1、 1 江西省南昌市三校 2016-2017 学年高二数学下学期期末联考试题 文（含解析） 第 卷（选择题 共 60分） 一选择题：共 12小题 ， 每小题 5分，共 60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1. 设 i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a为（ ） A. B. -2 C. D. 2 【答案】 D 【解析】 为纯虚数 ,则 . 故选 D. 2. 设集合 （ ） A. 1， 2， 3 B. 4， 5 C. 1， 2， 3， 4， 5 D. 【答案】 B 【解析】 . 故选 B. 3. 已知 则 是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 为
2、全称命题，否定为特称，故有 . 故选 C. 4. “ |x|0时， f(x)的最小值为 2+a， . 在 x=0处取得最小值， a23时 ,g(x)=|log2|x?1|=log2(x?1)1,而函数 f(x)=cos(x )?1， . 故在区间 (3,+) 内 ,函数 f(x)=cos(x )与函数 g(x)=|log2|x?1|的图象无交点。 综 上所述 ,函数 f(x)=cos(x )与函数 g(x)=|log2|x?1|的图象共有 4个交点，关于直线 x=1对称， 函数 f(x)=cos(x )与函数 g(x)=|log2|x?1|的图象所有交点的横坐标之和为 4. 故选 C. 11.
3、 设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件：存在 ,使 在 上的值域是 则称 为 “ 倍缩函数 ” ，若函数 为 “ 倍缩函数 ” ，5 则 t的范围是 ( ) A. B. D. 【答案】 A 【解析】 函数 f(x)=f(x)=log2(2x+t)为 “ 倍缩函数 ” ， 且满足存在 a,b?D,使 f(x)在 a,b上的值域是 ， f(x)在 a,b上是增函数； ， 即 ， a,b是方程 2x? +t=0的两个根， 设 m= ,则 m0,此时方程为 m2?m+t=0 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 0； ， 解得： 00，设命题 p：函数 y 在 R 上单调递增；命题 q：不等式 ax
4、2 ax 10对 ? x R恒成立若 “ p q” 为假， “ p q” 为真，求 a的取值范围 【答案】 (0,14 ， ) 8 【解析】 试题分析：先解命题，再研究命题的关系，函数 y=ax在 R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式 ax2-ax+1 0对 ? x R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若 p且 q为假， p或 q为真，两者是一真一假，计算可得答案 试题解析： 函数 y 在 R 上单调递增， p： a1. 不等式 ax2 ax 10对 ? x R 恒成立，且 a0， a2 4a0，解得 0a4， q： 0a4. “ p q” 为假， “ p q
5、” 为真， p、 q中必有一真一假 当 p真， q假时， ，得 a4. 当 p假， q真时， ，得 0a1. 故 a的取值范围为 (0,14 ， ) 18. 函数 f(x)对任意的 m、 n R，都有 f(m n) f(m) f(n) 1，并且 x 0时，恒有 f(x) 1. (1)求证： f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3) 4，解不等式 f(a2 a 5) 2. 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） a( 3,2). 【解析】 试题分析： （ 1）定义法：设 x1， x2 R，且 x1 x2，则 f（ x2） -f（ x1） =f（ x2-x1）+x1-f（ x1），由已知可判断
6、其符号； （ 2）令 m=n=1可求得 f（ 2），进而可得 f（ 1） =2，利用单调性可去掉不等式 中的符号 “f” ，转化为具体不等式 试题解析： (1)设 x1 x2， x2 x1 0. 当 x 0时， f(x) 1， f(x2 x1) 1. f(x2) f(x2 x1) x1) f(x2 x1) f(x1) 1， f(x2) f(x1) f(x2 x1) 1 0?f(x1) f(x2)， f(x)在 R 上为增函数 (2) m， n R，不妨设 m n 1， f(1 1) f(1) f(1) 1， f(2) 2f(1) 1， f(3) 4?f(2 1) 4?f(2) f(1) 1 4
7、?3f(1) 2 4， f(1) 2， f(2) 22 1 3， f(a2 a 5) 2 f(1) f(x)在 R上为增函数， a2 a 5 1? 3 a 2，即 a( 3,2) 9 点睛：本题主要考查函数的性质，但是函数是抽象函数，需要采用赋值的手段进行研究，研究的方向即为利用单调性的定义证明，再由函数的单调性解自变量的不等式即可 . 19. 如图，菱形 ABCD的边长为 4， BAD=60 ， ACBD=O 将菱形 ABCD沿对角线 AC折起，得到三棱锥 B ACD，点 M是棱 BC 的中点， DM=2 （ 1）求证： OM 平面 ABD （ 2）求证：平面 DOM 平面 ABC 【答案】
8、 （ 1）见解析；（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析： （ 1）利用三角形中位线定理，证出 OM AB，结合线面平行判定定理，即可证出 OM 平面 ABD （ 2）根据题中数据，算出 DO= BD=2， OM= AB=2，从而得到 OD2+OM2=8=DM2，可得 ODOM 结合 ODAC 利用线面垂直的判定定理，证出 OD 平面 ABC，从而证出平面 DOM 平面 ABC 试题解析： （ 1） O 为 AC的中点， M为 BC的中点， OMAB 又 OM ?平面 ABD， AB?平面 ABD， OM 平面 ABD （ 2） 在菱形 ABCD中， ODAC ， 在三棱锥 B-ACD中， O
9、DAC 在菱形 ABCD中， AB=AD=4， BAD=60 ，可得 BD=4 O 为 BD的中点， DO= BD=2 . O 为 AC的中点， M为 BC的中点， OM= AB=2 因此， ，可得 ODOM AC 、 OM是平面 ABC内的相交直线， OD 平面 ABC OD ?平面 DOM， 平面 DOM 平面 ABC 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 ： （ 1） 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 . （ 2） 证明线面 垂直，需转化为证明线线垂直 . （ 3） 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 . 10 20. 为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务
10、，用简单随机抽样方法从该校调查了 50人，结果如下： （ I）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6人，其中男生抽取多少人？ （ II）在（ I）中抽取的 6人中任选 2人，求恰有一名女生的概率； （ III）你能否有 99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？ 下面的临界值表供参考： 独立性检验统计量 K2 ，其中 n=a+b+c+d 【答案】 （ 1）男生 4人，女生 2人；（ 2） ；（ 3）见解析 . 【解析】 试题分析： （ I）根据分层抽样的定义，写出比例式，得到男生抽取人数即可 （ II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是利用排列组合写出所有事件的事件数，及满足条件的事件数，得到概率 （ III）计算 K2，同临界值表进行比较，得到有多大把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关 试题解析： （ I）由题意，男生抽取 6 人，女生抽取 6 =2人； （ II）在（ I）中抽取的 6人中任选 2人，恰有一名女生的概率 P= （ III） K2= ，由于 8.333 6.635，所以有 99%的把握认为该
