1、第六章 平 面 向 量 和 复 数(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)平面向量的概念及加、减、数乘.(2)平面向量的数量积及运算规律.*(3)复数的概念、几何表示及共轭复数.二、本章重点、难点二、本章重点、难点 向量的四则运算、数乘运算、数量积运算及规律是重点；复数的四则运算，复数的三角形式及运算是难点.*(4)复数的四则运算，复数的三角形式及三角形式的乘法和 除法.三、对学习的建议三、对学习的建议abcABCD (1)在书写向量时，一定要注意加箭头，如，等.0(2)注意理
2、解向量运算的几何意义对于掌握有关向量的知识 是非常有帮助的.如，等.abababi0000(3)要注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系.复数，当 时为实数，当 时为虚数，当 且 时为纯虚数.实数集与虚数集的交集是空 集，它们都是复数集的真子集，它们的并集就是复数集.纯虚数集是虚数集的真子集.abbbba四、本章关键词四、本章关键词虚数复数复数的三角形式复数的指数形式i(,)(,)(4)任一复数 和复平面内的一点 一一对应，也和以原点为始点，点 为终点的向量 一一对应，在这些一一对应下，复数的各种运算，都有特定的几何意义.ZabZ a bZ a bOZ(5)实数集中的加、乘运算律，在复数
3、集中仍然成立.复数加、减、乘、除、乘方、开方的结果仍然是复数，注意复数开 次方的结果是 个复数，这是实数集中所没有的性质.nni(cosisin)i(6)复数的三角形式，指数形式 可 以给复数的乘、除、乘方、开方带来方便，至于复数的加、减运算，还是用代数形式 来进行比较简便.ZrZreZab(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、有关平面向量概念和性质的问题一、有关平面向量概念和性质的问题解决此类问题的基础是熟记并理解向量的概念和性质.|已知下列命题：(1)和是共线向量，则点、必在同一条直线上；(2)向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；(3)若向量、满足，且与方向相同，则 ；(4
4、)起点不同，但方向相同且模相等的两个向量是相等向量；ABCDABCDABCDABCDABCDABCD abab例例1 1ABCD 其中真命题有个数为().0个；.1个；.2个；.4个.解解对于命题(1)，由于研究的是自由向量，故向量共线未必能保证它们的四个端点共线.对于命题(2)，平行向量就包括方向相同或方向相反两种情况.对于命题(3)，向量是不能比较大小的.对于命题(4)，应注意相等向量与起点位置无关.综上，命题(2)、(4)为真命题，故选 C.ABCD|下列命题中正确的是().相等的向量，若起点不同，则终点不一定不同；.若向量、平行，则向量、共线；.单位向量是惟一的；.若，则.ababab
5、ab例例2 2解解对于命题 A，相等向量的方向相同，长度相等，因此若起点相同，必有终点重合.对于命题 B，研究的对象是自由向量，因此平行与共线是同一概念.对于命题 C，单位向量长度为 1，但它还有方向问题.对于命题 D，两个向量长度相等，但它们的方向未必一定是相同或相反.综上，命题 B 正确，故选 B.二、平面向量的运算二、平面向量的运算 平面向量的运算包括向量的加法、减法、数乘、数量积.它们的定义，运算律，几何意义，各种符号的含义都是解决此类问题的关键.5(2)2(2)化简下列各式.(1)；(2).ABCDBCDA abab例例3 3解解5(2)2(2)(1)abab51042abab12；
6、ab(2)ABCDBCDA ABBCCDDA ACCA.0|要使下列各式成立，非零向量、应满足什么条件？(1)；(2).ababababab例例4 4解解|(1)根据向量加法的三角形法则可知，要使，必须有 与 同向；ababab|(2)根据向量减法的几何意义可知，要使，必须有 与 同向且.abababab证明证明2()求证：向量 与向量 垂直.abaaba例例5 5该题型为证明题，实为计算题，因为要证两向量垂直，只需计算它们的数量积为零.2()abaaba22()abaaba abab02()所以，向量 和向量 垂直.abaaba12121212232 设、是两个不共线的向量，已知，若、三点共
7、线，求 的值.ABkCBCDABDk eeeeeeee例例6 6解解由、三点共线可知与共线，由向量共线的充要条件可设.由于：ABDABBDABBD 1212122(3)4，BDCDCB eeeeee12122(4)所以，即keeee12(2)(4).k ee1212(2)(4)由于，不共线，则 与 也不共线，而它们相等则必须有系数等于零，即k eeee2040k 8解得.k 三、平面向量在几何方面的应用三、平面向量在几何方面的应用 利用向量解决几何问题，首先要把有关线段向量化，也就是把有关线段看做向量，然后，利用向量的性质及运算的几何意义找出有关线段的关系，从而解决问题.常用的知识有：相等向量
8、平行且长度相等；共起点的相等向量终点重合；两向量数积等于零，则两向量垂直等.1314 如图 6-1 所示，中，交相交于，求证：.OACBBDBCODBAEBEBA例例7 7证明证明(用同一法)14在 上取，连.ABBEABOEOABCDEE14因为 OEOBBEOBBA 图 6-1 例7 图形1()4OBBOOA 1()4OBBOBC 3144OBBC 13ODOBBDOBBC 34所以，故，且共起点.则，三点共线，这样 和 重合.ODOEOD OEOOEDEE 14所以，.BEBA 证明三角形的三条高交于一点.例例8 8ABC图 6-2 例8图形abcP证明证明 设 的，两边上的高交于点 (
9、图6-2)，连接.ABCBCCAPPC并设，PAPBPC abc则 ，ABBCCA bacbac因为，于是有PABCPBCA ()0 ，即 acbacab()0 ，即 bacabbc0()0从而 ，即 ，acbcacbccab所以 .PCAB 这就证明了点 在 的 边的高线上，故的三条高交于一点.PABCABABC四、有关复数的概念问题四、有关复数的概念问题i00000000000 所用到的知识主要是：若复数.则 为实数；为纯虚数 且.的对应点在第 象限，；在第 象限，；在第 象限，；在第 象限，.两复数相等的充要条件是实部等于实部，虚部等于虚部.ZabZbZabZabababab22(252
10、)(344)i 为何值时，是 (1)实数；(2)纯虚数；(3)对应点在第象限.mZmmmm例例9 9解解22344023(1)令，得 或，mmmm 223故当 或 时，为实数；mmZ 21252022(2)令，得 或，mmmm22344023令 得 或.mmmm 1122解得，故 时，为纯虚数；mmZ22252021323440(3)由，得，mmmmm2132故当 时复数 的对应点在第象限.mZ22(3)(2)i 若复数 所对应的点在第 象限 内，求.kkk 例例1010解解由已知，表示复数的点在第 象限.2230(2)0即 ，kk 223解这个不等式组，得，k(3,2)(2,3)所以，k (
11、3,2)(2,3)即 的取值范围是.k2i(0)若虚数 ，满足，求.ZababbZZZR例例1111解解22(i)i由，得，ZZabab222ii所以 ababab222由复数相等的充要条件有，abaabb 0由于 为虚数，.Zb 1322得，.ab 13i22所以，.Z 五、复数的运算五、复数的运算 复数的表示形式有多种，代数式、三角式、指数式还有向量表示法.不同形式的复数在做运算时运算的类型有所不同，运算法则也不同，在运算中要注意这些不同.同时，它们能表达同一个复数，因此它们又是互相关联的，可以互化，这也就为运算带来灵活性.从而也显示了复数运算的复杂性.1 1.复数的代数形式及其运算复数的
12、代数形式及其运算2312i()13i22110(0)在进行复数的代数形式的运算中要注意 的周期性的应用，同时也要注意 的周期性的应用.时，有；，.nkkknwwwwwwwwwkkw ZZ50620008213i(22i)i1 i22 计算下列各式.(1)；(2).例例1212解解50200082i(22i)1 i(1)254 5002 42i2(1 i)2i4251(4i)i257i；1313ii2222(2)由，ww 613i22则 613i22 613i22 1.3211 设 是 的一个虚根，则 的辐角主值是 多少？wxww例例1313解解31因为 是 的一个虚根，wx 13i22设 w
13、2110所以 ，wwww211则.ww 21故 的辐角主值为.ww4|2|2 已知非零复数 满足，求.ZZZZZR例例1414解解i(0)设 ，不同时为.ZxyxyxyR22|2|2(2)4因为，所以.Zxy4又因为 ZZ4iixyxy222244i，xyxyxyxyR2240所以.yyxy2204故有 或.yxy004当 时，得 或，yxx00因为，所以 舍去.ZZ4此时.Z 224当 时，代入式，有xy13xy 13i所以，.Z 413i 或.ZZ 2 2.复数的三角形式及其运算复数的三角形式及其运算 复数按三角形式进行运算时，如果辐角是主值范围内的特殊角，可以把运算结果的辐角化为它的主值
14、.在其他情况下，一般不要求把辐角化为主值，在化复数的代数形式为三角形式时，要注意：如果辐角的主值不是特殊值，一般用反三角函数来表示，所用的反三角函数表示的角，是此复数辐角中的一个就可以了，不一定要求辐角取主值.55552 cosisin2 cosisin4444552 sinicos2cosisin44442 cosisin55 下列复数，哪几个是三角式？如果不是，请改为三角形式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)例例1515.解解可以用下述口诀检验：“模为正，角相同，余(弦)正(弦)和”.(1)不是.55332 cosisin2 cosisin4444改为 或；(2)不是.552 cos
15、isin2 cosisin4444改为 或；(3)不是.55552 cosisin2 cosisin242444改为 或；(4)不是.332 cosisin2 cosisin4444改为 或；(5)是.i1 i3i43i 分别写出 1，的三角形式.例例1616解解1 011(1)，与 对应的点在 轴正半轴上，rxarg10所以，1cos0isin0所以；0 11i(2)，与 对应的点在 轴负半轴上，ry 3arg(i)2所以，33icosisin22所以；21 12cos2(3)，r 1 i与 对应的点在第 象限，3arg(1 i)4所以，331 i2 cosisin44所以；33 12cos
16、2(4)，r 3i与 对应的点在第 象限，11arg(3i)6所以，11113i2 cosisin66于是；2243435cossin55(5)，r 3tan4所以，43i与 对应的点在第 象限，3arg(43i)arctan4所以，3343i5 cosarctanisinarctan44于是.33122ii2222 已知复数，求复数 的模及辐角.ZwZwZw例例1717解解cosisincosisin6644由已知得，Zw55cosisincosisincosisin66441212则 Zw3331111cosisincosisincosisin66441212Zw3511511coscos
17、i sinsin12121212得 ZwZw222coscosi2sincos3434222coscosisin433223所以，所求复数的模为，辐角主值等于.3 3.复数的指数形式及其运算复数的指数形式及其运算3iiii222eie1ei2e2 求证，.例例1818证明证明i2ecosisin0ii22 iecosisin1 i01 3i233ecosisin0ii22 i22e2(cos2isin2)2(1 i0)2 222 cosisin331 i 求复数 的指数表示式.Z 例例1919解解22|112tan1，Z1 i而 所对应的点在第一象限，4因此，.i42 cosisin2e44所
18、以 .Z41 i 求 .例例2020解解i41 i2e，214i4441 i(2)e(0,1,2,3)所以，kk 从而得到四个根802 cosisin1616，w81992 cosisin1616，w8217172 cosisin1616，w8325252 cosisin1616，w802162这四个根均匀地分布在半径为 的圆周上，其中 的辐角为，其他每隔 分布一个点.w六、复数的应用六、复数的应用 复数由于其自身的多种形式以及所用方法的灵活多样，因而应用很广泛.常见的有，利用复数知识和复数中的某些思想方法去解决代数的其他方面的问题，诸如三角函数、平面几何及解析几何中一些问题，这里复数的模和辐
19、角主值是不可缺少的工具.22()251 求函数 的最小值.f xxxx例例2121解解22225(1)2.xxx12(1)2ii设，ZxZx1212|ZZZZ|12ii|1 3i|xx 1012211等号仅当，同向，即.OZOZxx 1()103也就是 时，取最小值 .xf x3223cos3cos3cos sinsin33cossinsin 求证 ；.例例2222证明证明根据棣莫佛公式cos3isin33(cosisin)3223cos3cos(isin)3cos(isin)(isin)3223(cos3cos sin)i(3cossinsin)比较上式两端的实部与虚部就立刻得证.12332
20、4 直角 中，点 在 上，且，利用复数证明.ABCACBBCACEACECAECBECBA例例2323解解1 3i12i如图 6-3 建立复平面，对应复数，对应复数，BABE(12i)(1 3i)335 2 cosisin44，34CBECBA根据复数乘法的几何意义，所以.55i yx(1,3)AB(1,0)C(1,2)E图 6-3 例23图形O12 以 两边，为边向形外各做正方形 和，延长 的高 交 于，求证：，.ABCABACABEFACGHABCADFHKFKKHAKBC例例2424证明证明(0,)(,0)(,0)如图 6-4 所示，建立复平面，设，AaB bC ci则，.ABCZaZb
21、Zci(i)ii因为 对应复数，所以 对应复数.CAACzzcaACAHAHcaac i(i)()i()i因为，所以.同理，.HFDHDAAHZaacaacZaab yxBACDEFGHK图 6-4 例24图形O设 的中点，FHK2则 HFKZZZ()i()i2aacaabi2 是纯虚数.cba因为 虚轴上，所以、重合，所以.KKKFKKH|因为 AKii2cbaa2cb1()2，cb|且，BCcb 12所以.AKBC(三三)思考题思考题1、向量的三种类型是什么？人们早期用什么知识去测量 地球的半径的？2、向量、数量、有向线段是如何定义的？3、复数、虚数、实数、纯虚数是如何定义的；用文氏图 画
22、出它们间关系.4、复数有几种形式，试列出？答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1231231 5 36 .32.、已知=2，求：aeeebeeeab 420?.4n4n+14n+24n+3、计算：+iiiiin N3 .、求=1-3的模，辐角主值Zi4 2+2 .、把-化成复数指数形式i(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1 ().、有自由向量，滑动向量，固定向量，我们研究的是平面自180由向量；人们早期用=及正弦定理在同一子午线上选两点进行测算为圆半径,为弧长，为弧所对圆心角度数值RnRn返返 回回2 、只有大小的量叫数量；既有大小又有方向的量叫向量，规定
23、有方向的线段叫有向线段,常用有向线段表示向量,与起点无关.返返 回回 0 0 3、形如+的数叫复数；的+的数叫虚数:=0,的+的数叫纯虚数；=0 的+数叫实数.a bia,bba biaba biba biR文氏图：复 数实数虚 数纯 虚 数返返 回回 4、复数的代数形式:+a bia,bR cossin 0复数的三角形式：0复数的指数形式：，用弧度制irir rer返返 回回1231231 323 25236、abeeeeee 123123123631526124927.eeeeeeeee 返返 回回21100.、原式ii 返返 回回223 132 tan3.、，又在第 4 象限brZa 5 2.33返返 回回22422222 2、，abr 2+2 tan1.又-在第二象限bia 343 2+22 2.44，即-iie返返 回回
