1、 - 1 - 齐齐哈尔市 2017-2018 学年度下学期期末考试 高二数学试卷（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 ? ?-1 0 1 2 3A? ， ， ， ， ， ? ?lnB x y x?，则 AB? ( ) A ? ?0,1,2,3 B ? ?1,2,3 C ? ?0,? D ? ?0,3 2.已知复数 2 iz i? （ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为 ( ) A 2? B 2i? C 2 D 2i 3.函数2 3( ) logf x x x?
2、的零点所在区间为 ( ) A ? ?1,2 B ? ?2,3 C ? ?3,4 D ? ?4,5 4.下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是 ( ) A 1y x? B21y x?C. 133xxy ?D 3yx? 5.周髀算经中有这样一个问题 : 从冬至之日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气 .其“日影长”依次成等差数列 .若已知冬至、立春、春分的“日影长”之和为 31.5尺，前九个节气“日影长”之和为 85.5尺 ,则芒种“日影长”为 ( ) A.1.5尺 B.2.5 尺 C.3.5尺 D.4.5 尺 6.已知角 6? 的顶点在原
3、点，始边与 x 轴正半轴重合，终边过点 ? ?5,12P? ， 则7cos 12?( ) A 17226? B 7226? C.7226 D 17226 7.已 知 21( ) cos4f x x x?， ()fx为 ()fx的导函数，则 ()fx的图象是 ( ) - 2 - A B C. D 8.下列四个命题中，真命题的序号是 ( ) “ 1x? ”是“ 2 20xx? ? ? ”的充分不必要条件； 命题 ? ?: 1, , lg 0p x x? ? ? ?，命题 20 0 0: , 1 0q x R x x? ? ? ? ?，则 pq? 为真命题； 命题“ ,0xx R e? ? ? ”的
4、否定是“ 00 ,0xx R e? ? ? ”； “若 22am bm? ，则 ab? ”的逆命题是真命题 . A B C. D 9.2018年 6月 18 日，是我国的传统节日“端午节” .这天，小明的妈妈煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅 .小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为 ( ) A 14 B 34 C. 110 D 310 10.要从甲、乙等 8人中选 4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 ( ) A 60种 B 120种 C.240种 D 360种 11.已知 P
5、A B C、 、 、 是球 O 的球面上的四个点， PA? 平面 ABC ，26PA BC?, 60BAC?，则该球的表面积为 ( ) A 16? B 24? C.323? D 48? 12.在区间 ? ?0,1 上任意取两个实数 ,ab，则函数 31() 2f x x ax b? ? ?在区间 ? ?1,1? 上且仅有一个零点的概率为 ( ) A 78 B 14 C.34 D 18 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.多项式 ? ?52xx? 的展开式中含 7x 的项的系数为（用数字做答） 14.直线 2yx? 与抛物线 23yx? 围
6、成的封闭图形的面积为 - 3 - 15.某工厂为研究某种产品产量 x （吨）与所需某种原材料 y （吨）的相关性，在生产过程中收集 4组对应数据（ ,xy）如下表所示：（残差 =真实值 -预测值） x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出 y 关于 x 的线性回归方程为： ? 0.7y x a?.据此计算出在样本 ? ?4,3 处的残差为 -0.15，则表中 m 的值为 16.已知函数 1( ) ln ( )f x x a x a Rx? ? ? ?，若直线 1yx?与曲线 ()y f x? 相切，则 a? 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤 .） 17.某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 100件作为样本，测量这些产品 的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图： (1)求直方图中 a 的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少（结果保留整数）； (3)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2(200,12.2 )N ，试计算数据落在 (187.8,212.2) 上的概率 . （参考数据：若 2 ( , )ZN? ，则( ) 0 .6 8 2 7PZ? ? ? ? ? ? ? ?, ( 2 2 ) 0 .9 5 4 5PZ? ? ? ?
8、 ? ? ? ?） 18.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形， PA? 平面 ABCD ,EF、 分别是线段AD PB、 的中点， 1PA PB?. (1)证明： /EF 平面 DCP ； (2)设点 G 是线段 AB 的中点，求二面角 C PD G?的正弦值 . - 4 - 19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付 .有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了 50次商业行为，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） ? ?1525， ? ?2535， ? ?3545， ? ?4555， ? ?5565， ? ?6575， 频数 5
9、10 15 10 5 5 手机支付 4 6 10 6 2 0 (1)若把年龄在 ? ?1545， 的人称为中青年，年龄在 ? ?4575， 的人称为中老年，请根据上表完成以下 22? 列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系？ 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计 (2)若从年龄在 ? ?5565， 的被调查中随机选取 2人进行调查，记选中的 2人中，使用手机支付的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 ()EX . 参考公式： 22 ()=( )( )( )( )n a d b cK a b c d a c
10、 d d? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? . 独立性检验临界值表： 2 0()PK k? 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 - 5 - 20.已知椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?的离心率为 12 ，右焦点 2F 与抛物线 2 4yx? 的焦点重合，左顶点为 P ，过 2F 的直线交椭圆于 AB、 两点，直线 PA PB、 与直线 :4lx? 交于 MN、两点 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)试计算 PMPN? 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明
11、理由 . 21.已知函数 2( ) ln ( 2 1 ) ,f x x x a x a x a R? ? ? ? ?. (1)令 ()gx为 ()fx的导函数，求 ()gx的单调区间； (2)已知函数 ()fx在 1x? 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 4 cos 2 sin? ? ?，直线1 : ( )6lR?，直线2 : ( )3lR?.以极点 O 为 原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 . (1)求直线 12ll、 的直角坐
12、标方程以及曲线 C 的参数方程； (2)已知直线 1l 与曲线 C 交于 OM、 两点，直线 2l 与曲线 C 交于 ON、 两点，求 OMN? 的周长 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 3 ,f x m x m R? ? ? ?,不等式 ( ) 2fx? 的解集为 ? ?24xx? . (1)求实数 m 的值； (2)若关于 x 的不等式 ()x a f x? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . - 6 - 齐齐哈尔市 2017-2018学年度高二下学期期末考试答案 一、选择题 1-5: BABDB 6-10:BACAB 11、 12： DA 二、填空题 13.10 14
13、.323 15.4.5 16. 1? 三、解答题 17. 解：（ 1）由已知得 ， 解得 ； （ 2） 众数 = ； 由前三组频率之和 ， 前四组频率之和为 ， 故中位数位于第四组 内， 中位数估计为 ； （ 3）因为 从而 18. 解：（ 1）证明：取 的中点为 ，连接 , 四边形 是正方形 , 分别是线段 的中点 , , 且 , 且 , 四边形 为平行四边形， - 7 - 且 平面 ， 平面 ， （ 2）解： 平面 ，四边形 是正方形， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 . 则 . 设平面 的法向量为 ， 则 得 可取 设平面 的法向量为 ，则
14、 得 可取 所以 所以二面角 的正弦值为 . 19.解：（ 1） 2 2列联表如图所示： 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 20 10 30 中老年 8 12 20 总计 28 22 50 - 8 - 所以在犯错误的概率不超过 的前提下不能认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系 . （ 2）年龄在 的被调查者共 人，其中使用手机支付的有 人，则抽取的 人中使用手机支付的人数 X 可能取值为 ， 则 ； ； 所以 X的分布列为： X 0 1 2 . 20.解：（ 1）由题意知 ，右焦点 即 ，且 ，解得 ，所以椭圆方程为 . （ 2）由（ 1）知 ， 当直线 的斜率不存在时，即直线
15、 的方程为 ， 易知 ，所以直线 令 ，可知： ,此时 . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 设 ，直线 直线 - 9 - 令 ，可知 联立 ，消去 整理得 ， 此时 综上所述， 是定值 . 21.解：（ 1）由 ，可得 ， 所以 ， 当 时， ， ，函数 单调递增； 当 时， ， ，函数 单调递增， ， ，函数 单调递减 . 所以当 时， 的单调增区间为 ； 当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 . （ 2）由题知， . 当 ，即 时，由（ 1）知 在 内单调递增， 可得当 时， ，当 时， . 所以 在 内单调递减，在 内单调递增， 所以 在 处取得极小值，不合题意 . 当
16、，即 ， 在 内单调递增，在 内单调递减， 所以当 时， ， 单调递减，不合题意 . - 10 - 当 ，即 时， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所 以 在 处取得极大值，符合题意 . 当 时， 时， ， 时， ， 故 在 处取得极小值，不合题意 . 综上可知，实数 的取值范围为 . 22解：（ 1）直线 的直角坐标方程为 ，直线 的直角坐标方程为 曲线 的参数方程为 （ 为参数） （ 2）联立 ，得到 同理 又 所以根据余弦定理可得 ， 所以周长 . 23解（ 1）因为 所以不等式 ，即 所以 ，因为不等式解集为 ，所以 或 ,解得 . （ 2）关于 的不等式 恒成立，等价于 恒成立，等价于恒成立，解得
