1、 1 2016-2017 学年度第二学期期末考试 高二数学 (理科 )试题 满分： 150分 时间： 120分钟 第 卷 （选择题，共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 用反证法证明命题 “ 若 N 可被 整除，那么 中至少有一个能被 整除 ” 那么假设的内容是（ ） A. 都能被 整除 B. 都不能被 整除 C. 有一个能被 整除 D. 有一个不能被 整除 【答案】 B 【解析】试题分析：反证法中，假设 的应该是原结论的对立面，故应该为 a， b都不能被 5整除 . 考点：反证法 . 2. 有一
2、回归方程为 =2 ，当 增加一个单位时（ ） A. y平均增加 2个单位 B. y平均增加 5个单位 C. y平均减少 2个单位 D. y平均减少 5个单位 【答案】 D 【解析】 因为 是回归直线方程 斜率的估计值，说明变量 每增加 个单位 ，平均减少 个单位 ， 故选 D. 3. 已知复数 ，则 （ ） A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 【答案】 A 【解析】试题分析： ，故选 A 考点：复 数的基本运算 . 4. 函数 f(x)=ax3+3x2+2,若 ,则 a的值是（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：因为 f(x)=ax3+3x2+2，所以 ，
3、又 f( -1)=4，即 3a 6=4，所以 a的值为 ，故选 D。 考点：本题主要考查导数的概念，导数的计算。 点评：简单题，利用导数公式先求导函数，再求导数值。 . 5. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 ，乙解决这个问题的概率是 ，那么恰好有 1人解决这个问题的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】略 6. 函数 ，已知 在 时取得极值，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 D 【解析】试题分析：对函数求导可得， ， 在 时取得极值， ,得 故答案为： D. 考点：函数的导数与极值的关系 . 7. 设两个正态分布 和
4、的密度函数图像如图所示。则有 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 从正态曲线的对称轴的位置看，显然 ， 正态曲线越 “ 痩高 ” ， 表示取值越3 集中， 越小， 故选 A. 8. 一工厂生产的 100 个产品中有 90个一等品， 10个二等品，现从这批产品中抽取 4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】解：解：从这批产品中抽取 4个，则事件总数为 个， 其中恰好有一个二等品的事件有 个， 根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为 9. 已知随机变量 ，且 ， ，则 与 的值分别为 （ ） A. 16与 0.8 B.
5、20与 0.4 C. 12与 0.6 D. 15与 0.8 【答案】 D 【解析】 因为随机变量 ， 且 ， 且 ，解得 ， 故选 D. 10. 函数 的单调递减区间是 . （ ） A. ( 1, 2) B. ( , 1)与 (1, +) C. ( , 2)与 (0, +) D. ( 2， 0). 【答案】 D 【解析】解：因为 11. 一同学在电脑中打出如下若干个圈：? 若将此若干个圈依此规律继续下去 ,得到一系列的圈 ,那么在前 55个圈中的 个数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 11 【答案】 B 【解析】 将圆分组：第一组： ， 有 个圆；第二组： ， 有 个圆；第三组：
6、 ，有 个 ， ? ， 每组圆的总个数构成了一个等差数列，前 组圆的总个数为，令 ， 解得 ， 即包含 整4 组，故含有 的个数是 个 , 故选 B. 【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题 .归纳推理的一般步骤 : 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质 . 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想） . 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 ： (1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等； (2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规
7、律的归纳 . 12. 已知函数 ， -2， 2表示的曲线过原点，且在 x 1处的切线斜率均为 -1，有以下命题： f(x) 的解析式为： ， -2， 2； f(x) 的极值点有且仅有一个； f(x) 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确的命题个数为 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】 C 【解析】 第 卷（非选择题，共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分 . 13. 已知曲线 的一条切线的斜率为 2，则切点的坐标为 _. 【答案】 (1) 选手甲答 道题可进入决赛的概率为 ； 选手甲答 道题可进入决赛的概率为 ； 选手甲答 5道题可
8、进入决赛的概率为 ； 选手甲可进入决赛的概率 + + (2) 依题意， 的可能取值为 则有 ， ， 5 ， 因此 的分布列为 【解析】 由 ， 得到 ， 因为曲线的一条切线的斜率为 ， 得到 ，解得 ， 把 代入 ， 得 ， 则切点的坐标为 ， 故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，属简单题 . 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数（ 已知斜率求切点坐标方法同） ； (2) 己知斜率 求切点 即解方程； (3) 巳知切线过某点 (不是切点 ) 求切点 , 设出切点 利用 求解 . 14. 根据定积分的几何意
9、义，计算 _。 【答案】 【解析】 根据定积分的几何意义， 的值等于以原点为圆心，以 4 为半径的圆面积的四分之一，所以 ， 故答案为 . 故答案为 15. 如图， A, B, C表示 3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是 0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有 1个开关能正常工作 ,则该系统就能正常工作， 那么该系统正常工作的概率是 _ 6 【答案】 0.994 【解析】 由题意知本题是 一个相互独立事件同时发生的概率， ， 种开关中至少有 个开关能正常工作的对立事件是 种开关都不能工作，分别记 开关能正常工作分别为事件 ， ， 故答案为. 16. 观察下列式子：
10、 ? 由上归纳可得出一般的结论为 _。 【答案】 (n为正整数且 n大于或等于 ) 【解析】略 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 如图，求直线 与抛物线 所围成图形的面积 . 【答案】 . 【解析】 试题分析：根据定积分的几何意义可知，直线 与抛物线 所围成图形的面积即是函数 与函数 差的定积分，根据定积分公式求解即可 . 试题解析：由方程组 ，可得 , ， 故所求图形面积为 7 18. 已知函数 ， （ 1）求 的单调区间； （ 2）求 在 上的最大值和最小值。 【答案】 （ 1） 的单调递增区间为（ - ， - ），（ 2， +
11、）； 单调递减区间为（ ， 2） ;（ 2）最大值为 4，最小值为 【解析】 试题分析： （ 1） 求出 ， 得增区间， 得减区间 ；（ 2） 由（ 1）可知 ， 在 上 有极小值， ，而 ， 比较大小即可求 在上的最大值和最小值 . 试题解析：（ 1）因为 ，所以 由 得 或 , 故函数 的单调递增区间为（ - ， - ），（ 2， + ）； 由 得 ,故函数 的单调递减区间为（ ， 2） （ 2）令 得 由（ 1）可知，在 上 有极小值 ， 而 ， ，因为 所以 在 上的最大值为 4，最小值为 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、最值，属于难题 .8 求函数 极
12、值的步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求导数 ； (3) 得增区间，得减区间 ,左增右减，那么 在 处取极大值，左减右增，那么 在 处取极小值 . （ 5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（ 6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与最值的大小 . 19. 甲、乙两人各进行 3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为求：（ 1）甲恰好击中目标 2次的概率；（ 2）乙至少击中目标 2次的概率； （ 3）乙恰好比甲多击中目标 2次的概率 【答案】 （ 1） （ 2） ;（ 3） 【解析】 试题分析： (1)由 题意知甲射击三次，每次击中目标的概率是定
13、值，可以看作是独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到结果； (2)乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次，且这两种情况是互斥的，根据公式得到结果； (3)乙恰好比甲多击中目标 次，包含乙恰击中目标 次且甲恰击中目标零次或乙恰击中目标三次且甲恰击中目标一次，由题意， 为互斥事件 .根据互斥事件和独立重复试验公式得到结果 . 试题解析：（ 1）甲恰好击中目标 2次的概率为 （ 2）乙至少击中目标 2次的概率为 （ 3）设 乙恰好比甲多击中目标 2次为事件 A，乙恰好击中目标 2次且甲恰好击中目标 0次为事件 B1，乙恰好击中目标 3
14、次且甲恰好击中目标 1次为事件 B2，则 A=B1+B2， B1， B2为互斥事件 P（ A） =P（ B1） +P（ B2） 所以，乙恰好比甲多击中目标 2次的概率为 20. 某种产品的广告费支出 x与销售额 y(单位：百万元 )之间有如下的对应数据： 9 （ 1）请画出上表数据的散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程 = x+ ； （ 参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数 公式 ， ） 【答案】 （ 1）见解析 ;（ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图 .(2 )先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 的值，写出线性回归方程 . 试题解析：（ 1）散点图如下图所示： （ 2） ， ， ， ， ， 所求回归直线方程为 【方法点晴】本题主要考查散点图的画法和线性回归方程，属于难题 .求回归直线方程的步骤： 依据样本数据画出散点图，确定两个变量具
