1、l第一节 导数概念l第二节 函数的和、差、积、商的求导法则l第三节 复合函数的求导法则l第四节 初等函数的求导法l第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法l第六节 高阶导数l第七节 函数的微分l第八节 数学实验三 用Mathematica求极限和一元函数的导数1.变速运动的速度200.12.stvsgttv以自由落体为例,落体下落的路程 随时间 的增加越来越大,其速度 每时每刻都在变化现在的问题是运动规律 要确定某一时刻 落体的速度一、变化率问题举例,.:距离 对于匀速运动来说,速度=而自由落体是变速运动上时间式不适用基本想法是 虽然整体来说速度是变的,但局部来说可以近似地看成不变,就是说,
2、在很短的时间间隔内,速度来不及有很大的变化,可以近似地看成匀速运动,于是可用上述公式来确定该段时间内的速度,叫做平均速度.200222000001()2112212tttsg ttgtgttg tt ttsvgt+g tt 显然,从时刻 到时刻所经过的路程则在时间间隔,+内的平均速度为为00000,.0,limtttvstvgtt 越小这个平均速度就越接近于时刻 的瞬时速度 自然令取极限于量得到000000()()(),limlimtts tts tss s ttvtt 这个方法对于一般变速运动也是适用的.设质点运动规律为:则任一时刻 的速度2.切线问题000000().(,),Cyf xM
3、x yCMM TxM T 设 是坐标平面内的一条光滑曲线(所谓的光滑是指曲线上每一点都存在切线),其由方程给出是曲线上一点过点的切线是其与 轴正向夹角为问题是如何确定切线的斜率.00000000(,),tan,M MMM xx yyM MykMCMxxMM M 在点附近任取一点作割线其斜率当沿曲线 接近点时割线就接近切线,从而割线的斜率就接近切线的斜率.换句话说,越小其接近程度就愈高,于是自然定义点的切线为割线的极限位置所以有000000000()()limlimlim,tan;M TxxM MMMM Tf xxf xykkxxkM T 式中是切线的倾斜角(见图14-1)上面两个例子分别属于不
4、同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当后者无限趋于零时的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.图14-1 切线问题0 x0 xx x0MMTyOxy0000000000()(0),()()(),limlim,(),()xxyf xxxxxxyyf xf xxf xyxf xxxyf xxyf xx 义 设函数在点 的某一邻域内有定义,当自变量在点 处取得增量时相应的函数 取得增量若极限存在则称函数在点 处可导并称这个极限值为函数在点 处的导数记作 定0000
5、0000()|,(),()()()limxxxxxxxdydf xyfxdxdxf xxf xfxx 或即二、导数的定义000000000000()()lim,()()(),(0)(),lim,(0)(),xxf xxf xyf xxf xxf xxf xfxxxf xfx 若极限存在则称该极限值叫作函数在点 处的左导数 记作或若极限存在该极限值叫作函数在点 处的右导数 记作或两者统称单侧导数于时,可导的充要条件是左右导数存在且相等.0000000000()(),(),;()()()lim.xf xxf xyxxxxxxyf xf xxf xf xxxx 比值反映的是自变量 从 改变到时函数的
6、平均变化速度 称为函数的平均变化率而导数反映的是函数在点 处的变化速度,即函数在点 处的变化率导数的定义也可以取不同的形式,常见的有00000000()()()()()lim()limhf xhf xf xf xf xf xx xxxh和(),(),()(),yf xIf xIx If xxIyf x 函数在开区间 内每一点处都可导 就称函数在开区间 内可导这时对于任一都对应着的一个确定的导数值,当 遍取 内一切值时,这样就构成一个新函数,这个函数叫作原来函数的导函数 简称导数.记作00000,()()()()()|.x xf xxf xf xx xf xf x 显然函数在点 处的导数就是导函
7、数在点处的函数值,即(),(),dydf xy f xdxdx或,按照导数的定义 有0()()()limxf xxf xf xx ().f(x)c c求函数为常数 的导数例1 解()f xc即 就是说常数的导数为零.这一结果实际意义是显然的,常函数的变化率为零;几何意义也是显然的,因为为一个水平直线,它上面每一点切线都是这条直线本身,斜率是零.0()()()limxf xxf xfxx 00limlim0 0 xxc cx 三、求导举例()().nf xx nx a求函数为正整数 在处的导数例2 解111,().(),(),nnnaxfxnxxnxyx(x)x 把以上结果中的 换成得即更一般地
8、 对于幂函数为常数有()()()limxaf xf af ax a1211limlim().nnnnnnxaxaxaxaxanax an项132222111()2;();2,1,()1,1.xxxxxxxx 如等特 别 地若则即 自 变 量的导 数 为 是 一 非 常 重 要 的 结 论()sin.fxx求 函 数的 导 数例 3 解000cossin22()()sin()sin()limlimlimcos.2hhhhhxf xhf xx hxf xxhhhc o ss ins in xxc o s xx 即 ()用 类 同 的 方 法 可 求 得 ()()lo g.afxx求 函 数的 导
9、数例 4 解0000log()log()()()limlimlog1111limlimlog(1)loglnaaxxxaxaaxxxxxf xxf xfxxxxxxexxxxxa 1lo gln,1lnaxxaaexx即 ()特 别 地 若有 ()().xfxa求 函 数的 导 数例 5 解000100()()1()limlimlim.1,log(1),0,0.11()limlimlnlog(1)loglog(1)xxxxxxxxxxxxttetaaf xxf xaaafxaxxxatxtxtatxfxaaaaatta 令当时所以ln.,xxxxaaaaeee即 ()=这就是指数函数的导数公式
10、特别地 若时 有 ()=000000()()()(,)()tanyf xxfxyf xMx yfx 由前面切线问题的讨论及导数的定义可知,函数在点 处的导数在几何上表示为曲线在点处切线的斜率即四、导数的几何意义图14-2 导数几何意义O()yf xT0Mxy0 x1,2yx1求双曲线在点处的切线方程和法线方程.2例6 解2121,4,2xyyx1因为所以即为过点处切线的斜率.2124,4402yxxy 所求切线方程为即112,2815042yxxy 所求法线方程为即32,(1)31yxyxx问曲线上哪一点处的切线与直线平行?(2)与 轴平行?例7 解1232(1)3,4,8(4,8)31;yx
11、yxyyx因为令得所以过点处的切线与直线平行(2)0,0,0.,.yxyxx令得所以过(0,0)点的切线与 轴平行 这里 的切线就是 轴00(),lim(),(),lim0.().xxyyf xxf xxxf xyf xxxy 设函数在点 处可导即存在由具有极限的函数与无穷小量的关系可知式中所以0,0.,()(),.xyyf xxyf xx 当时有这就是说函数在点 处是连续的.所以,如果函数在点 处可导则函数在该点必连续五、函数的可导性与连续性的关系00000000,0(,),00,()(0)limlimlimlim 110()(0)limlimlimlim1 10 xxxxxxxxxyxx
12、xxxf xfxxxxxxf xfxxxx 函数在和处处连续(见图14-4),但 这个函数在处不可导事实上因为例8,0.xx故在 处 左右导数不相等,所以函数在处不可导该函数的图形在原点处无切线14 4图 例8示意图Oxy|yx思考题?1.连续是可导的什么条件答案 00?2.请思考在点 处的导数的几何意义f xxfx答案00fxf x3.等式 成立吗?答案课堂练习题;1.用定义证明函数c c为常数 的导数为零y=答案22.12,3求曲线在点处的切线方程和法线方程.yx答案 第一根据导数的定义求出一些简单的导数，但对于比较复杂的函数，直接安定义来求它们的导数往往是很困难的.在本节和下节中将介绍求
13、导的几个基本法则和基本初等函数的求导公式.(),(),uu x vv xxc设都是 的可导函数 以 为常数.解(1)();uvuv定理(2)()uvu vuv2(3)uu vuvvv(2)()(),y u x v x以为例设=则()()()()yu xx v xxu x v x()()()()()()u xxu x v xxu xv xxv x=()()yuvv xxu xxxx所以00,lim()()(),(),(),().xxxxv xyuv uvuvuv uvv xccucu 令取极限并注意可导必连续 就得到 即特别地 若时因为常数的导数为零.故有即常数可以写到求导符号外面:(1),(2
14、),u vwuvwuvwu vwuv wuvw说明 该法则中的可推广到任意有限英的情形 如 (+)()323sinln3,.yxxxy已 知求例 1 解2331(2)()(3sin)(ln3)23cos.3yxxxxx 2yxx求 曲 线在 点(2,3)处 的 切 线 方 程.例 2 解22221()1,(2,3)213(2),24 0.2xyxyxxyxxy 因为所以为曲线在点处切线的斜率,所以所求切线方程为即sin 2,.yxy已 知求例 3 解222sin cos,2(sin)cossin(cos)2(cossin)2cos2.yxxyxxxxxxx 因为所以.xye求的 导 数例 4
15、解21,()xxxeyyeexe 因 为所 以ta n,.yxy已 知求例 5 解222222sincossin1,.coscoscos1tancos1cotsinxxxyyxxxxxxx因为所以即 ()这正是正切函数的求导公式.同法可求 ()思考题1.牢记函数的和、差、积、商的求导法则;答案?12.xx答案课堂练习题31.3ln3;求的导数xyxy答案 22.1093,.设求-1f xxxf 答案(),(),(),.xuxuxxyf uudydy duyfxxdxdu dxyy u设函数在点 处可导函数在对应点 处可导 则复合函数在点 处也可导 且有或写成 定理 上述定理又称链锁法则.即复合
16、函数的导数等于复合函数 对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如(),(),()().xuvxyf u uv vxyfxyy u v 若都有是可导函数,则复合函数的导数为28(12).yx求的 导 数例 1 解2872712,8432(12)xuxuxyuyy uuxxx 令则所 以ln tan.yx求的 导 数例 2 解2tan,ln.111 sincoscosxuxuxyuyy uuxxx令则所以 22sin.1xyx求的导数例3 解22222 22 221212cos22cos.11(1)(1)xxxxxxyxxxx 12sin2.xy
17、求的导数例4 解1122sin22111ln22sin2ln2 2sincossin2.xxyxxxxx22ln().yxxa求的导数例5 解2222221211.2xyxxaxaxa例6 证明导数公式:11(1)(ln);(2)(),0.xxxxx为任意实数证1(1)0,lnln.(ln),0,lnln(),11(ln)(1),ln;xxxxxxxxxxxxx 当时则当时1所以于是有公式-lnln1(2).,1.xxnyxyeyexx 在第一节中就=为正整数情况证明过这个公式表面上不是一个复合函数 但它可以写成于是(),:f x已 知可 导 求例 7(1)(ln);(2)().nfxfxa解
18、1(1)(ln)(ln)(ln)(ln);fxfxxfxx1(2)()()()()().nnnnnfx afx ax an x afx a1.lntan3请写出复合函数的复合过程;xy 答案22221.121?1 2.已知ln则求导的错x误在哪里xy=yxxx 答案3.,?两个可以复合的函数都可导时,它们的复合函数一定可导该命题是否正确 为什么答案思考题课堂练习题211.cos 21;xyexy求函数 的导数答案222.,.求下列函数的导数(1)(2)f xxdyy=fey=edx答案一、反函数的导数为了求反三角函数的导数，先研究一般反函数的求导法.(),()0,1()(),().()xyyx
19、yyf xf xy如果为存在反函数的可微函数且则的反函数也可微且 定理:(),()(),11xyyf x yxyf xxy xydyydxdxxdy 注意 要正确理解定理的含义,左端是函数对的导数,右端是的反函数对 求导的倒数.为更明显起见,定理结论或写成或arcsin,(11).yxx 求反正弦函数的导函数例1 解2222arcsinsin,2 21arcsin11arccos11arctan11arccot1yxxyyxxxxxxxx 因为是的反函数,即 ()同理可求得 ()()()例2 求下列函数的导数：3211(1)arccos;arctan;arcsin4.12xxyxyyxxxx(
20、2)(3)解2331111(1)3arccos211yxxxxx2213arccos;21xxxx2221(1)(1)1(2);(1)1111xxyxxxx二、初等函数求导问题1.求导法则2(1)();(2)();(3);(4),(),1,uuv uvu vuvuvuv uvvvyy uyuxxu xyxxy 复合函数求导法则;(5)反函求导法则;22112(3)arcsinarcsin2222412xxxyxxx 2.基本初等函数求导公式122(1)()0,();11(3)()ln,();,(ln);ln(5)(sin)cos;cossin;11(7)(tan);cot;cossin(9)(
21、arcxxxxaccxxaaa eelog xxxxaxxxxxxxx为常数 (2)()(4)()(6)()(8)()222211sin);arccos;1111(11)(arctan);cot.11xxxxxarcxxx (10)()(12)()思考题1.初等函数的定义区间内都可导吗?答案2.单调函数的导数仍然单调吗?请举例说明.答案y=x3.理解反函数的导数定理,并试用其求反正切函数arctan 的导函数.答案课堂练习题221.计算下列函数的导数:(1)4-;(2)arctan2xy=xy=答案 ln 1,.2.设求f xxyff xy答案一、隐函数的导数22()(,)0,.1,0yxyx
22、yf xxyF x yyxxyeexy 变量 已写成自变量 的明显表达式的那种函数叫作显数.如果 和 的依赖关系隐藏在某个方程那么叫作 的隐数如函函 有的隐函数可以显化，有的则不能，不论隐函数是否能显化，可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.lncos2.xyeyxxyy求由方程所确定的隐函数 的导数例1 解()ln2sin22sin2lnxyxyxyyxyeyxyyxxxyxyexyxex方程两端 对 求导有 所以 (),()u u x v v x 这里均为可导函数.注意其既不是幂函数,也不是指数函数,称为幂指函数,不能错误地按幂函数或按指数函数来求导.,lnln1,ln(ln)vyuy
23、vuxyvuvuyuvvyuvuuu对 于 函 数先 两 边 取 自 然 对 数 1两 边 对求 导 所 以 二、幂指函数 的导数vy u0u sin(ln)(1).xyxx求的导数例2 解sinlnsin lnln.111,cos lnlnsinlnsin(ln)(cos lnln)lnxyxxxyxxxyxxxyxxxxx方程两端对 求导所以 在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例323(1)(2).(3)(4)xxyxx求 函 数的 导 数例 3 解231lnln(1)2ln(2)ln(3)ln(4),31121131234(1)(2)1
24、121131234(3)(4)yxxxxxyyxxxxxxyxxxxxx 方程两端对 求导1 所以 三、由参数方程所确定函数的求导法(),().xxtyxtytyxy 参数方程确定了 是 的函数一般情况下消去参变量 得到 和 的直接对应关系式是有困难的.因此,总希望有一种方法,直接由参数方程式求出它所确定的函数的导数11,(),(),()0,()(),().()()txxttxt ytttxttxyxyxytyy txt 为此 设函数关于 可导且存在反函数则 为 的复合函数由复合函数及反函数求导法则33cos().sinxatdyyf xyatdx求由参数方程所确定的函数的导数例4 解223s
25、incostan,.23cos(sin)txtyattnyx tnattx 为整数cos,.sin4xattybt求椭圆在处的切线方程例5 解coscot,.4sin222(),2022txtybtbbabytytxyxaatatxbbayxbx ayaba所以当时所以所求切线方程 即思考题 111.,已知则分析求解中错误.xxxxxyxyxx xxx xx答案2.隐函数求导结果中往往含有,这是为什么?y答案3.参数方程求导时应注意些什么?答案课堂练习题,1.求由方程所确定的隐函数 的导数.x+yxeyy答案.4sin2.写出曲线在处的切线方程cos2x=tty=t答案2222,()(),()
26、,(),()(),(),.yf xxydf xdyf xyf xxdxdxd f xd yyf xy fxdxdx 已经知道 一个函数的导数仍是 的一个函数,记作或如果导数关于 仍是可导的它的导数叫作函数的二阶导数 记作或3333,()()(),(),.yfxyf xd f xd yyfxdxdx 同理 二阶导函数的导数叫作函数的阶导数 记作或三()(),(),()(),.nnnnnnyf xnyd f xd yfxdxdx 依次类推 就可以定义函数的 阶导数,并且记作或 二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说的导数就是一阶导数.由导数的定义，很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如00(
27、)()()lim()()()limxxfxxfxfxxfxxfxfxx 高阶导数也有许多实际背景.例如，加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数，并把此说成二阶导数的一个物理模型.1011,(0).nnnnny a xaxa x aa求 次多项式函数的各阶导数例1 解120121(1)2,nnnnyna xna xaxa23012(1)(1)(2)2,nnnyn na xnna xa()0(1)(2)!,0.(!.)nnnyn ayynn说明 次多项式,阶以上导数均为零;(2);(3).xxxyeyeyan求的 阶导数例
28、2(1)解()(1),;nxxxxyeyeyeye ()2(2),;nxxxxnyeyeyeye ()2lnlnln(3),;nxxxxnaaayayayaya sin.yxn求 正 弦 函 数的 阶 导 数例 3 解cossin,2cossin2,22cos2sin3,22sin2nyxx xyxxyxxyx n ln(1).yxn求函数的 阶导数例4 解2341112!3!(4),1(1)(1)(1)(1)!()(1).(1)nnyyyyxxxxnnyx 思考题1.请说明求函数的高阶导数的运算本质.答案nn2.证明 次多项式 阶以上导数为零.答案课堂练习题 3,.fxyf x1.已知二阶导
29、数存在 求的二阶导数答案 62.2,1?.f xxf 设 求答案一、微分的概念0,0.()limxyxxyf xx 前几节研究了导数 所谓的导数就是函数的改变量与自变量的改变量的比值当时的极限即 导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考察和估计函数的改变量.计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有的.所以当自变量的改变量 很小时,要对函数的改变量 进行估计.xy先看一个实
30、例.2:,SxSxx 正方形金属薄片的面积 是边长 的函数受热冷的影响边长有一改变量面积相应地有一改变量222()2()Sxxxxxx(14 7),.S见图阴影部分包含以下两部分14 7图 金属薄片面积改变量xx2()x2(1)2,2()(2)().x xxxSxx是线性部分 且以为线性部分系数是关于的高阶无穷小部分,(1),(2),.(1),(1).xSSx xxS 因此当很小时为的主部换句话说,可以用2来近似代替,所产生的误差关于的高阶无穷小在实际问题中影响不在可忽略不计并且很便于计算是很有用的所以称为的主要部分,()().xxyf xyyf x 现在转到一般情形当自变量 有一改变量时函数
31、的相应改变量是否可以分成类似于实例中的两部分呢?结论是,只要可导这一定是可能的理由是(),f xx函数改变量的主要部分给它另起一个名字,叫作函数的微分.0lim()xyfxx 因为 (),(0)yfxxxx 所以其中0,当.()(),0,0,fxxfxxa xxx 果然函数的改变量分成两部分 第一部分的线性部分因为中不含第二部分由于随时所以其关于为高阶无穷小.(),().:(),(0,0)yf xf xxdydyf xxy dyxx 义 设函数可导称为函数的微分,记作即 根据前面的讨论,有 时 定(1),;yxdyyx 它是函数改变量的主要部分因此当很小时用微分近似代替改变量误差关于为高阶无穷
32、小(2),x 它是自变量的改变量的线性函数且以导数为系数,是较容易计算的.1(14 19)1,0,0.dyyxyyxydydyy 改写有当时令两端取极限,便得与为等价无穷小其进一步说明了近似代替理由所在.211,0.01yxxx 求函数在处时的增量与微分.例1 解22111(1.01)(1)(1.011)(11)0.0201,22;0.02.0.0001.xxxyffyxdyyxydy 与误差为32,yx yx yx由微分的定义 很容易写出函数等的微分.322()3;()2;1.d xxx d xxx dxxx 即,()(14 20)(),().xdxxxdyf x dxdyf xf xdxd
33、ydx 最后一式说明自变量 的微分就是自变量 的改变量于是习惯把函数的微分写成 由式得可知函数的导数等于函数的微分除以自变量的微分于是习惯上称导数为微商.二、微分的运算 按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数便可立刻写出微分公式，sin,cos,cos;1ln,.yxyxdyxdxyxydydxxx 所 以1 =,所 以 ,u vx 导数的四则运算法则,对微分也是成立的.即设为 的可微函数,则2(1)();(2)();(3),(0).d uvd ud vd u vvd uu d vuvd uu d vdvvv()();,(),()(),()().,(),uyf ud
34、yf x duuuxdyydxfxx dxdux dxdyf u duuyf u 应该着重指出一点,当 为自变量时,函数的微分为当 不是自变量而是别一个变量的函数时按照微分的定义及复合函数求导法则有但故这表明不论 是自变量还是中间变量,函数的微分式都是一样的这叫作一阶微分形式的不变性.sin.xye求 函 数的 微 分例 2 解sinsinsinsinsin,sincos,sincosuuxxxxxudydee duedxedxdyedxedx把看成中间变量则 复合函数微分时 可以不明显写出中间变量,如上题 1 3cos.xyex求函数的微分例3 解1 31 31 31 31 31 3(cos
35、)coscos(3)cos(sin)(3cossin).xxxxxxdyd exdxeedxedxex dxexx dx =-在括号内填入适当的函数.例4 (1)();()cos.dxdxdwtdt (2)解2,;(2)sin,().xcwtccw1直 观 观 察 不 难 看 出(1)应 填21应 填其 中 为 常 数tan.yexyxy求由方程所确定的函数 的微分例5 解2sec1,.2cosyyx ye dyydx xdydxdydxexx方程两端分得所以(ln).xyxdy求函数的微分例6 解lnln(ln).111lnln,(ln)lnln.lnlnxyxxdyxdxdxdyxxdxy
36、xx两端微分得所以1,;.yxxydyyydytdttyyxxdxdxxxttdt 顺便指出利用微商可以方便验证反函数求导法则参数方程求导法则的正确性如三、近似计算000000000000()()0,(),()()()()()(),()()()(yf xxf xxy dyf xxf xxf xf xxf xxf xf xxxxxf xf xf xx 如果在点 处的导数且很小时有 或写成 所以便有近似公式 若令上式可以写 0)x30sin利用微分计算30的近似值.例7 解30 30.6360把写成弧度为()sin,()cos,06360f xx fxxxx 设取sin30 30sinsincos
37、636066360所以130.5076223600,0,()()(0)0,.xf xf xfxxx在近似公中 取有 注意到这里的 与 点很接近 即数值较小时1;(2)(1)1;(3)sin;(4)tan;(5)ln(1);xexxxx xx xxx 由上式可以推了工程上几个常用的近似公式.(1)思考题1.,?从本质上可微即可导 从形式上两者有何区别 在应用方面呢答案2.自变量的导数和自变量的微分一样吗?答案 xy=dy3.对于形如x的函数求的关键是什么?答案课堂练习题cossin1.利用微分性质将适当函数填入下列括号内使等式成立.(1)(2)dtdtdxdx答案2.sin,是常数求SAtAds
38、 答案一、求一元函数的极限1.学习Mathematica的命令Mathematica的求极限命令调用格式为000000,lim(),1lim(),1lim(),xxxxLimit f x xxf xxxLimit f x xx Directionf xLimit f x xx Directionf xLimit f x x 求 求 求lim(),lim()xxInfinityf xLimit f x xInfinityf x 求 求2.理解函数极概念1()sin0.f xxxx分析函数当时的变化趋势例1 解 1,1.1()sin,f xxxx画出函数在上的图形 Plotx*Sin1/x,x,-
39、1,2由图可知,随着 的减少振幅越来越小趋近于0,频率越来越高做无限次振荡.1()sin0f xxx分析函数当时的变化趋势.例2 解 1,110,sin11xxsinx画出函数上的图形.PlotSin1/x,x,-1,1由图可知,当时在和1之间无限次振荡,极限不存在.仔细观察该图形,发现图形的某些峰值不是1和-1,而正弦曲线的峰值是1和-1,这是由于自变量的数据点选取未必取1和-1的缘故.sin()0 xf xxx考察函数当时的变化趋势.例3 解0 2,2.sin0,sinlim1xxxxxx 画出函数在上的图形 PlotSinx/x,x,-2Pi,2Pi由图可知,在附近连续变化 其值与1无限
40、近,可见3.求一元函数的极限例4 求下列函数的极限：31031ln0013tansin1(1)lim;(2)lim;(3)lim;111(4)limlim(cot).xxxxxxxxxxxxxxxxx (5)解2In1:=Limit1/(x+1)-3/(x3+1),x-1Out1=-1In2:=Limit(Tanxx-Sinx)/x3,x-01Out2=2In3:=Limit(x+1)/(x-1)x,x-InfinityOut3=eIn4:=Limitxx,x-0,Direction-1Out4=1In5:=LimitCotx(1/Logx),x-0,Direction-11Out5=e 二、
41、求一元函数的导数1.学习Mathemmatica命令Mathematica的求导数命令调用格式为(),nD f x xf xD f xx nfx 求()求()2.导数概念根据导数的定义，利用Mathematica的求极限命令可以求出函数在任何一点处的导数.Limit(fx+h-fx)/h,h-0(),(0).xf xef设用定义计算例5 解 定义函数001:1()()()00lim,xxInf xExp xoutefxxfxxfxxhx 在 某 一 点的 导 数 定 义 为 极 限 记输 入 命 令 Limit(fh-f0)/h,h-0得 结 果 为 1.3.求一元函数的导数例6 求下列函数的
42、导数；212sin342(1)25;(2)cos2cos2;(3)4lnln.xyxxyxxyyx (4)解2In1:=DSqrtx2-2x+5,x-2+2xOut1=2 5-2x+x2In2:=DCosx2+2Cos2x,xOut2=-4Sin2x-2xSinx In3:=D4Sinx,xsinxOut3=4CosxLog4In4:=DLogLogx,x1Out4=xLogx(20)22(),().xf xx efx设求例7 解2x2x2xIn5:=Dx2*E(2x),x,202xOut5=99614720e+20971502e+1048576e 1.由可导必连续可知,连续是可导的必要条件.
43、返回 00,.02.的几何意义表示曲线在点处切线的斜率fxyfxxy返回3.,.00不一定.因为是先求导后代值,而是先代值后求导 后者恒等于零fxfx返回1.证明：00000limlim0.xxfxfccfxx返回2.解:=2yx22 24,.即为过点 2,3 处切线的斜率xy342450.所求切线方程为即yxxy返回2,.1.均是 的可导函数,则有x 返回211;.212.xxxx 返回1.解:323ln333 ln3.xxyxx 返回2.解:209120911.则fxxf 返回ln,tan,lntan.331.令可复合成函数xxyy 返回.2上段计算时漏掉一个复合层次的求导运算导致错误返回
44、3.正确.这是由复合函数求导法则可知的.返回1解:2121cos 21cos 21xxyexex21212cos 212sin 21xxexxe212cos 21sin 21xexx返回2解:2(1)xxxyf efee222(2)f xyefxx返回1.不一定.因为初等函数在定义区间内都是连续的,但连续只是可导的必要条件所以不一定在其定义区间上都可导.返回323,.yxyx 2.不一定.如 的导数在上就不单调返回22211113.arctan.sec1tan1tanxyyxyyxy 返回1.解:2(1)4 yx 222 4xx2.4xx 2(2)arctan2 xy 2122arctan21
45、2xx24arctan42xx返回2.解:ln 1ln 1 ln 1yff xf xx 11 ln 11yxx 返回lnln1.1lnln1.x原错误求导运算中把幂指函数当成幂函数求导了,正确的应该为y=xxxxxeexxxxx返回2.因为由隐函数的定义及其求导法则可知 是 的函数又不能用显式表示出来所以 对 求导的结果中含.yxyxy返回3.参数方程求导时要熟记求导公式分清因变量,自变量及中间变量及其相互之间的关系是关键.返回1.解:1方程两边对 求导得x+yx+yxe+xeyy1,:1整理后 可得x yyy x 返回2.解:44sin.4sin2 2.4tttdydyyxtdxdx 000
46、22,0,04222 20又当时有则曲线在点处的切线方程为txyyyxx 2,:20.2即-2 2整理得 2 2y=xxy返回1.就是反复地运用求一阶导数的运算.返回11100.02.是 次多项式函数nnnny=a xa xaxaan120111.nnnyna xna xa 230121122nnnyn na xnna xa 0.!0我们发现每求一次导数 次多项式的最高次就降低一次 nn+1nyn ay0.的 阶以上的导数均为yn返回1.解:3323433,96.则 yf xyfxxyfxxfxx返回2.解:6542,62,302,f xxfxxfxx 31202fxx3112012120.则f 返回001.;,.0从形式上在一点处的导数是一个常数,而微分则是 的线性函数 在应用上导数多用于研究函数性质 而微分多用于近似计算fxdy=fxxxx返回2.不一样.因为自变量的导数等于1,而自变量的微分为dx.返回3.关键是:先取对数,然后再对两端进行微分.返回1.解:sincos(1)dtcdtcossin1(2)-dxcxdx返回2.解:coscos.dsAtdtAtdt 返回
