1、 1 20162017 学年度 第二 学期期末 联考试题 高 二 数学 (理 科 ) 本试卷共 4页，全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合 2 | 0A x x x? ? ? ， 集合 2 | , 21xB y y x? ? ? R， 则 ()UAB? A 0,2) B 1,0? C 1,2)? D ( ,2)? 2 已知命题 : , 2 3xxpx? ? ?R ；命题 32: , 1q x x x? ? ? ?R ，则下列命题中为真命题的是 A pq? B pq?
2、 C pq? D pq? 3 设随机变量 x服从正态分布 N（ 2， 9），若 ( 1) ( 2 1)P x m P x m? ? ? ? ?，则 m= A 23B 43C 53D 2 4设复数 ( 1) i ( , )z x y x y? ? ? ? R，若 | | 1z? ，则 yx? 的概率为 A 3142? B 112 ? C 112 ? D 1142? 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 243 B 83 C 833 D 1033 6若双曲线 222 1 ( 0)yxbb?的一条渐近线与圆 22( 2) 1xy? ? ? 至多有一个交点，则双曲线的离心率为 A (1,
3、 2 B (1, 3 C (1,2 D (1,4 7设 x， y满足约束条件 7 0,3 1 0,2 5 0,xyxyxy? ? ? ? ? ? ?则 yz x? 的最大值是 A 52 B 34 C 43 D 25 8若抛 物线 2 2 ( 0)y px p?上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛物线方程为 2 A 2 4yx? B 2 36yx? C 2 4yx? 或 2 36yx? D 2 8yx? 或 2 32yx? 9用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5组成没有重复数字的五位数，其中比 40000大的偶数共有 A 144个 B 120个 C 96个 D 72 个
4、 10公 元前 300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。 若输入 m=98， n=63，则输出的 m= A 7 B 28 C 17 D 35 11 在三棱锥 P ABC? 中， PA ABC?平 面 ， ABC? 为等边三角形， PA AB? ， E 是 PC 的中点，则异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 A 16 B 14 C 13 D 12 12 定义：如果 函数 ()fx在 , mn 上存在 1x ， 2x 12()m x x n? ? ? 满足1 ( ) ( )() f n f mfx nm? ? ?， 2 ( ) ( )() f n f mfx nm? ? ?，
5、则称函数 ()fx是 , mn 上的“双中值函数”，已知函数 32()f x x x a? ? ? 是0, a 上的“双中值函数”，则实数 a的取值范围是 A 11( , )32 B 1( ,3)2 C 1( ,1)2 D 1( ,1)3 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 13 如图，点 A的坐标为（ 1， 0），点 C的坐标为（ 2， 4）， 函数 2()f x x? 若在矩形 ABCD内随机取一点，则此点 取自阴影部分的概率等于 14 5(2 )xx? 的展开式中， 3x 的系数是 （用数字填写答案） 15 设圆 222xy?的切
6、线 l与 x轴的正半轴、 y轴的正半轴分别交于点 A， B，当 |AB|取最小值时，切线 l的方程为 16设 x 表示不超过 x的最大整数，如： 3, 4.3 5? ? ? ? ?给出下列命题： 对任意实数 x，都有 0xx? ； 3 若 12xx? ，则 12 xx? ； l g 1 l g 2 l g 3 l g 1 0 0 9 0? ? ? ? ?； 若函数 21() 212xxfx?，则 ( ) ( )y f x f x? ? ?的值域为 1,0? 其中所有真命题的序号是 三、解答题（本大题共 6个小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本题满分 10分） 已知
7、各项 均不相等的等差数列 na 的前四项和 4 14S? ，且 1 3 7,a a a 成等比数列 （） 求数列 na 的通项公式； （） 设 nT 为数列11nnaa?的前 n项和，若 1nnTa? ? 对 n ?N 恒成立，求实数 ? 的最小值 18（本小题满分 12分） 某城市一 汽车出租公司为了调查 A， B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各 100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表： A 车型 B车型 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2 车辆数 14 20 20 16
8、15 10 5 （ ） 从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A， B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率 ； （ ） 根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A型车，一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率； （）（）试写出 A， B两种车型的出租天数的分布列及数学期望； 4 （） 如果两种车辆每辆车每天出租获 得的利润相同，该公司需要从 A， B两种车型中购买一辆 （注：两种车型的采购价格相当） ，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由 19（本小 题满分 12分） 如图所示的平面图形中， ABCD 是边长为 2 的正方形， HDA 和
9、GDC 都是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，点 E是线段 GC的中点现将 HDA和 GDC分别沿着 DA， DC翻折，直到点 H和G 重合为点 P连接 PB，得如图的四棱锥 （）求证： PA/平面 EBD； （ ） 求二面角 C PB D?大小 20（本小题满分 12分） 已知椭圆 1C ，抛物线 2C 的焦点均在 x轴上， 1C 的中心和 2C 的顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是 (3, 2 3)? ， (2,0)? ， (4, 4)? ， 2( 2, )2 （） 求 1C ， 2C 的标准方程； （） 是否存在直线 l满足条件：过 2C 的焦点 F；与 1C 交于
10、不同的两点 M， N且满足 OM ON? ？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由 5 21（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) l n ( ) | |, 0 , 0f x a x x c x c a c? ? ? ? ? ? （）当 31,44ac? ? 时，求函数 ()fx的单调区间； （） 设函数 ()fx 的图象在点 1 1 2 2( , ( ), ( , ( )P x f x Q x f x两处的切线分别为 l1， l2若12,2ax x c? ? ?，且 12ll? ，求实数 c的最小值 请考生在 22， 23两 题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所
11、做的第一题计分。做答时，请用 2B铅笔在答题卡上将 所选题号的方框涂黑。 22（本小题满分 10分） 【 选修 4 4坐标系与参数方程 选讲 】 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合。曲线11 2 ,: 2xtC yt? ? ?（ t为参数），曲线 2C 的极坐标方程为 cos 2 8 cos? ? ? ? （） 将曲线 1C ， 2C 分别化为普通方程、直角坐标方程，并 说明表示什么曲线 ； （） 设 F（ 1， 0），曲线 1C 与曲线 2C 相交于不同的两点 A， B，求 | | | |AF BF? 的值 23（本小题满分 10分） 【 选修 4 5不等
12、式选讲 】 已知 ( ) 2 1f x x x? ? ? 的最小值为 b （） 求 b； 6 （） 已知 ab? ，求证： 22a b a b a? ? ? ? 7 天门、仙桃、潜江 20162017学年度 第二 学期期末 联考 高二数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题 5分，共 60分） CBBDB CBCBA BD 二、填空题（每小题 5分，共 20 分） 13 512 14 10 15 20xy? ? ? 16 三、解答题（ 70 分） 17解：（）设公差为 ,( 0)dd? 由已知得 121 1 14 6 1 4( 2 ) ( 6 )ada d a a d? ? ? ? ? 3分
13、解得 1d? 或 0d? （舍去），则 1 2a? ，故 1nan? ? 6分 （）因为11 1 1 1( 1 ) ( 2 ) 1 2nna a n n n n? ? ? ? ? ? ?所以 1 1 1 1 1 12 3 3 4 1 2 2 ( 2 )n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 因为 1nnTa? ? 对 n ?N 恒成立， 即 ( 2)2( 2)n nn ? 对于 n ?N 恒成立 又2 1 1 14 2 ( 4 4 ) 1 62 ( 2 ) 2 ( 4 )nn n n? ? ? ?所以 ? 的最小值为 116 ? 12分 18解：（）这辆汽车是 A型车
14、的概率约为 30 0.630 20P ? 故这辆汽车是 A型车的概率为 0.6? 3分 （ ） 设 “事件 iA 表示一辆 A型车在一周内出租天数恰好为 i天”， “事件jB表示一辆 B型车在一周内出租天数恰好为 j 天”，其中 , 1,2,3, ,7ij? ，则该公司一辆 A型车，一辆 B型车一周内合计 出租天数 恰好为 4天的概率为 1 3 2 2 3 1 1 3 2 2 3 1( ) ( ) ( ) ( )P A B A B A B P A B P A B P A B? ? ? ? ? 5分 1 3 2 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P
15、B P A P B? ? ? 5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 91 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 5? ? ? ? ? ? ? 故该公司一辆 A型车，一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 8 4天的概率为 9125 ? 8分 （）（）设 X为 A型车出租的天数，则 X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02 设 Y为 B型车出租的天数，则 Y的分布列为 Y 1 2 3 4 5 6 7 P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05 (
16、) 1 0 . 0 5 2 0 . 1 0 3 0 . 3 0 4 0 . 3 5 5 0 . 1 5 6 0 . 0 3 7 0 . 0 2 3 . 6 2EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 1 0 . 1 4 2 0 . 2 0 3 0 . 2 0 4 0 . 1 6 5 0 . 1 5 6 0 . 1 0 7 0 . 0 5 3 . 4 8EY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 （）一辆 A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62天， B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.48天，故选择 A类车型的出租车更加合 理 ? 12分 19解：（）证明：连接 AC交 BD于点 O， 连接 EO，因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O为 AC的中点， 又因为 E为 PC中点， 所以 EO 为 CPA的中位线， 所以 EO/PA ? 2分 因为 EO? 平面 EDB， PA? 平面 EDB 所以 PA/平面 EDB? 4分 （ ） 由题意有 ,P D D C P D D A A D C D? ? ?， 故 DA， DC， DP两两垂直 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz? ? 6 分 有 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) ,
