1、 1 嵊州市 高级中学 2016 学年第一学期期末 考试高二数学 试 题 命题范围：必修 2 选修 2-1 参考公式： 球的表面积公式： 24 RS ? ，其中 R 表示球的半径； 球的体积公式： ,34 3RV ? 其中 R 表示球的半径； 棱柱体积公式： ShV? ，其中 S 为棱柱底面面积， h 为棱柱的高； 棱锥体积公式： ShV 31? ，其中 S 为棱柱底面面积， h 为棱柱的高； 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 直线 yx? 的倾斜角是 ( ) A 6? B 4? C 2? D 43? 2 圆 ? ?
2、2 213xy? ? ? 的圆心坐标和半径分别是 ( ) A ? ?1,0 ,3? B ? ?1,0,3 C ? ?1,0 , 3? D ? ?1,0 , 3 3 在空间中，下列命题正确的是（ ） A 经过三个点有且只有一个平面 B 经过一个点和一条直线有且只有一个平面 C 经过一条直线和直线外一 点的 平面有且只有一个 D 经过一个点且与一条直线平行 的平面有且只有一个 4 已知圆 221 :1C x y?，圆 222 : ( 3 ) ( 4 ) 9C x y? ? ? ?，则圆 1C 与圆 2C 的位置关系是（ ） A 内含 B 外离 C 相交 D 相切 5 已知直线 1l ： 1 14y
3、x? ? ， 2l ： 2 2y k x?，则 “ 2k? ” 是 “ 12ll? ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 在空间直角坐标系中，点 ? ?2,1,4P ? 关于 x 轴的对称点的坐标为 （ ） A ? ?2,1, 4? B ? ?2, 1, 4? ? ? C ? ?2, 1,4? D ? ?2,1, 4? 7 若双曲线 12222 ?byax ( 0, 0)ab?的一条渐近线与直线 013 ?yx 平行，则此双曲线的离心率是（ ） 2 ABPA 3 B 22 C 3 D 10 8 如图，三棱锥 S - ABC 中，棱 ,SAS
4、BSC 两两垂直，且SA SB SC?，则二面角 A BC S?大小的正切值为（ ） A 1 B 22 C 2 D 2 9 已知 P 是抛物线 2 4yx? 上一动点，则点 P 到直线 : 2 3 0l x y? ? ? 和 y 轴的距离之和的最小值是 ( ) A. 3 B. 5 C 2 D. 5 1 10 如图， AB 是平面 ? 的 斜线段 ， A 为斜足，若点 P 在平面 ? 内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点 P 的轨迹是（ ） A 圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行直线 二 填空题：本大题共 7小题， 多空题每题 6分 ， 单空题每题 4分， 共 36分 11 已知平行直线 0
5、12:,012: 21 ? yxlyxl ，则 21,l 的距 离 _； 点 ? ?0,2 到直线 1l 的距离 12 双曲线 2 2 12x y?的焦距是 ，渐近线 方程是 13 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长 棱长等于 ，体积等于 14 已知圆 C的圆心 ? ?2,0 ，点 ? ?1A?， 1 在圆 C上 ，则圆 C的 方程是 ；以 A为切点的圆 C的切线方程是 15 如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1 平面 ABC。 若 AB=AC=AA1=1， BC=2 ，则异面直线 A1C与 B1C1 所成的角为 . 16 若棱长为 a 的正方体的表面积等于一个球的表面
6、积，棱长为 b 的正方体的体积等于该球的体积，则 ab， 的大小关系是 17 设 12FF， 分别为椭圆 2 2 13x y?的左、右焦 点，点 ,AB在椭圆上，若 125FA FB? ， 则点 A 的坐标是 俯视图侧视图正视图11 12BCA 1 C1B 1A3 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 18 （本小题满分 15分） 如图，直角三角形 ABC 的顶点坐标 ( 20)A?， ，直角顶点 (0, 2 2)B ? ，顶点 C 在 x 轴上，点 P为线段 OA 的中点 （）求 BC 边所在直线方程； （）圆 M 是 ABC的外接圆，求圆 M 的
7、方程 19（ 本小题 15分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，四边形 ABCD 是矩形，平 面 PCD? 平面 ABCD ， M 为 PC中点求证： （ ） PA 平面 MDB ； （ ） PD BC? 20（本小题 15分） 已知椭圆 E：2222 1(a 0)xy bab+ = 过点(0, 2），且离心率为22 ( )求椭圆 E的方程； ( )设直线1x my m R= - ?， ()交椭圆 E于 A， B两点， 判断点 G9( 4- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说 明理由 yxP O CBAPMD CBAxyBAOG4 21（本小题 15分） 如图，在四棱 锥 P
8、 ABCD? 中，底面为直角梯形 ， AD BC ， 090BAD?， PA? 底面 ABCD ，且 2PA AD AB BC? ? ?， ,MN分别为 ,PCPB 的中点 . ( )求证： PB DM? ； ( )求 CD 与平面 ADMN 所成的角 的 正弦值 . 22（本小题 14分） 已知平面上的动点 ? ?,Pxy 及两定点 ? ? ? ?2, 0 , 2, 0AB? ，直线 PA PB、 的斜率分别是 12kk、 ，且12 14kk? （） 求动点 P 的轨迹 C 的方程； （） 设直线 :l y kx m?与曲线 C 交于不同的两点 MN、 (1)若 OM ON? (O 为坐标原
9、点 )，证明点 O 到直线 l 的距离为定值，并求出这个定值； (2)若直线 BM BN、 的斜率都存在并满足 14BM BNkk?，证明直线 l 过定点，并求出这个定点 NPMDCBA5 嵊州市高级中学 2016学年第一学期期末考试 高二数学答题卷 命题范围：必修 2 选修 2-1 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A B D C D B 二 填空题：本大题共 7小题， 多空题每题 6分，单空题每题 4分 ，共 36分 11 255 55 ； 12
10、23, 22yx? ； 13 5 ， 23 ； 14 ? ?2 22 10xy? ? ?， 34yx?； 15 3? ； 16 ab； 17 ? ?0?， 1 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（本小题满分 15分） 如图，直角三角形 ABC 的顶点坐标 ( 20)A?， ，直角顶点(0, 2 2)B ? ，顶点 C 在 x 轴上，点 P 为线段 OA 的中点 （）求 BC 边所在直线方程； （） 圆 M 是 ABC的外接圆，求圆 M 的方程 解：（ 1） 2ABk ? ， （ 2分） 22BCk? ； （ 4分） 2 222B C x?直 线
11、 的 方 程 是 y= （ 7分） （ 2）由（ 1）可得 ? ?4,0C ， （ 9分） ? ?10M?圆 心 ， ， （ 11分） ? ? 2 219M x y? ? ? ?圆 的 方 程 是 （ 15分） yxP O CBA6 19（本小题 15分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，四边形 ABCD 是矩形，平 面 PCD? 平面 ABCD ， M 为 PC 中点求证： （ ） PA 平面 MDB ； （ ） PD BC? 证明： （ ） 连结 AC 交 BD 于 O ，连结 MO ， 2分 在 PAC 中， ,MO分别是 ,CPCA 的中点， MO? PA ， 5分 又 ,M O
12、M D B P A M D B?平 面 平 面 ? PA 平面 MDB 7分 （ ） 四边形 ABCD 是矩形， BC CD? 9分 又 平 面 PCD? 平面 ABCD , BC PCD?平 面 12分 而 PD PCD? 平 面 ,? PD BC? 15分 20（本小题 15分） 已知椭圆 E：2222 1(a 0)xy bab+ = 过点(0, 2），且离心率为22 ( )求椭圆 E的方程； ( )设直线1x my m R= - ?， ()交椭圆 E于 A， B两点， 判断点 G( 4- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由 解： ( )由已知得 2 2 22,2 ,2
13、,bcaa b c =+解得222abc = = =， 所以椭圆 E的方程为142xy+= 7分 PMD CBAxyBAOG7 ( )设点1 1 2 2( y ), B ( , y ),A x x，则1 1 2 299G A ( , ) , G B ( , ) .44x y x y= + = +由22221( m 2) y 2 3 0 ,142x m ymyxy =-+ - - = +=得所以1 2 1 22223y + y = , y y =m 2 m 2m+ ，从而1 2 1 2 1 2 1 29 9 5 5G A G B ( ) ( ) ( m y ) ( m y )4 4 4 4x x
14、 y y y y= + + + = + + +2221 2 1 2 225 25 5 3 ( m + 1 ) 25( m + 1 ) y ( y )4 16 2( m 2) m 2 16mm y= + + + = - +2217 2 016(m 2)m +=+所以c os G A , G B 0 , G A G B狁 又 ，不共线，所以AGB为锐 角 . 故点 G9( 4- ,0)在以 AB为直径的圆外 15分 21（本小题 15分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形 ,AD BC, BAD=90 ,PA底面 ABCD，且 PAAD=AB=2BC,M、 N分别为 PC、 PB的
15、中点 . ( )求证： PB DM； ( )求 CD与平面 ADMN所成的角正弦值 . （ I）因为 N 是 PB 的中点， PA PB? ， 所以 AN PB? . 因为 AD? 平面 PAB ，所以 AD PB? ， 从而 PB? 平面 ADMN . 因为 DM? 平面 ADMN ， 所以 PB DM? . 7 分 （ II）取 AD 的中点 G ，连结 BG 、 NG ， 则 /BG CD ， 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等 . 因为 PB? 平面 ADMN ， 所以 BGN? 是 BG 与平面 ADMN 所成的角 . 在 Rt BGN? 中， NPMDCBA8 10s in 5BNBN G BG? ? ?. 故 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值 105 . 15分 22（本小题 14分） 已知平面上的动点 ? ?,Pxy 及两定点 ? ? ? ?2, 0 , 2, 0AB? ，直线 PA PB、 的斜率分别是 12kk、 ，且12 14kk? （） 求动点 P 的轨迹 C 的方程； （） 设直线 :l y kx m?与曲线 C 交于不同的两点 MN、
