1、 - 1 - 2016 2017学年度第二学期期末考试试卷 高二文科数学 （时量： 120分钟，满分； 150分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设回归方程为 ，则变量增加一个单位时（ ） A.平均增加个单位 B.平均增加个单位 C.平均减少个单位 D.平均减少个单位 【答案】 C 【解析】由回归方程的解析式可得：变量增加一个单位时，平均减少个单位 . 本题选择 C选项 . 2. 复数 为纯虚数，则（ ） A. m=1或 m= 3 B. m=1 C. m= 3 D. m=3 【答案】 C 【解析】复数为纯虚
2、数，则： ，解得： . 本题选择 C选项 . 3. 圆 的圆心坐标是（ ） A. （ 1，） B. （，） C. （ ，） D. （ 2，） 【答案】 A 【解析】将方程 两边都乘以得： ， 化成直角坐标方程为 .圆心的坐标为 . 化成极坐标为 . 本题选择 A选项 . 4. 将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将其纵坐标伸长到原来的 3倍（横坐标不变 ）得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. y=3f(2x) C. D. 【答案】 B - 2 - 【解析】将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 所得函数的解析式为
3、： ， 再将其纵坐标伸长到原来的 3倍（横坐标不变）得到的图象对应的函数解析式为 . 本题选择 B选项 . 5. 回归分析中，相关指数 R2的值越大，说明残差平方和（ ） A. 越小 B. 越大 C. 可能大也可能小 D. 以上全都 不对 【答案】 A 【解析】试题分析：相关系数越大，则相关性越强。即数据的残差平方和越小。 考点：线性相关关系的判断。 6. 若执行下面的程序框图，输入 ，则输出的等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：程序在执行过程中， 的值依次为 ； ； ； ，此时不满足 ，输出 考点：程序框图 . 7. 复数 的虚部是（ ） - 3 - A. B
4、. C. D. 【答案】 B 【解析】 : 复数的除法，相当于根式中的分母有理化， 属于简单运算 . 8. 下面几种推理是合情推理的是（ ） 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 归纳出所有三角形的内角和是 ； 一班所有同学的椅子都坏了，甲是 1班学生，所以甲的椅子坏了； 三角形内角和是 ，四边形内角和是 ，五边形内角和是 ，由此得出凸边形内角和是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质； 为归纳推理，符合归纳推理的定义，即 是由特殊到一般的推理过程； 为演绎推理； 为归纳推理，符合归纳推理的
5、定义，即是由特殊到一般的推理过程。 本题选择 A选项 . 点睛： 合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的 9. 满足条件 |z i|=|3+4i| 的复数 z在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 【答案】 C 【解析】题中所给条件即： ， 由复数的模的几何意义可得： 复数 z在复平面上对应点表示与点所对应的点距离为 的点的轨迹方 程； 据此可得对应点的轨迹是圆 . 本题选择 C选项 . - 4 - 10. 已知点（ x,y）满足曲线方程 （ 为参数），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 【
6、答案】 D 【解析】消去参数可得曲线的方程为： ，其轨迹为圆， 目标函数 表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图所示，数形结合可得：的最小值是 1. 本题选择 D选项 . 点睛： (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法 (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想 方法，给目标函数赋于一定的几何意义 11. 在参数方程 (为参数 )所表示的曲线上有 B、 C两点，它们对应的参数值分别为 ，则线段 BC 的中点 M对应的参数值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：因为、两点在 为参数）上，所以线段 的中点的坐标为 - 5 - ，故选 B.
7、 考点：曲线的参数方程 . 12. 设 ABC 的三边长分别为 ， ABC 的面积为，内切圆半径为，则 类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 ，四面体 的体积为，内切球的半径为，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的 4个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 考点：类比推理 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. 极坐标方程 化为直角坐标方程是 _ 【答案】 【解析】极坐标方程即： ， 则直角坐标方程是 . 1
8、4. 曲线 在点 处的切线方程为 _ 【答案】 1 【解析】由题意可得： ，则 ， 函数在 处的函数值： ， 据此可得，切线方程过点 ，切线的斜率为 ， 切线方程为： . 点睛： 在求切线方程时，应先判断已知点 Q(a， b)是否为切点，若已知点 Q(a， b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程 15. 直线 被圆 所截得的弦长为_ 【答案】 - 6 - 【解析】试题分析：根据题意，由于直线 被圆，圆心为（ 3， -1），半径为 5，那么圆心到直线的距离为 ,那 么根据圆的半径和弦心距和半弦长的勾股定理可知，半弦长为 ，因此弦长为 ，故答案为
9、。 考点：直线与圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。 16. 半径为 r的圆的面积 s(r)= ，周长 c(r)=2 ，若将 r看作 上的变量，则=2 式可用文字语言叙述为，圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；对于半径为 R的球，若将 R看作 上的变量，请你写出类似于 的式子 _ 该式可用文字语言叙述为 _ 【答案】 (1). (2). 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 【解析】结合球的表面积、体积公式可得： 类似于 的式子为 该式可用文字语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证
10、明过程或演算步骤） 17. 已知数列 满足 ，且 （ ? ，） () 求 的值，并猜想出这个数列的通项公式； () 求 的值 【答案】 ; . 【解析】试题分析： (1)由题意求得 ，猜想 ； (2)裂项求和可得 . 试题解析： 猜想 - 7 - 18. 已知曲线的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 （为参数） . （ ）写出曲线的直角坐标方程与直线的普通方程； （ ）设直线与曲线相交于 两点，求 两点之间的距离 【答案】 C , : ;（ 2） 【解析】试题分析： (1)极坐标方程化简可得直角坐标方程为： ； 消去参数可得直线的普通方程为. (
11、2)利用弦长公式可得 两点之 间的距离为 . 试题解析： 曲线 C的直角坐标方程为： 直线的普通方程为 （ 2）圆心到直线的距离： ，则弦长为： ,即 . 19. () 请用分析法证明： () 已知 为正实数，请用反证法证明： 与 中至少有一个不小于 2 【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 . 【解析】试题分析： (1)利用所给的不等式的特点两边平方证明所给的不等式即可； (2)假设 ，结合题意找到矛盾，据此即可证得题中的结论 . 试题解析： （ 1）要 证 只要证 - 8 - 即 证 而上式显然成立，故 原不等式成立 . （ 2）假设结论不成立，则 ， 所以 ，即 ， 即 ，矛盾！ 故假
12、设不成立，所以 与 中至少有一个不小于 2. 点睛： 一是分析法是 “ 执果索因 ” ，特点是从 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步靠拢 “ 已知 ” ，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，； 20. 近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇， 2016年双 11期间，某购物平台的销售业绩高达一千多亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6， 对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80次 () 请完成如下列联表； () 是否可以在犯错误的概率不超过
13、 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ () 若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200次交易中取出 5 次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率 - 9 - （ ，其中 ） 【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析；（ 3） . 【解析】试题分析： (1)由题中所给条件完成列联表即可； (3)利用古典概型公式可得只有一次好评的概率为 . 试题解析： (1)由题意可得关于商品和服务评价的 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 (2) ， 故可以认为在犯错误的概率不
14、超过 0 1%的前提下，商品好评与服务好评有关； （ 3）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200次交易中取出 5次交易，则好评的交易次数为 3次，不满意的次数为 2次，令好评的交易为，不满意的交易为，从 5次交易中，取出 2次的所有取法为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共计 10种情况，其中只有一次好评的情况是 ， ， ， ， ， ，共计 6种，因此，只有一次好评的概率为 . 21. 如图所示 , 四棱锥 底面是直角梯形 , 底面 ,为 的中点 , . - 10 - () 证明 : ; () 证明 : ; () 求三棱锥 的体积 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析；（ 3） . 【解析】试题分析： (1)由题意可证得 ,结合线面平行的判断定理即可证得 ; (2)利用题意结合线面垂直的判断定理即可证得题
