1、 1 北京市西城区 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 文 试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20 分数 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 设集合 2 | A x x x?， 1,0,1,2B? ，则 AB? （ ） （ A） 0,2 （ B） 0,1 （ C） 1,2? （ D） 1,2 2. 下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是 （ ） （ A） exy? （ B） lnyx? （ C） 1y x? （ D）
2、 3yx? 3. 若等比数列 na 满足 2420aa? ， 3540aa? ，则公比 q 等于 （ ） （ A） 2 （ B） 12 （ C） 3 （ D） 13 4. 如果 0ab? ，那么下列不等式一定成立的是 （ ） （ A） ab? （ B） 11ab? （ C） 11( ) ( )22ab? （ D） ln lnab? 5. “ dcba , 成等差数列”是“ cbda ? ”的 （ ） （ A） 充分 不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 6. 关于函数12( ) logf x x?，下列结论正确的是 （ ） （ A） 值域为
3、(0, )? （ B） 图象关于 x 轴对称 （ C） 定义域为 R （ D） 在区间 ( ,0)? 上单调递增 7. 已知 0x 是函数 11( ) ( )2 xfx x?的一个零点，且 10( , )xx? ? ， 20( ,0)xx? ，则 （ ） （ A） 1( ) 0fx? ， 2( ) 0fx? （ B） 1( ) 0fx? ， 2( ) 0fx? （ C） 1( ) 0fx? ， 2( ) 0fx? （ D） 1( ) 0fx? ， 2( ) 0fx? 2 8. 在股票买卖过程中 ，经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势，其中一种曲线是即时价格曲线 ()y f x? ，一种是
4、平均价格曲线 ()y gx? . 例如： (2) 3f ? 表示开始交易后2 小时的即时价格为 3 元， (2) 4g ? 表示开始交易后 2 小时内所有成交股票的平均价格为 4元 . 下列给出的四个图象中，实线表示 ()y f x? ，虚线表示 ()y gx? . 其中可能正确的是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 . 9. 已知命题 : , e 0xpx? ? ?R ，则 :p? _. 10. 曲线 1y x? 在 2x? 处切线的斜率为 _. 11. 当 0x? 时，函数 2 4xy x?
5、的最小值为 _. 12. 已知 93a? ， lnxa? ，则 x? _. 13. 若函数1 , 0 ,1()1( ) , 0 .3xxxfxx? ? ? ? ?则 (1) ( 1)ff? ? ?_；不等式 1()3fx? 的解集 为 _. 14. 已知非空集合 ,AB同时满足以下四个条件： 1, 2, 3, 4, 5AB? ； AB? ； ()card A A? ； ()card B B? . 注：其中 ()cardA 、 ()cardB 分别 表示 A 、 B 中元素的个数 . 如果集合 A 中只有一个元素，那么 A? _； 如果集合 A 中有 3 个元素，请写出一对满足条件的集合 ,AB
6、： _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15（本小题满分 13 分） OO xO yO OO xO yO OO xO yO OO xO yO 3 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 244 ?S ， 1051 ?aa . ( )求 na 的通项公式； ( )设集合 * 2 4 nA n S? ? ? ?N ， 求集合 A 中的所有元素 . 16（本小题满分 13 分） 已知函数 32( ) 3f x x x?. () 求 )(xf 的单调区间 ； () 若 )(xf 的定义域为 1, m? 时，值域为 4,0? ，求 m
7、的最大值 . 17（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 2 1f x ax ax? ? ?， 0a? . () 当 1a? 时，解不等式 ( ) 4fx? ； () 若函数 ()fx在区间 (1,2) 上恰有一个零点，求 a 的取值范围 . 4 18（本小题满分 13 分） 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元 . 某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5,3xx吨 . () 若 1x? ，求该月 甲、乙两户的水费； ( ) 求 y 关于 x 的函数 ； ( ) 若甲
8、、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量 . 19 （本小题满分 14 分） 已知函数 2( ) ( 1) e 2xf x x kx? ? ? ?， k?R . () 当 0k? 时，求 ()fx的极值； () 若对于任意的 0, )x? ? ， ( ) 1fx? 恒成立，求 k 的取值范围 . 20 （本小题满分 14 分） 已知函数 2()f x ax bx?和 xxg ln)( ? . () 若 1?ba ，求证： ()fx的图象在 ()gx图象的上方； () 若 ()fx和 ()gx的图象有公共点 P ，且在点 P 处的切线相同，求 a 的取值范围 . 北京市
9、西城区 2016 2017 学年度第二学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准 2017.7 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 5 1. C； 2.D； 3. A； 4. D； 5. A； 6. D； 7. D； 8. B. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 对任意 x?R ， 都有 e0x? ； 10. 14? ； 11. 4 ； 12. e ； 13. 5, 2,16 ? ； 14.4 ； 1,2,4A? ， 3,5B? ， 或 1,2,5A? ， 3,4B? ， 或 2,4,5A? ，1,3B? 注： 14 题
10、第二个空只需填对一组即可；一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 15.（本小题满分 13 分） 解： ( )由题意得 114 6 242 4 10adad? ? ? ? ? ?， ? 4 分 解得 1 9 , 2ad? ? ， ? 6 分 所以 112)1(29)1(1 ? nndnaa n . ? 8 分 ( ) nnnnndnnnaSn 1022 )1(92 )1( 21 ?， ? 10 分 由 2 10 24nn? ? ， 整理得 2 10 24 0nn? ? ?， 解得 46n?， ? 12 分 所以 集合 * 24 nn
11、S? ? ?N 中的所有元素 为 4,5,6 . ? 13 分 16.（本小题满分 13 分） 解： () 由 32( ) 3f x x x?，得 2( ) 3 6f x x x? ?. ? 3 分 令 2( ) 3 6 0f x x x? ? ? ?，得 x? 或 2x? . ()fx? 与 ()fx在区间 R 上的情况如下： x ( ,0)? 0 (0,2) 2 (2, )? ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 0 4? ? 6 分 所以， )(xf 在区间 ( ,0)? 、 (2, )? 上单调递增；在区间 (0,2) 上单调递减 . ? 8 分 () 由 () 知， 函数 )(x
12、f 在区间 ( 1,0)? 和 (2, )? 上单调递增；在区间 (0,2) 上单调递减 . 且 ( 1) 4f ? ? ； (0) 0f ? ； (2) 4f ? ； (3) 0f ? . 所以，当 03m?时， )(xf 的值域为 4,0? ；当 3m? 时， ( ) (3) 0f m f?， )(xf的值域为 4, ( )fm? . ? 12 分 所以， m 的最大值等于 3 . ? 13 分 17.（本小题满分 13 分） 6 解： () 当 1a? 时，不等式 ( ) 4fx? 整理得 2 2 3 0xx? ? ? ， 即 ( 1)( 3) 0xx? ? ?， ? 3 分 解得 3x
13、? 或 1x? ， 所以，不等式 ( ) 4fx? 的解集为 3 , 1x x x? ? ?或 . ? 6 分 () 由已知，抛物线 ()y f x? 的对称轴为 2 12ax a? ? . ? 9 分 所以函数 ()fx在区间 (1,2) 上是单调函数 . 若 ()fx在区间 (1,2) 上恰有一个零点，则 (1) (2) 0ff ? ， ? 11 分 即 (8 1)(3 1) 0aa? ? ?，解得 1138a? ? ? . 所以， a 的取值范围为 11( , )38?. ? 13 分 18.（本小题满分 13 分） 解： () 当 1x? 时，甲用水量为 5 吨，需交水费 4 1.8
14、1 3 10.20? ? ? ? 元 . ? 2 分 乙用水量为 3 吨，需交水费 3 1.8 5.40? 元 . ? 4 分 () 当 54x? ，即 0.8x? 时， 甲、乙两户用水量均不超过 4 吨 . (5 3 ) 1 .8 1 4 .4y x x x? ? ? ?； ? 6 分 当 54x? ， 34x? ，即 4453x? 时， 甲用水量超过 4 吨，乙用水量不超过 4 吨 . 3 1 . 8 4 1 . 8 ( 5 4 ) 3 2 0 . 4 4 . 8y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?； ? 8 分 当 34x? ，即 43x? 时， 甲、乙用水量均超过 4 吨
15、. ( 4 4 ) 1 . 8 ( 5 4 3 4 ) 3 2 4 9 . 6y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? 9 分 所以414.4 , 0 ,54420.4 4.8 , ,53424 9.6 , .3xxy x xxx? ? ? ? ? ? 10 分 ( )由 ( )可知，函数 ()y f x? 在各分段区间上都是增函数 . 当 40, 5x? 时， 4( ) 26.45yf?；当 44( , 53x? 时， 4( ) 26.43yf?； 当 4( , )3x? ? 时，令 24 9.6 26.4x? ，解得 1.5x? . 5 7.5x? ， 3 4.5x? ，
16、 所以，甲用水量为 7.5 吨；乙用水量为 4.5 吨 . ? 13 分 19.（本小题满分 14 分） 解： () 当 0k? 时， ( ) ( 1)e 2xf x x? ? ?. 7 则 ( ) e ( 1) e ex x xf x x x? ? ? ? ?， ? 2 分 所以，在区间 ( ,0)? 上 ( ) 0fx? ? ， ()fx是减函数；在区间 (0, )? 上 ( ) 0fx? ? ， ()fx是增函数 . ? 4 分 又 (0) 1f ? ， 所以， ()fx 的极小值为 1 ；没有极大值 . ? 6 分 () 由 2( ) ( 1) e 2xf x x kx? ? ? ?，
17、得 ( ) e 2 ( e 2 )xxf x x kx x k? ? ? ? ?. ? 7 分 当 0k? 时， e 2 0x k?， 所以，当 0x? 时， ( ) 0fx? ? ，当 0x? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在区间 ( ,0)? 上是减函数，在区间 (0, )? 上是增函数 . ? 8 分 所以 ()fx在区间 0, )? 上的最小值为 (0)f ，且 (0) 1f ? ，符合题意 . ? 9 分 当 0k? 时，令 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 ln2xk? ， 所以，当 10 2k? 时， ln2 0k? 在区间 (0, )? 上 ( ) 0fx? ? ， ()
