1、12.3几何概型,第十二章概率、随机变量及其分布,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1) ，则称这种模型为几何概型.2.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是 之比或 之比.3.借助 可以估计随机事件发生的概率.,知识梳理,体积,长度,模拟方法,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()(2)几何概型中，每一个基本事件就是
2、从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P .(),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为,答案,解析,1,2,4,5,6,3,3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是,答案,解析,1,2,4,5,
3、6,3,P(A)P(C)P(D)P(B).,解析,答案,1,2,4,5,6,3,1,2,4,5,6,3,题组三易错自纠5.在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为 ，则m_.,解析,答案,1,2,4,5,6,3,解析由|x|m，得mxm.,3,6.在RtABC中，A30，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则|AM|AC|的概率为_.,解析,答案,解析设事件D为“作射线CM，使|AM|AC|”.在AB上取点C使|AC|AC|，因为ACC是等腰三角形，,事件D发生的区域D907515，构成事件总的区域90，,1,2,4,5,6,3,题型分类深度剖析,1.某公司的班车在7：00
4、，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是,解析,答案,题型一与长度、角度有关的几何概型,自主演练,解析如图所示，画出时间轴.,小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，,解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域H为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为,解析,答案,3.在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程
5、x22px3p20有两个负根的概率为_.,解析方程x22px3p20有两个负根，,解析,答案,求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).,命题点1与平面图形面积有关的问题典例 (2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_.,题型二与面积有关的几何概型,多维探究,解析,答案,解析不妨设正方形AB
6、CD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.,命题点2与线性规划知识交汇命题的问题,解析,答案,解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，,命题点3与定积分交汇命题的问题典例 如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_.,解析,答案,求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.,跟踪训练 (1)(2016全国)
7、从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为,解析,答案,解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知,解析,答案,解析,答案,(3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_.,题型三与体积有关的几何概型,师生共研,解析,答案,解析当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何
8、概型知，,(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于 的概率为_.,解析,答案,解析过点M作平面RS平面AC，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等.,求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.,跟踪训练 (2017湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的
9、缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是,解析,答案,解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1 ，故选A.,典例 (1)在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是_.(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 的概率为,几何概型中的“测度”,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,错解展示：(1)C90，CAM30，,现场纠错解析(1)点M在直角边BC上是等可能出现的，“测度”是长度.设直角边长为a，,(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，
10、则0x1，且0y1.,纠错心得(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.,课时作业,1.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影部分的面积是,基础保分练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由|z|1可得(x1)2y21，
11、表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足yx的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x)的部分图像如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计 f(x)dx的值约为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
12、,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由几何概型的概率计算公式，得所求概率,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2017武昌质检)如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)sin x和余弦曲线g(x)cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根据题意，可得曲线y
13、sin x与ycos x围成的区域的面积为,解析,答案,解析设事件“在区间4,5上随机取一个数x，则xD”为事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3.如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则PBC的面积小于 的概率为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
14、,16,9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_.,11.在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)x22axb22有零点的概率.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为SM423，,解答,12.已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛
