1、 - 1 - 2017-2018 学年第二学期高二期末数学（文）科试题 时间 :120 分钟 满分 :150 分 一、选择题 (每小题 5 分 ,共 12 小题 60 分 ) 1、已知两条相交直线 ， 平面，则 与的位置关系是 ( ) A. 平面 B. 与平面相交 C. 平面 D. 在平面外 2、在直角三角形中，以其斜边所在直线为轴旋转得到的旋转体是 ( ) A.圆锥 B.圆台 C.圆柱 D.以上都不对 3、若 一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是 ( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 4、下列各组点中，在同一直线上的是 ( ) A. B. C. D. 5、下列说法中
2、正确的是 ( ) A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C.棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 6、两个球的体积之比为 ，那么这两个球的表面积之比为 ( ) A. B. C. D. 7、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是 ( ) A.3 B. C.6 D.9 8、设 成等比数列，其公比为 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 9、已 ， ，则下列不等式一定成立的 是 ( ) A. B. C. D. 10、设 满足 ，则 ( ) A.有最小值 ，最大值 B.有最
3、小值 ，无最大值 C.有最大值 ，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 11、已知 ，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 12、已知在 中， ，则 是 ( ) - 2 - A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 二、填空题 (每小题 5 分 ,共 4 小题 20 分 ) 13、给出下列命题： 在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点，它们可能是正四面体的 4 个顶点； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 若有两个侧 面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直； 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直； 所有侧面都是
4、正方形的四棱柱一定是正方体其中正确命题的序号是 _ 14、已知直线 过点 ，那么该直线的倾斜角为 _ 15、 ， 两点的距离等于 _ 16、已知点 、点 ，动点 满足 ，则点 与点 所连线段的中点 的轨迹方程为 _ 三、解答题 (第 17 题 10 分 ,第 18 题 12 分 ,第 19 题 12 分 ,第 20 题 12 分 ,第 21 题 12 分 ,第 22题 12 分 ,共 6 小题 70 分 ) 17、已知两直线 ， 求分别满足下列条件的的值 (1)直线 过点 ，并且直线 与 垂直； (2)直线 与直线 平行，并且直线 在 轴上的截距为 18、在 中，角 的对边分别为 ， (1)求
5、角 ； (2)若角 ， ，求 19、如图，正三棱柱 中， ， 为 的中点， 为边上的动点 (1)当点 为 的中点时，证明 平面 ； (2)若 ，求三棱锥 的体积 - 3 - 20、如图，在棱长为的正方体 中， 分别是 的中点 (1)求证：平面 平面 ； (2)求证：平面 平面 21、已知圆 ，直线 (1)求证：直线 恒过定点 (2)判断直线 被圆 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时 的值以及最短长度 22、已知数列 满足 ， ，数列 的前项和 （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前项和 - 4 - 2017-2018 学年第二学期高二期末 数学（文）科试题答
6、案解析 第 1 题答案 D 第 1 题解析 由题意画出图形，当 所在平面与平面， 平行时 与平面平行，当 所在平面与平 面相交时， 与平面相交， 故答案为平行或相交（直线 在平面外） .故答案选 D. 第 2 题答案 D 第 2 题解析 这个几何体是由两个同底的圆锥组合而成的 第 3 题答案 B 第 3 题解析 根据三视图原理，答案选 . 第 4 题答案 C 第 4 题解析 根据点斜式运用两点求斜率，斜率相等时三点在同一直线上，当斜率 都不存在时也在同一条直线上，故答案选 C. 第 5 题答案 B 第 5 题解析 棱柱中也存在互相平行的侧面，故 A 错；棱柱上、下底面的距离叫棱柱的高，若侧棱与
7、底面垂直，则侧棱长即为高，若侧棱与底面不垂直，则侧棱长就不是棱柱的高，故 C 错；长方体是棱柱，其底面为平行四边形，故 D 错综上，选 B 第 6 题答案 B 第 6 题解析 - 5 - 设两个球的半径分别为 ，则 ， 故这两个球的表面积之比为 第 7 题答案 A 第 7 题解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 l 2r由题意知，轴截面面积r 1故圆锥的全面积 S 全 rl r 2 3 第 8 题答案 A 第 8 题解析 成等比数列，其公比为 ， .故选 A. 第 9 题答案 C 第 9 题 解析 当 时， ；当 时， ， ，故选 C. 第 10 题答案 B 第 10 题解析 根据约
8、束条件画出可行域，如图，当直线 过直线 与直线的交点 时， 取得最小值 ，因为可行域是个开放性的区域，故目标函数无最大值故选 - 6 - 第 11 题答案 D 第 11 题解析 ， ， ，当且仅当时 取等号， 故答案选 . 第 12 题答案 A 第 12 题解析 方法一： ， ， ， ， ， ， ， ， .故选 . 方法二：可用正弦定理、余弦定理进行角边的转化，用边的关系判断三角形的形状。 第 13 题答案 . 第 13 题解析 对于 ，在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体 中的四面体， 正确；对于 ，底面是等边三角
9、形，侧面都是等 腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，如底面 为等边三角形，且，则 为等边三角形， 和 均为- 7 - 等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥； 错误；对于 ，一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，该四棱柱不一定为直四棱柱，必须是相邻的两个侧面才是直四棱柱， 错误；对于 ，一个棱锥如果有两条侧棱和底面垂直，则这两条侧棱互相平行， 错误；对于 有一条侧棱垂直于底 面时，就有两个侧面垂直于底面， 正确；对于 所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如底面是菱形是，此时的四棱柱不是正方体， 错误 .故答案为 . 第 14 题答案 (或 ) 第 14 题解析 直线 过点 ， ， 直线 可化为，又
10、 ， ，直线斜率 ， 直线的倾斜角为(或 ) 第 15 题答案 第 15 题解析 由空间两点距离公式得： 第 16 题答案 第 16 题解析 因为 、点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹为圆心为半径为 的圆，那么点 与点 的中点 的坐标关系，利用中点公式得到，利用点随着点动，代入法得到轨迹方程为 . 第 17 题答案 （ 1） ； （ 2） ， . 第 17 题解析 （ 1） 直线 过点 ， ， 直线 与直线 ， 消去 得： ， ， . （ 2）根据平行的定义得到 且 ， 直线 在轴上的截距为 ， 令 ， ，得到 ，代入且 中得 ， . - 8 - 第 18 题答案 （ 1） ；（ 2） ， .
11、第 18 题解析 （ 1） ， , , , , ； （ 2） ， ， ， . 第 19 题答案 （ 1）证明见解析 . （ 2） 第 19 题解析 （ 1）连接 ， 中， 分别为 中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . （ 2）由 ，得 ，过点 作 于 ，则且 ，又 平面 ， 平面 ， ， ， ， 三棱锥 的体积 . 第 20 题答案 证明见解析 . 第 20 题解析 （ 1）连结 ， 中， 分别是 的中点， ， 正方体 中， ， ， 四边形 是- 9 - 平行四边形，可得 ，因此 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，同理， 平面 ， 为平面内的相交直线， 平面 平面 ； （ 2） ， 为正方形
12、，得 ， ， 又 正方体中， 面 ， 面 ， ， 是平面 内的相交直线， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 . 第 21 题答案 解： (1)证明略； (2)直线 被圆 截得的弦最短时 的值是 ，最短长度是 第 21 题解析 解： (1)直线 的方程 经整 理得由于 的任意性，于是有 ，解此方程组，得 即直线 恒过定点 (2)因为直线 恒经过圆 内一点 ，所以 (用几何画板软件，探究容易发现 )当直线经过圆心 时被截得的弦最 长，它是圆的直径；当直线 垂直于 时 被截得的弦长最短由， ，可知直线 的斜率为 ，所以当直线 被圆 截得弦最短时，直线 的斜率为 ，于是有 ，解得 此时直线 l 的方程为，即 又所以，最短弦长为 直线被圆 截得的弦最短时 的值是 ，最短长度是 第 22 题答案 （ 1） 、 ；（ 2） 第 22 题解析 （ 1） ， ，则 ， ， 数列 是以公比为 ，首项为 的等比数列 . 故数列 的通项公式为 ； 数列 的前项和 ， 当 时， ； 当 时， ， ， 不满 足；故. （ 2） ，当 时， ； 当 时， ， 即 ； - 10 - ； 由 得： ； ， ， 故 . 也满足； 综述， .
