题 5 分，共 20 分）分解因式： （1）2x218 （2）3m+6m23m3 （3）ax29a （4）（mn）29（m+n）2 14（10 分）如图，已知 A（2，0），B（0，4），将线段 AB 平移到第一象限得线段 AB，点 A 的横坐标为 5，若作直线 AB交 x 轴于点 C（4，0） （1）（3 分）求线段 AB 所在直线的解析式； （2）（3 分）直线 AB 上一点 P（m，n），求出 m、n 之间的数量关系； （3）（4 分）若点 Q 在 y 轴上，求 QA+QB的取值范围 15（10 分）类比探究： （1）（3 分）如图 1，等边ABC 内有一点 P，若 AP8，BP15，CP17，求APB 的大小；（提 示：将ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处） （2） （3 分）如图 2，在ABC 中，CAB90，ABAC，E、F 为 BC 上的点，且EAF45求 证：EF2BE2+FC2； （3） （4 分）如图 3，在ABC 中，C90，ABC30，点 O 为ABC 内一点，连接 AO、BO、 CO，且AOCCOBBOA120，若 AC1，求 OA+OB+OC 的值
