1、 1 2016学年第二学期期末考试 高二数学 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 ， ，则 = A. B. C. D. 【答案】 C 点睛： 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合 2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解 3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn图和数轴使抽象问题 直观化一般地，集合元素离散时用 Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 2. 已知等比数列
2、 的各项均为正数，且 ，则数列的公比 为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由 得 ，所以 由条件可知 0，故 故选 D. 3. 已知 ，则 的值为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ，故选 B. 4. 已知 ，则 的大小关系是 A. B. C. D. 【答 案】 A 【解析】 因为 ，所以 ，所以2 ，当且仅当 ，即时等号成立因为 ，所以 ，所以 ，故选 A 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”( 即条件要求中字母为正数 )、 “ 定 ”( 不等式的另一边必须为定值 )、 “ 等 ”( 等号取得的
3、条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 5. 是 恒成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A. 【解析】 设 成立；反之， ，故选 A. 6. 若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 不等式的解集为 R. 可得： a2?3a?40,且 =b2?4ac0， 得： ，解得： 0a4， 当 a2?3a?4=0时，即 a=?1或 a=4，不等式为 ?10恒成立，此时解集为 R. 综上可得：实数 a的取值范围为 (0,4. 本题选择 D选项 . 7. 函数 的图象大致是 A. 1006
4、 B. 1007 C. 1008 D. 1009 【答案】 A 3 8. 已知函数 ( 、 、 均为正的常数 )的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 依题意得，函数 f（ x）的周期为 ， 0， = =2 又 当 x= 时，函数 f（ x）取得最小值， 2 +=2k+ ， k Z，可解得： =2k + ， kZ ， f （ x） =Asin（ 2x+2k+ ） =Asin（ 2x+ ） f （ 2） =Asin（ 4+ ） =Asin（ 4+2 ） 0 f（ 2） =Asin（ 4+ ） 0， f（ 0） =Asi
5、n =Asin 0， 又 4+2 ，而 f（ x） =Asinx在区间（ ， ）是单调递减的，f （ 2） f（ 2） f（ 0） 故选： B 9. 已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， ，则（ ） . A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009 【答案】 D 【解析】，故选 D. 4 10. 对于数列 ，若对任意 ，都有 成立，则称数列为 “ 减差数列 ” 设 ，若数列 是 “ 减差数列 ” ，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由数列 是 “ 减差数列 ” ，得，即 ，即，化简得 ，当 时，若恒成立，则 恒成立，又当 时， 的最大值为
6、，则的取值范围是 .故选 C. 点睛：紧扣 “ 减差数列 ” 定义，把问题转化为 恒成立问题， 变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了 n的取值范围 . 二、填空题 (本大题共 7小题，每小题 3分，共 21分 ) 11. 已知 ，记： ，试用列举法表示 _ 【答案】 1， 0， 1， 3， 4， 5 【解析】 1， 0， 1， 3， 4， 5. 12. 若实数 满足 则 的最小值为 _ 【答案】 -6 【解析】 在同一坐标系中，分别作出直线 x+y?2=0， x=4， y=5， 5 标出不等式组 表示的平面区域，如图所示。 由 z=y?x，得 y=x+z，此关系式可表示斜率为 1，纵截距为
7、 z的直线， 当直线 y=x+z经过区域内的点 A时， z最小， 此时 ,由 ,得 A(4,?2)， 从而 zmin=y?x=?2?4=?6. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想 .需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中 的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得 . 13. _ 【答案】 【解析】【解析】由题意得， 则答案为 . 14. 已知数列 为等比数列，且 成等差数列，若 ，则 _ 【答案】 【解析】 由题设 , . 15. 函数 的最大值为 _ 【答案】 4
8、【解析】 时 . 16. 在 中 , 为线段 的中点 , , ,则_. 【答案】 【解析】 由正弦理可知 ，又 ，则，利用三角恒等变形可化为 ，据余弦定理故本题应填 6 点睛： 在几何图形中考查正余弦定理，要抓住几何图形的几何性质一般思路有：把所提供的几何图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦，余弦定理求解；寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果；必要时用到几何图形的性质如中点，角平分线，平形四边形的性质等 17. 已知函数 的图象上关于直线对称的点有且仅有一对，则实数 的取值范围为 _. 【答案】 【解析】 作出如图：， 因为函数 ， 的图像上关于直线 对称的点有且
9、仅有一对，所以函数 在 3,7上有且只有一个交点，当对数函数的图像过（ 5， -2）时，由 ，当对数过（ 7,2）时同理 a= ，所以 的取值范围为 点睛：对于分段函数首先作出图形，然后根据题意分析函数 在3,7上有且只有一个交点，根据图像可知当对数函数的图像过（ 5， -2）时，由，当对数过（ 7,2）时同理 a= 由此得出结果，在分析此类问题时要注意将问题进行转化，化繁为简再解题 . 三、解答题 (本大题共 5小题，共 49分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 ) 18. （本小题满分 7分）设 ，其中 ,如果 ，求实数 的取值范围 【答案】 7 【解析】 符合 ,所以 成立 ?5 分
10、 （ ii)当 时 ,即 时 方程 即： 有两个相同根 此时，集合 ，为单元素集且 满足 ?8 分 （ iii)当 时 ,即 时 方程 有两个不同解 集合 有两个元素，此时 只能 . 即 ，所以， ?11 分 综合以上，当 或 时，总有 ?12 分 19. （本小题满分 10 分）已知函数 . （ I）求 的最小正周期及单 调递减区间； （ II）在 中， 分别是角 的对边，若 ， ，且 的面积为 ，求 外接圆的半径 . 8 【答案】 （ 1） ;(2)2. 【解析】 试题分析： （ I） 利用降幂公式及两角和正弦公式化简 f（ x） =sin（ 2x+ ） +3，最小正周期 ，令 ， k z
11、，解出 x的范围，即得单调递减区间 ；（ II） 由 （ I） 得到 ，利用正弦面积公式与余弦定理得到 ，再借助正弦定理得结果 . 试题解析： （ I）函数， 故最小正周期 ； 令 解得： ， 故函数的单调递减区间为 （ II）由 ，可得 ，又 ，所以 ， 所以 ，从而 由 ， 由余弦定理有： ， ，由正弦定理有： 20. （本小题满分 10 分）设函数 . （ I）求证：当 时，不等式 成立； （ II）已知关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围 . 【答案】 (1)详见解析 ;(2) . 【解析】 试题分析： （ ）当 时，根据 的最小值为 3，可得 lnf（ x）最小值为 ln3
12、 lne=1，不等式得证 9 （ ）由绝对值三角不等式可得 f（ x） ，可得 ，由此解得 a的范围 试题解析： （ I）证明：由 得函数 的最小值为 3，从而 ，所以 成立 . （ II）由绝对值的 性质得 ， 所以 最小值为 ，从而 ， . 解得 ， 因此 的取值范围为 . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向 21. （本小题满分 10 分）已知等差数列 满足 （ I
13、）求数列 的通项公式； （ II）求数列 的前 项和 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）首先根据等差数列的性质并结合已知条件，求出首项 和公差 ，进而可求得数列 的通项公式；（ 2）先根据（ 1）的结论求出数列 的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列 的前 项的和，在这个过程中要注意对 分 和两种情况加以讨论，以增强解题的严密性 试题解析：（ 1）设等差数列 的公差为 ，由已知条件可得 ，解得 故数列 的通项公式为 （ 2）设数列 的前 项和为 ， 10 即 ，故 ， ， 所以，当 时， 所以 综上，数列 的前 项和 （用错位相减法也可） 考点： 1、等差数列的通项公式； 2、错 位相减法求数列的前 项和 22. （本小题满分 12分）已知数列 满足： ， （ ） （ ）求证： ； （ ）证明： ； （ ）求证： 【答案】 (1)详见解析 ;(2) 详见解析 ;(3) 详见解析 . 【解析】 试题分析： （ I） 确定数列的单调性，易证 ；（ II） 由（ ）易得；（ ） 由（ ）得： ， . 试题解析： （ I） ， （ ）由（ ）可得： . （ ） ， 所以，累加得右侧；另一方面由可得 ，累加得左侧 . 由（ ）得： ， 所以 ， 累加得： 另一方面由 可得：原式变形为
