1、 - 1 - 2016 2017学年期末检测高二数学 (理 )试题 第 卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1. 已知集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 2. 设复数满足 ，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析： ,综上所述 , 故选 A. 考点：复数加减乘除法的运算 . 3. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由离心率为 ， 得 ， 所以渐近线的方程为， 故选 B. 4. 设 ，向量 ，且
2、，则 A. -4 B. C. D. 20 【答案】 D 【解析】 a (1， x)， b (2， 6)且 a b， 6 2x 0， x 3， a (1， 3)， a b 20，故选 D 5. 下列四个结论： 若 “ ” 是真命题，则 可能是真命题； - 2 - 命题 “ ” 的否定是 “ ” ； “ 且 ” 是 “ ” 的充要条件； 当 时，幂函 数 在区间 上单调递减 .其中正确的结论个数是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】 B 【解析】 若 是真命题，则和同时为真命题， 必定是假命题； 命题 “ ” 的否定是 “ ” ； “ 且 ” 是 “ ” 的充分不必要条件；
3、，当 时， ，所以在区间 上单调递减 . 选 B 6. 在单调递减等差数列 中，若 ，则 A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】 B 【解析】 由题知， a2 a4 2a3 2，又 a2a4，数列 an单调递减， a4， a2 公差 a1 a2 d 2故选 B. 7. 从 4 名男生和 2名女生中任选 3 人参加某项活动，则所选的 3人中女生人数不少于 1人的概率是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意可知所选人中女生人数不超过人，则包括女生有一个人和女生有零个人 ， 当女生有一个人时的概率 ， 当女生有零个人时的概率 ，所以事件的概率为 ， 故选 A. 8. 把边长为
4、1的正方形 ABCD沿对角线 BD折起，形成的三棱锥 A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为 - 3 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意及三视图可知，平面 平面 ， 设 的中点为 ， 则 可得 平面， 所以 ， 由勾股定理可得 ，该几何体的表面积是两个等腰直角三角形与那两个正三角形面积之和，即 ， 故选 B. 9. 函数 的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】因为函数 y=f(x)= 可化简为 ， 可知函数为奇函数关于原点对称，可排- 4 - 除答案 C； 同时有 y= 故函数在 x(0, )时 0,则 x(0, )上单调递增，排
5、除答案 A和 D， 故选： B. 点睛：识别函数的一般主要观察以下几点：定义域，奇偶性，单调性，特殊值，端点值，极限等等 . 10. 如果函数 在区间 D上是增函数，且 在区间上是减函数，则称函数 在区间 D上是缓增函数，区间 D叫做缓增区间 .若函数 在区间 D上是缓增函数，则缓增区间 D是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析： 在 上是增函数， 在 上是减函数 的缓增区间为 . 考点： 1、函数的单调性； 2、导数的应用 . 【方法点晴】本题考查函数的单调性、导数的应用，涉及函数与方程 思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合
6、性较强，属于较难题型 . 首先利用数形结合思想由 在 上是增函数，在 上是减函数 的缓增区间为 . 11. 若函数 在区间 上不是单调函数，则函数 在 R上的极大值为 A. B. C. 0 D. 【答案】 D 【解析】 ， 在区间 上不单调， ， 在 上递增，在 上递减， 在上的极大值为 ，故选 D. 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题 .求函数- 5 - 极 值的步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求导数 ； (3) 解方程 求出函数定义域内的所有根； (4) 列表检查 在 的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在处取极大值，如果
7、左负右正（左减右增），那么 在处取极小值 . 12. 已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】已知 ， 则 ，当 时， 恒成立，即 ，令 ， 易知 因此 . 故选 A. 点睛：函数 ，若 是函数 的唯一极值点等价于其导函数有唯一 的可变零点，故此题本质还是零点问题，在导函数中不难发现 已经是可变零点，问题转化为当时， 恒成立，然后通过变量分离的方法，最终归结为函数的最值问题，问题迎刃而解 . 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. _. 【答案】 0 【解析】 ， ， 故答案为 . 14. 曲线 在点
8、处的切线方程为 _. 【答案】 x y 1 0 【解析】由 ， 得 ， 即曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 则曲线 在点 处的切线 方程为， 整理得 ， 故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于中档题 .求曲线切线方程的一般步骤是：（ 1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（ 2）由点斜式求得切线方程. - 6 - 15. 若将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数的图象，则的最小值为 _. 【答案】 【解析】 ，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到 的图象 ， 而， 所以 ， ， 可得 ， 故
9、答案为 . 16. 已 知函数 ，其中是自然对数的底数，若 ，则实数的取值范围为 _. 【答案】 【解析】函数 的导数为 ， 可得在上递增，又 ，可得 为奇函数，则 ， 即有 ， 即有 ，解得 ，故答案为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17. 已知命题 P:函数 是增函数，命题 Q: （ 1）写出命题 Q的否命题 ，并求出实数的取值范围，使得命题 为真命题； （ 2）如果 是真命题， 是假命题，求实数的取值范围 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析： （ 1）否命题 ， 就是把命题的条件和结论都否定，联系对应二次
10、函数图象，由 ， 解得的取值范围；（ 2） 命题和命题中 ， 一个真命题，一个为假命题，分命题真命题且是假命题、命题是假命题且是真命题，两种情况，计算可得答案 . 试题解析：（ 1） ： ， 若 为真命题，则 解得： 或 故所求实数的取值范围为： - 7 - （ 2）若函数 是增函数，则 又 为真命题时，由 的取值范围为 由 “ ” 为真命题， “ ” 为假命题，故命题、中有且仅有一个真命题 当真假时，实数的取值范围为： 当假真时，实数的取值范围为： 综上可知实数的取值范围： 18. 如图，在长方体 中， 为 的中点 . （ 1）求证： ; （ 2）若二面角 的大小为 ，求 的长 . 【答案】
11、（ 1）见解析；（ 2） AD 2 【解析】试题分析： （ 1） 以为原点， 为轴 ， 为轴 ， 为轴 ， 建立空间直角坐标系，根据 能证明 ；（ 2） 求出平面 的法向量和平面 的法向量，根据两法向量的数量积为零可求出 的长 . 试题解析：（ 1）证明：以 D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设 AD a，则 D(0,0,0)， A(a,0,0)， B(a,1,0)， C(0,1,0)， B1(a,1,1)， C1(0,1,1)， D1(0， 0,1)， E ， (0， 1， 1)， ， 则 ， C1D D1E (注：可采用几何法证明。 ) - 8 - （ 2）设平面 AD1E
12、的法向量为 n (x， y， z)， ， ( a,0,1)， 则 平面 AD1E的一个法向量为 n (2， a,2a)， 设平面 B1AE 的法向量为 m (x ， y ， z) ， ， (0,1,1)， 则 平面 B1AE 的一个法向量为 m (2， a， a) 二面角 B1AED1的大小为 90 ， m n， m n 4 a2 2a2 0， a 0， a 2，即 AD 2 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， A是椭圆的上顶点，直线 交椭圆于另一点 B. （ 1）若 ，求椭圆的离心率； （ 2）若 ，求椭圆的方程 . 【答案】（ 1） ；（ 2） 1 【解析】试题分析：（ 1）根据 推
13、断出 为等腰直角三角形，进而可知 ，求得 b和 c的关系，进而可求得 a和 c的关系，即椭圆的离心率；（ 2）根据题意可推断出 A，和两个焦点的坐标，设出 B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求 得 x和 y 关于 c的表达式，代入椭圆方程求得 a和 c的关系，利用 求得 a和 c的关系，最后联立求得 a和 b，则椭圆方程可得 试题解析：（ 1）若 ,则 为等腰直角三角形，所以 ，即 ，所以- 9 - 既有 ，综上可得 ，从而 ，所以椭圆方程为 考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质 20. 设等差数列 的公差 ，且 ，记 （ 1）用 分别表示 ，并猜想 ； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 . 【
14、答案】 （ 1） Tn .；（ 2）见解析 . 【解析】试题分析： （ 1）分别求出 的值，观察共有性质 ， 从而可归纳猜想出 ； （ 2） 根据数学归纳法的基本原理， 当 n 1时，验证猜想正确 ， 假设当 n k时 (k N*)时结论成立，证明当 n k 1时结论正确即可 . 试题解析：（ 1） T1 ； T2 ； T3 由此可猜想 Tn . （ 2）证明： 当 n 1 时， T1 ，结论成立 假设当 n k时 (kN *)时结论成立， 即 Tk . - 10 - 则当 n k 1时， Tk 1 Tk . 即 n k 1时，结论成立 由 可知， Tn 对于一切 nN *恒成立 21. 已知 （ 1）求函数 在区间 上的最小值； （ 2）对一切实数 恒成立，求实数的取值范围； （ 3）证明：对一切 ， 恒成立 . 【答案】 （ 1） ;（ 2） 4；（ 3）见解析 . 【解析】试题分析： （ 1） 求出 ， 分三种情况讨论，分别令 得增区间， 得减区间 ， 从而可得函数 在区间 上的最小值 ；（ 2） 等价于， 只需以 即可； （ 3） 问题等价于证明 ， 由的最小值是 ， 最大值为 . 试题解析：（ 1） ，当 ， ， 单
