1、第二章 一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1不等关系不等关系常用不等式来表示2实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件ab是正数ab0abab等于零ab0abab是负数ab0ab3.重要不等式一般地，a，bR，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立4等式的性质(1) 性质1 如果ab，那么ba；(2) 性质2 如果ab，bc，那么ac；(3) 性质3 如果ab，那么acbc；(4) 性质4 如果ab，那么acbc；(5) 性质5 如果ab，c0，那么.5不等式的基本性质(1)对称性：abba.(2)传递性：ab，bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab，
2、c0acbc；ab，c0acbc.(5)加法法则：ab，cdacbd.(6)乘法法则：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn0(nN，n2)6基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当ab时，等号成立7.已知x、y都是正数，(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大8一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且
3、未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式9一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考1：不等式x2y20是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式10一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集思考2：类比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式x21的解集及其含义是什么？提示：不等式x21的解集为x|x1，该集合中每一个元素都
4、是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立11三个“二次”的关系设yax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式000解不等式y0或y0的步骤求方程y0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根画函数yax2bxc(a0)的图象得等的集不式解y0x|xx1_或xx2Ry0x|x1xx2思考3：若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则解得a，所以不存在a使不等式ax2x10的解集为R.12分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类
5、型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d为常数)法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1：0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式13(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0，c0a0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数yax2bxc若ax2bxck恒成立ymaxk若ax2bxck恒成立ymink14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认
6、真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解1作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是
7、目的，“变形”是关键.典例1：已知x1，比较3x3与3x2x1的大小解 3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)x1得x10，而3x210，(3x21)(x1)0，3x33x2x1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若ab0，cd0，e0，求证：.思路点拨可结合不等式的基本性质，分
8、析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果证明cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以，得.又e0，.3. 对基本不等式的理解1基本不等式 (a0，b0)反映了两个正数的和与积之间的关系2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.典例3：给出下面四个推导过程：a、b为正实数，22；aR，a0，a24；x、yR，xy0，22.其中正确的推导为()ABC DB 解a、b为正实数，、为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确aR，a0，不符合基
9、本不等式的条件，a24是错误的由xy0，得、均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确4.利用基本不等式比较大小1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab.典例4：(1)已知a，bR，则下列各式中不一定成立的是()Aab2 B.2C.2 D.(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_(1)D (2)a2b2c2abbcac解(1)由得ab2，A
10、成立；22，B成立；2，C成立；，D不一定成立(2)a、b、c互不相等，a2b22ab，b2c22ac，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac.5.利用基本不等式证明不等式1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系2先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且ab
11、c1，求证：9.思路点拨看到9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明证明a，b，cR，且abc1，33322232229.当且仅当abc时取等号，9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值思路点拨(1)看到求y4x2的最值，想到如何才能出现
12、乘积定值；(2)要求yx(12x)的最值，需要出现和为定值解(1)x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x0，y2x(12x)2.当且仅当2x12x，即x时，ymax.7.利用基本不等式求条件最值1本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有f(x)ax型和f(x)ax(bax)型典例7：已知x0，y0，且满足1.求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当
13、即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y)min18.8.利用基本不等式解决实际问题1在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案2对于函数yx(k0)，可以证明0x及x0上均为减函数，在x及x上都是增函数求此函数的最值时，若所给的范围含时，可用基本不等式，不包含时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋
14、网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即Smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyyy(6y)0y0.S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大9.不等式恒成立问题 对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法
15、根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数yax2bxc的函数值的集合为By|myn，则(1)yk恒成立ymink即mk；(2)yk恒成立ymaxk即nk.典例9：已知yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒成立，求a的取值范围思路点拨对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数yx2ax3a在2x2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x4时，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得a，与a4矛盾，不符合题意(2)当22，即4a4时，g(a)3a0，解得6a2，此时4a2.(3)当2，即a4时，g(a)222a3a7a0，解得a7，此时7a4.综上，a的取值范围为7a2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
