1、第十五章 导 数 的 应 用(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、内容提要一、内容提要1、拉格朗日中值定理及特例，定理的几何解释。2、一阶导数的符号和曲线单调性的关系。3、极值存在的必要条件及利用一阶导数或二阶导数判断极值。4、求函数在闭区间上最大值和最小值，求最值应用题。5、利用二阶导数研究曲线凸凹性和拐点，拐点存在必要条件 及判定。6、利用导数作图。7、利用洛必达法则，求未定式极限。*8、曲率公式，弧长的微分公式。二、重点和难点二、重点和难点 中值定理的应用：曲线的单调性与极值，曲线的凸凹性与拐点及未定式
2、极限为重点，函数的作图是本章难点。三、基本要求三、基本要求1、拉格朗日定理是利用导数来研究函数的性质的理论基础，必须熟记定理的条件和结论及几何意义。2、熟练应用一阶导数，判断曲线的增减性，牢固掌握极值存在的必要条件，运用一阶导数和二阶导数来判定极值。清楚极值与最值的联系与区别。3、清楚二阶导数的几何意义，利用二阶导数判定曲线凸凹性及求拐点。4、能正确熟练运用洛必达法则计算未定式极限，重点掌握00型，型。5、能正确掌握利用一阶导数和二阶导数研究曲线的性态并能正确做出常见的初等函数图像。四、对学习的建议四、对学习的建议 拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的性质的基础理论，因而十分重要，必须弄清它的
3、条件与结论以及几何意义。定理的证明只要求理解。洛必达法则是求极限的一个有力工具，在应用中须注意以下几点。001、每次使用法则必须检验是不是，型。2、使用法则前，函数中若有因式可用无穷小代换，则代换，以便简化计算。3、使用法则后，若有因式其极限可以确定，则应及时剥离求出极限，以利继续使用法则。4、使用洛必达法则中，在适当的环节上可结合其他求极限的方法，以便极限较快求出。另外，法则有时会失效，但不能因此确定函数无极限，可另换他法。结合实际求最值问题，关键在目标函数的建立，这需要一定的其他领域的知识。目标函数建立的恰当与否，取决于自变量的选取。这一切都需要多做多看一些不同类型的题目，以便培养这方面的
4、能力。导数在经济问题中的应用，关键在熟悉和掌握各种概念的含义以及它的数学表达式。五、本章关键词五、本章关键词中值定理极值最大值与最小值洛必达法则 作函数的图形是本章内容的大综合，也是本章一个难点。正因为如此，认真的按照规范的步骤做几道作图题，对融会贯通本章知识，了解函数性态，提高作图能力等都是有益的。(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、利用洛必达法则求未定式一、利用洛必达法则求未定式00对于型和型的未定式，可以用洛必达法则来求解。需注意的几点如下：0000(1)不是型或型的未定式需转化成型或型的未定式 后才能应用洛必达法则进行求解。(2)对于一道题有时需多次应用洛必达法则才能求出结
5、果。00(3)对某些型或型的极限，有时应用洛必达法则无法求 出结果，这时，就需要考虑其他方法求极限。(4)注意利用等价无穷小量代换定理，以简化计算过程。例例1 1 求下列极限：0lim cot2(1)；xxx30sincoslimsin(2)；xxxxx2201 sincoslimtan(3)；xxxx解解 00000lim cot2limlimtan2tan2 型(1)xxxxxxxxx2011lim22sec 2；xx003200sincossinlimlimsin3sincos 型(2)xxxxxxxxxx0011limlim3sin cos3sincosxxxxxxxx00111lim
6、lim3sincos3；xxxxx00(3)属未定型。直接用洛必达法则，则较繁，可先用等价tan0无穷小的代换定理，因，故xx x2201 sincoslimtanxxxx2201 sincoslimxxxx02sin cossinlim2xxxxx0sin2cos1lim2xxxx3.2二、利用导数判断函数的单调性并求其极值二、利用导数判断函数的单调性并求其极值 函数在某区间内的单调性可以用此函数的一阶导数的正负来判定，进而可以求出函数在其定义域内的极大值和极小值。需注意的是：有些导数不存在的点也可能是极值点；在单调区间内的某些离散点处导数也可能为零。例例2 2 求函数的单调区间并求其极值：
7、321(1)；xyx 22315.(2)yxx解解,11,(1)函数的定义域为，223431211xxxxyx 2333121xxxx32331xxx2331xxx233001令，即，xxyx 1203.得，xx见表15-1.表 15-1 极值表xy(,0)0(0,1)(1,3)3(3,)y027极小值 40 3,00,13,271,3.4 由表15-1可知，函数在、内单调增加，在内单调减少，函数的极小值为 xy,(2)函数的定义域为，122332151253yxxxx 232561531xxxx34 215.31xxx121052令，得驻点，yxx 1而是导数不存在的点。x 见表15-2.不
8、存在极小值0极小值0表 15-2 极值表xy(,1)111,2 121,52(5,)381 18极大值 80y503121511,5,2181 18,1,52800.由表15-2可知，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为和，函数的极大值为，极小值为和xxxyyy 三、求函数的最大值和最小值三、求函数的最大值和最小值 对于由解析式表示的连续函数在闭区间上的最大值和最小值问题，可利用比较函数在驻点和不可导点及区间端点处的函数值的大小来求。而对于由实际问题得到的函数的最值问题，只要函数在某区间内只有一个驻点，则可以肯定函数在此驻点处取得最值。2ln11,2 求函数 在上的最大值和最小值。yx例例3
9、 3解解22,1xyx 0令 y 0得驻点，x 0|0，xy1|ln2，xy2|ln5，xy2|ln5由此可知，函数的最大值为，xy0|0.最小值为 xy例例4 4 欲用围墙围成面积为 216 m2 的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？解解如图15-1所示，设矩形土地的长为，宽为，xy216.则由题可知 (1)xy 23.设围墙总长为，则LLxy21623由(1)式可得，Lxx 本题即是求 和 为多少时最小，xyL22264826482 而 ，xLxx xy图 15-1 例4 示意0令，L 232418.得，xx 181818
10、12.根据题意可知，由实际问题可知函数 一定能取得最小值，只有这一个驻点，所以当时，时用料最省xLxxy四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点 根据函数二阶导数在某区间内的正负，可以判断函数曲线的凸凹，进而可以求出函数曲线在整个定义域内的拐点。解解4321 求曲线 的凸凹区间和拐点。yxx例例 5 53246，yxx 21212121，yxxx x 0令 y 10得，x 21.x 见表15-3.,01,0,10,11,0.因此，曲线在和内是凹，在内是凸，拐点是和凹拐点(0,1)凸拐点(1,0)凹表 15-3 曲线凸凹表xy(,0)0(0,1)1(1,)曲线 y00 五
11、、利用函数的单调性证明不等式五、利用函数的单调性证明不等式 对于某些不等式，可以先将其转化为一个函数，再利用函数的单调性证明不等式。20ln 1.证明当时，xxx例例6 6证证2ln 1设函数，yxx2211 则xyx 22121xxx221.1xx,0显然在内，y 2ln 1,所以函数 在内单调增加。yxx 00因为时，xy0所以当时，x 20ln 10有，即，yxx2ln 1.所以有 成立xx(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、一阶导数的符号与曲线单调性的关系是什么？2、利用一、二阶导数能研究曲线的什么特性？?03、对于型，型的未定式可直接用洛必达法则，需0在应
12、用时注意些什么4 .、拉格朗日定理是用导数研究函数性质的理论基础，请写出其条件与结论并熟记(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案431 21 、求曲线的凸区间.yxx2 .2、求的单调区间及极值yx223 lim.lnsin、求xxx22ln4 lim.2、求xxx返返 回回1、一阶导数的符号为正号，曲线单调增加；一阶导数的符号 为负号，曲线单调减少.返返 回回2、利用一阶导数可研究曲线的单调性进而来判定极值.利用二阶导数可研究曲线的凸凹性和拐点.返返 回回003 00 、不是型，型的未定式须化为型,型才能用洛必达法则；洛必达法则在一道题的运算中并不总是最简单有效
13、的方法.返返 回回4、拉格朗日中值定理中：,.,.条件为：函数在上连续，在内可导结论为：在中至少存在一点使f xa bf xa bf bf aa bfba返返 回回432321 21 12121241.6，、：yxxyxxyxxx x解12 0 01令，得，；yxx 0在区间 0,1，y43 21 0,1.的凸区间为yxx返返 回回2 2 0 0、：，令得驻点yxyx解,0 0,0;0,0 0,.当时，曲线 的单减区间为当时，曲线 的单增区间为xyyxyy 0 0.据判定定理可知当时取得极小值xy返返 回回2223222 limlimlim.1lnsincos cossin、：xxxxxxxx 解返返 回回2224112ln lnln limlimlimlim0.222、：xxxxxxxxxxxxx解
