1、 1 2016 2017学年第二学期期末高二数学（理科）试题 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 集合 , ，集合 满足 ,则 的个数为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】 C 【解析】 由题意可得 ，集合 ，其中 M为集合 的真子集，由子集个数公式可得： C的个数为 个 .选 C. 2. 2017年 1月我市某校高三年级 1600名学生参加了 2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩 （试卷满分 150分） 统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120分之间的人数约为总人数的，则此次期末
2、联考中成绩不低于 120分的学生人数约为 A. 120 B. 160 C. 200 D. 240 【答案】 C 【解析】 结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于 120分的学生人数约为. 选 C. 3. 已知 与 之间的一组数据：若 关于 的线性回归方程为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5 【答案】 D 【解析】 由表格可知 ， ，由线性回归 方程必过样本中心点可得： ，则 ，故选 D. 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系 .事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 .如果线性相
3、关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 . 2 4. 设 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 试题分析：因为 ，所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，故选 A. 点睛：充分、必要条件的三 种判断方法 1定义法：直接判断 “ 若 则 ” 、 “ 若 则 ” 的真假并注意和图示相结合，例如 “ ? ”为真，则 是 的充分条件 2等价法：利用 ? 与非 ?非 ， ? 与非 ?非 ， ? 与非 ?非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法
4、：若 ? ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件 5. 设复数 满足 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可得： . 6. 在 展 开式所得的 的多项式中，系数为有理数的项有（ ） A. 16项 B. 17项 C. 24项 D. 50项 【答案】 B 【解析】 展开式的通项为 ，其中 r=0， 1， 2?100 ， 要使系数为有理数则需要 r是 6的倍数， r=0， 6， 16， 18， ?96 共 17个值， 故系数为有理数的项有 17项 . 选 B. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项 .可依
5、据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可 . (2)已知展开式的某项，求特定项的系数 .可由某项得出参数项，再由 通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数 . 3 7. 曲线 的参数方程为 （ 为参数），则它的普通方程为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】 C 【解析】 由 可有 ，又因为 ，所以，即 ， ，故选择 C. 8. 定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，不等式 恒成立，则函数 的零点的个数为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，又 时， ，即 ，函数 ，则 时是增函数 ，又 是偶函数， 时， 是减函数，结合函数的定
6、义域为 ，且 ，所以函数 的零点的个数为 ，故选C. 9. 若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 点 是曲线 上任意一点 , 所以当曲线在点 P的切线与直线 平行时，点 P到直线 的距离的最小， 直线 的斜率为 1，由 ，解得 或 （舍） . 所以曲线与直线的切点为 . 点 到直线 的距离最小值是 .选 C. 10. 盒中装有 10 只乒乓球，其中 6只新球， 4只旧球，不放回地依次摸出 2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（ ） 4 A. B. C. D. 【答案】 B. 【解析】 设 “ 第
7、一次摸出新球 ” 为事件 ， “ 第二次摸出新球 ” 为事件 ，则，故选 B. 11. 某高校大一新生中的 6名同学打算参加学校组织的 “ 演讲团 ” 、 “ 吉他协会 ” 等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加 1个社团且每个社团至多两人参加，则这 6个人中没有人参加 “ 演讲团 ” 的不同参加方法数为（ ） A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520 【答案】 C 【解析】 由于每名同学必须参加且只能参加 1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将 6名同学分配到除 “ 演讲团 ” 外的四个社团或三个社团，可以分两类： 第一类：先将 6人分成四组，分别为
8、1人， 1人， 2人， 2人，再分配到四个社团，不同的参加方法数为 种， 第二类：将 6人平均分成三组，在分配到除 “ 演讲团 ” 外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法数为 ， 所以由以上可知，不同的参加方法数共有 1440种，故选择 C. 12. 若函数 ，则方程 的根的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】 B 【解析】 当 时， ，据此可得函数在区间 上单调递减，在区间单调递增，且 ， 绘制函数图象如图所示，由 可得 或 ， 当 时，函数有两个根，当 为区间 上的某一个定值时， 有唯一的实数根，综上可得：方程 的根的个数为 3. 本题选择 B选项 . 5
9、点睛： 对于方程解的个数 (或函数零点个数 )问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图 象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13. 复数 在复平面内对应的点位于第 _象限 【答案】 四 【解析】 ，对应点为（ 1， -1）故对应的点位于第四象限。 14. 设 ，则二项式 的展开式中含 项的系数为 _ 【答案】 192 【解析】 因为 ， 所以 ， 由于通项公式 ， 令 ，则 ，应填答案 。 15. 已知在 上可导，
10、 ，则 _ . 【答案】 0 【解析】 由题知 ，则 故本题应填 16. 2017年 1月 27 日，哈尔滨地铁 3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街。每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为 _ 6 【答案】 65 【解析】 根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，则每人有 3种选择，则 4人一共有 种情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街每人有 2种选择方法，则 4 人一共有种情况，故哈西站一定要有人去有 种情况，即哈西站一定有人去的 游览方案有 65 种；
11、故答案为 65. 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分，应出写文字说明或演算步骤 ) 17. 设命题 ：实数 满足 其中 ；命题 ：实数 满足 （ 1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （ 2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： 求出 对应的集合： ， （ 1） 为真，则 均为真，求交集可得 的范围； （ 2） 是 的充分不必要条件，即 是 的充分不必要条件，因此有集合 是集合 的真子集 试题解析： （ 1）由 得 当 时， 14 or x4且 a2其中 所以实数 的取值范围是 . 18. 2017年春节期间，某服装超市
12、举办了一次有奖促销活动，消费每超过 600 元（含 600元），均可抽奖一次，抽奖 方案有两种，顾客只能选择其中的一种 . 方案一：从装有 10个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3个，黑球 7个）的抽奖盒中，7 一次性摸出 3个球，其中奖规则为：若摸到 3个红球，享受免单优惠；若摸出 2个红球则打6折，若摸出 1个红球，则打 7折；若没摸出红球，则不打折 . 方案二：从装有 10个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3个，黑球 7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取 1球，连摸 3次，每摸到 1次红球，立减 200元 . （ 1）若两个顾客均分别消费了 600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客
13、均享受免单优惠的概率； （ 2）若某顾客消 费恰好满 1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】 （ 1） （ 2）该顾客选择第一种抽奖方案更合算 . 【解析】 试题分析：（ 1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（ 2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择 试题解析：（ 1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件 ，则 ，所以两位顾客均享受到免单的概
14、率为. （ 2）若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 0， 600， 700，1000. ， ， ， . 故 的分布列为， 所以 （元） . 若选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则 ，由已知可得，故 ，所以 （元） . 因为 ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算 . 8 19. 微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用 .某网络运营商对甲、乙两个品牌各 5种型号的手机在相同环境下抢到的红包个数进行统计，得到如下数据： 如果抢到红包 个数超过 5个的手机型号为 “ 优 ” ，否则为 “ 非优 ” ，请完成 22 列联表，据此判断是否有 85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？ （ 2）如果不考虑其他因素，要从甲品牌的 5种型号中选出 3种型号的手机进行大规模宣传销售 . 求在型号 I被选中的条件下，型号 II也被选中的概率； 以 表示选中的手机型号中抢到的红包超过 5个的型号种数，求随机变量 的分布列及数学期望 . 下面临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中 . 【答案】 （ 1）没有 85%的理由（ 2）
